高中數(shù)學(xué)公式大全

1 高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)公式公式 1 元素與集合的關(guān)系元素與集合的關(guān)系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 3 包含關(guān)系包含關(guān)系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB card ABCcardAcardBcardCcard AB card ABcard BCcard CAcard ABC 5 5 集合集合 12 n a aa 的子集個(gè)數(shù)共有的子集個(gè)數(shù)共有2n 個(gè)個(gè) 真子集有真子集有2n 1 1 個(gè)個(gè) 非空子集有非空子集有2n 1 1 個(gè)個(gè) 非空的真子集非空的真子集 有有2n 2 2 個(gè)個(gè) 6 6 二次函數(shù)的解析式的三種形式二次函數(shù)的解析式的三種形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式 2 0 f xa xhk a 3 3 零點(diǎn)式零點(diǎn)式 12 0 f xa xxxxa 7 解連不等式解連不等式 Nf xM 常有以下轉(zhuǎn)化形式常有以下轉(zhuǎn)化形式 Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 8 方程方程0 xf在在 21 kk上有且只有一個(gè)實(shí)根上有且只有一個(gè)實(shí)根 與與0 21 kfkf不等價(jià)不等價(jià) 前者是后前者是后者的一個(gè)必要而不是者的一個(gè)必要而不是 充分條件充分條件 特別地特別地 方程方程 0 0 2 acbxax有且只有一個(gè)實(shí)根在有且只有一個(gè)實(shí)根在 21 kk內(nèi)內(nèi) 等價(jià)于等價(jià)于0 21 kfkf 或或 0 1 kf且且 22 21 1 kk a b k 或或0 2 kf且且 2 21 22 k a bkk 9 9 閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)二次函數(shù) 0 2 acbxaxxf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 qp 上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得 具具 體如下體如下 1 1 當(dāng)當(dāng) a 0a 0 時(shí)時(shí) 若若 qp a b x 2 則則 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 2 當(dāng)當(dāng)a a0a 0 1 1 axfxf 則則 xf的周期的周期 T T a a 2 2 0 axfxf 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f x a f x 0 f x 或或 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x 則則 xf的周期的周期 T T 2a2a 3 3 0 1 1 xf axf xf 則則 xf的周期的周期 T 3T 3a a 4 4 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 則則 xf的周期的周期 T 4T 4a a 5 5 2 3 4 f xf x af xa f xaf xa 2 3 4 f x f x a f xa f xa f xa 則則 xf的周期的周期 T 5T 5a a 6 6 axfxfaxf 則則 xf的周期的周期 T 6T 6a a 3030 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 1 1 1 m n nm a a 0 am nN 且且1n 2 2 1 m n m n a a 0 am nN 且且1n 3131 根式的性質(zhì)根式的性質(zhì) 1 1 n n aa 2 2 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí) nn aa 5 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí) 0 0 nn a a aa a a 3232 有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注注 若若 a a 0 0 p p 是一個(gè)無理數(shù)是一個(gè)無理數(shù) 則則 a a p p表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù) 上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 對(duì)于無理數(shù)指數(shù)對(duì)于無理數(shù)指數(shù) 冪都適用冪都適用 33 33 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 3434 對(duì)數(shù)的換底公式對(duì)數(shù)的換底公式 log log log m a m N N a 0a 且且1a 0m 且且1m 0N 推論推論 loglog m n a a n bb m 0a 且且1a 0m n 且且1m 1n 0N 3535 對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 則則 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 3 3 loglog n aa MnM nR 36 36 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 0 log 2 acbxaxxf m 記記acb4 2 若若 xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽 則則0 a 且且0 若若 xf的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽 則則0 a 且且0 對(duì)于對(duì)于0 a的情形的情形 需要單獨(dú)檢驗(yàn)需要單獨(dú)檢驗(yàn) 37 37 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若若0a 0b 0 x 1 x a 則函數(shù)則函數(shù)log ax ybx 1 1 當(dāng)當(dāng)ab 時(shí)時(shí) 在在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 為增函數(shù)為增函數(shù) 2 2 當(dāng)當(dāng)ab 時(shí)時(shí) 在在 1 0 a 和和 1 a 上上log ax ybx 為減函數(shù)為減函數(shù) 推論推論 設(shè)設(shè) 1nm 0p 0a 且且 1a 則則 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 38 平均增長(zhǎng)率的問題平均增長(zhǎng)率的問題 如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N N 平均增長(zhǎng)率為平均增長(zhǎng)率為p 則對(duì)于時(shí)間則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值的總產(chǎn)值y 有有 1 xyNp 3939 數(shù)列的同項(xiàng)公式與前數(shù)列的同項(xiàng)公式與前 n n 項(xiàng)的和的關(guān)系項(xiàng)的和的關(guān)系 1 1 