2017-2018學年度圓錐曲線測試題

試卷第 1 頁 總 4 頁 外 裝 訂 線 學校 姓名 班級 考號 內(nèi) 裝 訂 線 絕密絕密 啟用前啟用前 2017 2018 學年度圓錐曲線測試題學年度圓錐曲線測試題 理科理科 考試范圍 xxx 考試時間 100 分鐘 命題人 xxx 注意事項 1 答題前填寫好自己的姓名 班級 考號等信息 2 請將答案正確填寫在答題卡上 第第 I I 卷 選擇題 卷 選擇題 請點擊修改第 I 卷的文字說明 一 單選題一 單選題 1 已知拋物線的焦點 直線 與交于兩點 且 2 4C yx FlCAB 2BFFA 則直線 的斜率可能為 l A B C 1 D 2 22 2 4 2 已知橢圓的左右焦點分別為 過右焦點作軸的垂線 交 22 22 1 xy E ab 12 F F 2 Fx 橢圓于兩點 若等邊的周長為 則橢圓的方程為 A B 1 ABF 4 3 A B C D 22 1 32 xy 22 1 36 xy 22 1 23 xy 22 1 94 xy 3 設(shè)雙曲線的離心率為 且一個焦點與拋物線的焦點 22 1 xy mn 2 3 3 2 8xy 相同 則此雙曲線的方程是 A B C D 2 2 1 3 y x 22 1 412 xy 2 2 1 3 x y 22 1 124 xy 4 若中心在原點 焦點在軸上的雙曲線離心率為 則此雙曲線的漸近線y3 方程為 A B C D yx 2 2 yx 2yx 1 2 yx 5 設(shè)點分別是雙曲線的左 右焦點 過點且與軸垂 12 F F 22 2 10 2 xy Ca a 1 Fx 直的直線 l 與雙曲線 C 交于 A B 兩點 若的面積為 則該雙曲線的漸近 2 ABF 2 6 線方程為 試卷第 2 頁 總 4 頁 外 裝 訂 線 請 不 要 在 裝 訂 線 內(nèi) 答 題 內(nèi) 裝 訂 線 A B C D 3yx 3 3 yx 2yx 2 2 yx 6 若點到點的距離比它到直線的距離小于 1 則點的軌跡方程P 4 0F50 x P 是 A B C D 2 16yx 2 32yx 2 16yx 2 32yx 7 一個橢圓中心在原點 焦點在軸上 是橢圓上一點 且 12 F Fx 2 3P 成等差數(shù)列 則橢圓方程為 1122 PFFFPF A B C D 22 1 86 xy 22 1 166 xy 22 1 84 xy 22 1 164 xy 8 設(shè)是橢圓的兩個焦點 是橢圓上的一點 且到兩焦點的距 12 F F 22 1 1612 xy PP 離之差為 2 則是 12 PFF A 直角三角形 B 銳角三角形 C 斜三角形 D 鈍角三角形 9 雙曲線的焦點到其漸近線的距離為 22 1xy A B C D 122 2 2 10 如果橢圓的弦被點平分 則這條弦所在的直線方程是 22 1 42 xy 1 1 A B C D 230 xy 230 xy 230 xy 230 xy 試卷第 3 頁 總 4 頁 外 裝 訂 線 學校 姓名 班級 考號 內(nèi) 裝 訂 線 第第 IIII 卷 非選擇題 卷 非選擇題 請點擊修改第 II 卷的文字說明 二 填空題二 填空題 11 過點的直線與橢圓交于兩點 且點平分弦 1 1M 22 1 43 xy A BMAB 則直線的方程為 AB 12 已知圓及點 為圓周上一點 的垂直平分 2 2 34Cxy 3 0AQAQ 線交直線于點 則動點的軌跡方程為 CQMM 13 若橢圓兩焦點為 點在橢圓上 且的面積的最 1 4 0F 2 4 0FP 12 PFF 大值為 12 則此橢圓的方程是 三 解答題三 解答題 14 已知拋物線的標準方程是 2 6yx 1 求它的焦點坐標和準線方程 2 直線 過已知拋物線的焦點且傾斜角為 45 且與拋物線的交點為 求lAB 的長度 AB 15 已知橢圓的一個焦點為 離心率為 點 22 22 1 0 xy Cab ab 5 0 5 3 為圓上任意一點 為坐標原點 P 22 13Mxy O 求橢圓的標準方程 C 設(shè)直線 經(jīng)過點且與橢圓相切 與圓相交于另一點 點關(guān)于原lPClMAA 點的對稱點為 證明 直線與橢圓相切 OBPBC 16 設(shè)為拋物線的焦點 是拋物線上的兩個動點 F 2 2Cyx A BC 若直線經(jīng)過焦點 且斜率為 2 求 ABFAB 若直線 求點到直線 的距離的最小值 40lxy Al 17 本小題滿分 14 分 已知橢圓過點 且離心率為 22 22 1 0 xy Cab ab 2 0A 3 2 求橢圓的方程 C 設(shè)直線與橢圓交于兩點 若直線上存在點 使得3ykx C M N3x P 四邊形是平行四邊形 求的值 PAMNk 18 已知橢圓的左右焦點分別為 若橢圓上一點 22 22 10 xy Cab ab 12 F F 試卷第 4 頁 總 4 頁 外 裝 訂 線 請 不 要 在 裝 訂 線 內(nèi) 答 題 內(nèi) 裝 訂 線 滿足 且橢圓過點 過點的直線 與橢圓P 12 4PFPF C 3 1 2 4 0Rl 交于兩點 C E F 1 求橢圓的方程 C 2 若點是點在軸上的垂足 延長交橢圓于 求證 三 E Ex EE CN 2 N F F 點共線 19 如圖 是橢圓長軸的兩個端點 是橢圓上都不與 A B 2 2 1 4 x Cy P QC 重合的兩點 記直線的斜率分別是 A B BQ AQ AP BQAQAP kkk 1 求證 1 4 BQAQ kk 2 若 求證 直線恒過定點 并求出定點坐標 4 APBQ kk PQ 20 設(shè)分別是雙曲線的左 右焦點 若點 在雙曲線上 且 F1 F2 x2 y2 9 1 P PF1 PF 2 0 求的值 PF1 PF2 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 1 頁 總 12 頁 參考答案參考答案 1 A 解析 設(shè) A B 兩點坐標分別為 1122 A x y B xy 2BFFA 2211 2 1 1 xyxy 1212 12 1 2xxyy 由題意 設(shè)直線 AB 的方程為 代入拋物線方程得 1yk x 2 440kyyk 因為直線與拋物線有兩個交點 所以 0k 2 16 160k 把代入即可解得 故選 A 1212 4 4yyy y k 12 2yy 2 2k 2 A 解析 由題意可得等邊的邊長為 則 1 ABF 4 3 3 4 3 3 AB 由橢圓的定義可得 即 12 4 32 3 22 3 33 aAFAF 3a 由 即有 則 12 34 3 22 23 FFc 1c 22 2bac 則橢圓的方程為 故選 A 22 1 32 xy 3 A 解析 由已知得拋物線的焦點為 所以 所以 雙 0 20 0nm 2 2 3 c c a 曲線的方程是 故選 A 2 2 1 3 y x 4 B 解析 因為離心率 所以 又焦點在軸上 所以漸近線方程為3 c e a 2 2 2 b a y 故選 B 2 2 yx 5 D 解析 設(shè) 則 10 0 FcAc y 22 0 2 1 2 yc a 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 2 頁 總 12 頁 22222 0 2222 2 1 2 yccab aaaa 2 0 2 4 y a 0 4 2ABy a 又 2 2 6 ABF S 1144 222 6 22 c cABc aa 6 2 c a 2 2 2 1 2 bc aa 該雙曲線的漸近線方程為 選 D 2 2 yx 點睛 雙曲線的漸進線是雙曲線的重要性質(zhì)之一 也是高考的?？键c 題型一般以選擇題或填空 題為主 求雙曲線的漸近線方程時 可利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式 222 cab a b 其中常用到雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系 即 22 bca k aa 2 2 2 11 c e a 6 C 解析 因為點到點的距離比它到直線的距離少 1 P 4 050 x 所以將直線右移 1 個單位 得到直線 即 50 x 40 x 4x 可得點到直線的距離等于它到點的距離 P4x 4 0 根據(jù)拋物線的定義 可得點的估計是以點為焦點 以直線為準線的拋物P 4 04x 線 設(shè)拋物線方程為 可得 得 2 2ypx 4 2 p 216p 所以拋物線的方程為 即為點的軌跡方程 故選 C 2 16yx P 7 A 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 3 頁 總 12 頁 解析 因為成等差數(shù)列 是橢圓上的一點 1122 PFFFPFP 所以 所以 1212 22FFPFPFa 2ac 設(shè)橢圓的方程為 則 22 22 1 0 xy ab ab 222 22 2 43 1 ac abc ab 解得 故橢圓的方程為 故選 A 2 2 2 2 6acb 22 1 86 xy 點睛 本題考查了橢圓的標準方程的求解及其幾何性質(zhì)的應用 對于求橢圓的標準方程的 基本方法是待定系數(shù)法 具體過程是先定形 再定量 即先確定雙曲線標準方程的形式 然 后再根據(jù)的關(guān)系 求出的值 同時解答中注意橢圓定義的應用 其中利用待定 a b c a b 系數(shù)求解圓錐曲線的方程是常見的一種求解軌跡方程的重要方法 8 A 解析 由橢圓的方程 可得 所以 22 16 12ab 222 16 124cab 則 12 2 0 2 0FF 由橢圓的定義得 又到兩焦點的距離之差為 12 28PFPFa P2 不妨設(shè) 則 解得 12 PFPF 12 2PFPF 12 5 3PFPF 又 所以 12 24FFc 222 1221 FFPFPF 所以是直角三角形 故選 A 12 PFF 點睛 本題主要考查了橢圓定義及標準方程的應用 三角形形狀的判斷問題 解答的關(guān)鍵 在于運用橢圓的定義列出方程組 得到三角形三邊的長度 即可確定三角形的形狀 9 A 解析 根據(jù)雙曲線的方程得到焦點為 漸近線為 根據(jù)點到直線的距 2 0yx 離得到焦點到漸近線的距離為 2 1 2 d 故答案為 A 10 A 解析 設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點 1 1A 1122 E x yF xy 由中點坐標公式可得 1212 1 1 22 xxyy 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 4 頁 總 12 頁 則 兩式相減得 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 12121212 0 44 xxxxyyyy 所以 所以直線的斜率 12 12 1 2 yy xx EF 12 12 1 2 yy k xx 所以直線的方程為 整理得 故選 A EF 1 11 2 yx 230 xy 11 3470 xy 解析 設(shè) 根據(jù)中點坐標公式 且 11 A x y 22 B xy 12 2xx 12 2yy 兩式相減 化簡可得 所以 22 11 1 43 xy 22 22 1 43 xy 1212 1212 3 4 yyyy xxxx 即直線的斜率為 根據(jù)點斜式 得到直線的方程為 12 12 3 4 yy xx 3 4 AB 3470 xy 點睛 過點的直線與橢圓交于兩點 且點平分弦 求 00 M xy 22 22 1 xy ab A BMAB 直線方程 常用的方法是點差法 分別設(shè)出交點的坐標 帶入橢 11 A x y 22 B xy 圓方程得到一個方程組 作差得到直線斜率和中點的關(guān)系 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab 即 進而求出直線方程 2 021 2 210 b xyy xxa y 2 0 2 0 AB b x k a y 12 2 2 1 8 y x 解析 由的垂直平分線交直線于點 得 圓的半徑為 AQCQMMAMQ 2 所以 故點的軌跡是以為焦點的雙曲線 26MCMAAC M C A 所以由題意的 所以 22 26ac 222 1 38acbca 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 5 頁 總 12 頁 焦點在軸上 故所求方程為 x 2 2 1 8 y x 點睛 本題考查了定義法求解雙曲線的標準方程 要注意挖掘所給條件的幾何性質(zhì)進行分 析 對于軌跡方程的求解 直線過定點問題 常用方法有 1 直接法 直接利用條件建立 之間的關(guān)系 2 待定系數(shù)法 已知所求曲線的類型 求曲線方程 3 定 x y 0F x y 義法 先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線 再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡 方程 4 代入 相關(guān)點 法 動點依賴于另一動點的變化而運動 常利用 P x y 00 Q xy 代入法求動點的軌跡方程 P x y 13 22 1 259 xy 解析 設(shè)點的坐標為 則 P x y 1 2 12 1 4 2 PF F SFFyy 顯然取最大時 三角形面積最大 因為點在橢圓上 所以在軸上 此時最大 yPPyy 所以點的坐標為 所以 因為 所以 P 0 3 3b 222 abc 5a 所以橢圓的方程為 22 1 259 xy 14 1 焦點為 準線方程 2 12 3 0 2 F 3 2 x 解析 試題分析 1 拋物線的標準方程為 焦點在軸上 開口向右 即可求出拋物 2 6yx x26p 線的焦點坐標和準線方程 2 現(xiàn)根據(jù)題意給出直線 的方程 代入拋物線 求出兩交點的橫坐標的和 然后利用焦l 半徑公式求解即可 試題解析 1 拋物線的標準方程是 y2 6x 焦點在 x 軸上 開口向右 2p 6 焦點為 F 0 準線方程 x 2 直線 L 過已知拋物線的焦點且傾斜角為 45 直線 L 的方程為 y x 代入拋物線 y2 6x 化簡得 x2 9x 0 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 6 頁 總 12 頁 設(shè) A x1 y1 B x2 y2 則 x1 x2 9 所以 AB x1 x2 p 9 3 12 故所求的弦長為 12 點睛 本題考查了直線與怕西安的位置關(guān)系中的弦長公式的應用 本題的解答中根據(jù)直線 過拋物線的焦點 根據(jù)拋物線的定義 拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ) 它能將兩 種距離 拋物線上的點到焦點的距離 拋物線上的點到準線的距離 進行等量轉(zhuǎn)化 同時如果 問題中涉及拋物線的焦點和準線 又能與距離聯(lián)系起來 那么用拋物線定義就能解決問 題 因此 涉及拋物線的焦半徑 焦點弦問題 可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點 到準線的距離 這樣就可以使問題簡單化 15 見解析 22 1 94 xy 解析 試題分析 1 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得到 進而求得方程 5c 5 3 c a 2 由點 P 的坐標寫出直線 PA 由相切關(guān)系得到 同理 由直線與橢圓也得到 222 10000 1449240 xkx y ky PBC 再由 可化簡得到 22 20000 2 11 144924xx yy kk 22 00 13yx 2 0 解析 解 由題意 知 5c 5 3 c a 所以 3a 22 2bac 所以橢圓的標準方程為 C 22 1 94 xy 證明 由題意 點在圓上 且線段為圓的直徑 BMABM 所以 PAPB 當直線軸時 易得直線的方程為 PAx PA3x 由題意 得直線的方程為 PB2y 顯然直線與橢圓相切 PBC 同理當直線軸時 直線也與橢圓相切 PAxPBC 當直線與軸既不平行也不垂直時 PAx 設(shè)點 直線的斜率為 則 直線的斜率 00 P xyPAk0k PB 1 k 所以直線 直線 PA 00 yyk xx PB 00 1 yyxx k 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 7 頁 總 12 頁 由 消去 00 22 1 94 yyk xx xy y 得 2 22 0000 94189360kxykxkxykx 因為直線與橢圓相切 PAC 所以 2 2 2 10000 184 949360ykxkkykx 整理 得 1 222 10000 1449240 xkx y ky 同理 由直線與橢圓的方程聯(lián)立 PBC 得 2 22 20000 2 11 144924xx yy kk 因為點為圓上任意一點 P 22 13Mxy 所以 即 22 00 13xy 22 00 13yx 代入 1 式 得 222 0000 9290 xkx y kx 代入 2 式 得 222 20000 2 144 924xx y kyk k 222 0000 2 144 929xx y kxk k 222 0000 2 144 929xkx y kx k 0 所以此時直線與橢圓相切 PBC 綜上 直線與橢圓相切 PBC 點睛 這個題目考查的是直線和圓錐曲線和圓的位置關(guān)系 一般直線和圓的題很多情況下 是利用數(shù)形結(jié)合來解決的 聯(lián)立的時候較少 還有就是在求圓上的點到直線或者定點的距 離時 一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離 再加減半徑 分別得到最大值和 最小值 16 5 2 AB 7 2 4 解析 試題分析 1 聯(lián)立直線和曲線得到二次方程 由弦長公式得到 AB 長度 2 用點線距離公式得到 是拋物線上的動點 得 二 00 4 2 xy d AC 2 00 2yx 元化一元 求值域即可 解析 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 8 頁 總 12 頁 由題意 得 則直線的方程為 1 0 2 F AB 1 2 2 yx 由 消去 得 2 1 2 2 2 yx yx y 2 4610 xx 設(shè)點 11 A x y 22 B xy 則 且 0 12 3 2 xx 12 1 4 x x 所以 2 121212 5 554 2 ABxxxxx x 設(shè) 00 A xy 則點到直線 距離 Al 00 4 2 xy d 由是拋物線上的動點 得 AC 2 00 2yx 所以 2 2 000 2 12 417 224 dyyy 所以當時 0 1y min 7 2 4 d 即點到直線 的距離的最小值 Al 7 2 4 點睛 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系 所使用方法為韋達定理法 因直線的方程 是一次的 圓錐曲線的方程是二次的 故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題 最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題 故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之 一 尤其是弦中點問題 弦長問題 可用韋達定理直接解決 但應注意不要忽視判別式的 作用 17 1 2 或 2 2 1 4 x y 3 2 k 11 2 k 解析 試題分析 由橢圓過點 可得 再由離心率 22 22 1 xy C ab 2 0A2a 為結(jié)合 可求得 從而可得橢圓的方程 設(shè)直線的方 3 2 222 abc 1b CPA 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 9 頁 總 12 頁 程為 則 由 得 2yk x 3 Pk 2 1PAk 22 3 44 ykx xy 由韋達定理 弦長公式結(jié)合 可得 22 418 380kxkx PAMN 解方程即可求得的值 42 1656330kk 試題解析 由題意得 所以 2a 3 2 c e a 3c 因為 222 abc 所以 1b 所以 橢圓的方程為 C 2 2 1 4 x y 若四邊形是平行四邊形 PAMN 則 且 PA MNPAMN 所以 直線的方程為 PA 2yk x 所以 3 Pk 2 1PAk 設(shè) 11 M x y 22 N xy 由 得 22 3 44 ykx xy 22 418 380kxkx 由 得 0 2 1 2 k 且 12 2 8 3 41 k xx k 12 2 8 41 x x k 所以 2 2 1212 14MNkxxx x 2 2 2 2 6432 1 41 k k k 因為 所以 PAMN 2 22 2 2 6432 11 41 k kk k 整理得 42 1656330kk 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 10 頁 總 12 頁 解得 或 3 2 k 11 2 k 經(jīng)檢驗均符合 但時不滿足是平行四邊形 舍去 0 3 2 k PAMN 所以 或 3 2 k 11 2 k 18 1 2 見解析 22 1 43 xy C 解析 試題分析 1 由橢圓定義可得 再通過點在橢圓上求得 12 24PFPFa 進而得橢圓方程 2 3b 2 由題知直線 的斜率必存在 設(shè) 的方程為 點ll 4yk x 直線與橢圓聯(lián)立得 112211 E x yF xyN xy 由題可得直線方程為 2222 343264120kxk xk FN 21 11 21 yy yyxx xx 由化簡直線方程為 1122 4 4yk xyk x FN 令 可得直線過點 進而 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx 0y FN 1 0 得證 試題解析 1 依題意 故 將代入中 12 24PFPFa 2a 3 1 2 22 2 1 4 xy b 解得 故橢圓 2 3b 22 1 43 xy C 2 由題知直線 的斜率必存在 設(shè) 的方程為 ll 4yk x 點 聯(lián)立得 112211 E x yF xyN xy 22 4 3412 yk x xy 2 22 34412xkx 即 22 2222 1212 22 326412 343264120 0 3434 kk kxk xkxxx x kk 本卷由系統(tǒng)自動生成 請仔細校對后使用 答案僅供參考 答案第 11 頁 總 12 頁 由題可得直線方程為 FN 21 11 21 yy yyxx xx 又 1122 4 4yk xyk x 直線方程為 FN 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx 令 整理得0y 2 1212 12211 1 1212 2444 88 x xxxx xxxx xx xxxx 即直線過點 22 222 222 22 64123224 24 343434 1 32322432 8 3434 kk kkk kkk kk FN 1 0 又 橢圓的右焦點坐標為 三點在同一條直線上 C 2 1 0F 2 N F F 19 1 見解析 2 直線 PQ 恒過定點 6 5 xty 6 0 5 解析 試題分析 1 用坐標表示 利用點在橢圓上易得結(jié)果 2 由 BQ