1 2 n nn sn a ssn 數(shù)列數(shù)列 n a的前的前 n n 項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為 12nn saaa 4040 等差數(shù)列的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 項(xiàng)和公式為項(xiàng)和公式為 6 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 4141 等比數(shù)列的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 項(xiàng)的和公式為項(xiàng)的和公式為 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 4242 等比差數(shù)列等比差數(shù)列 n a 11 0 nn aqad ab q 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 項(xiàng)和公式為項(xiàng)和公式為 1 1 1 1 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭貸款按揭貸款 每次還款每次還款 1 1 1 n n abb x b 元元 貸款貸款a元元 n次還清次還清 每期利率為每期利率為b 44 常見三角不等式常見三角不等式 1 若若 0 2 x 則則sintanxxx 2 若若 0 2 x 則則1sincos2xx 3 sin cos 1xx 4545 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 4646 正弦正弦 余弦的誘導(dǎo)公式余弦的誘導(dǎo)公式 奇變偶不變奇變偶不變 符號(hào)看象限符號(hào)看象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 4747 和角與差角公式和角與差角公式 sin sincoscossin n 為偶數(shù) n 為奇數(shù) n 為偶數(shù) n 為奇數(shù) 7 cos coscossinsin tantan tan 1tantan 22 sin sin sinsin 平方正弦公式平方正弦公式 22 cos cos cossin sincosab 22 sin ab 輔助角輔助角 所在象限由點(diǎn)所在象限由點(diǎn) a b的象限決定的象限決定 tan b a 4848 二倍角公式二倍角公式 sin 2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 49 49 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 5050 三角函數(shù)的周期公式三角函數(shù)的周期公式 函數(shù)函數(shù)sin yx x x R R及函數(shù)及函數(shù)cos yx x x R R A A 為常數(shù)為常數(shù) 且且A A 0 0 0 0 的周期的周期 2 T 函數(shù)函數(shù)tan yx 2 xkkZ A A 為常數(shù)為常數(shù) 且且 A A 0 0 0 0 的周期的周期T 5151 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 5252 余弦定余弦定理理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 5353 面積定理面積定理 1 1 111 222 abc Sahbhch abc hhh 分別表示分別表示 a a b b c c 邊上的高邊上的高 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 5454 三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理 在在 ABCABC 中中 有有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 55 簡(jiǎn)單的三角方程的簡(jiǎn)單的三角方程的通解通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZ a tanarctan xaxka kZ aR 8 特別地特別地 有有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 56 最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ cos 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 57 實(shí)數(shù)與向量的積的實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律運(yùn)算律 設(shè)設(shè) 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù) 那么那么 1 1 結(jié)合律結(jié)合律 a a a a 2 2 第一分配律第一分配律 a a a a a a 3 3 第二分配律第二分配律 a a b b a a b b 58 58 向量的數(shù)量積的運(yùn)算律向量的數(shù)量積的運(yùn)算律 1 1 a a b bb b a a 交換律交換律 2 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 3 a a b b c c a a c bc b c c 59 59 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量 那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1 1 2 2 使得使得 a a 1 1e e1 1 2 2e e2 2 不共線的向量不共線的向量 e e1 1 e e2 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底基底 6060 向量平行的坐標(biāo)表示向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)設(shè) a a 11 x y b b 22 xy 且且 b b 0 0 則則 a a b bb b 0 0 1221 0 x yx y 53 53 a a與與 b b 的的數(shù)量積數(shù)量積 或內(nèi)積或內(nèi)積 a a b b a a b b cos cos 61 61 a b 的幾何意義的幾何意義 數(shù)量積數(shù)量積 a b 等于等于 a 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 a 與與 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影 b cos 的乘積的乘積 62 62 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1 1 設(shè)設(shè) a a 11 x y b b 22 xy 則則 a b a b 1212 xxyy 2 2 設(shè)設(shè) a a 11 x y b b 22 xy 則則 a a b b 1212 xxyy 3 3 設(shè)設(shè) A A 11 x y B B 22 xy 則則 2121 ABOBOAxx yy 4 4 設(shè)設(shè) a a x yR 則則 a a xy 5 5 設(shè)設(shè) a a 11 x y b b 22 xy 則則 a a b b 1212 x xy y 63 63 兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy a a 11 x y b b 22 xy 6464 平面兩點(diǎn)間的距離公式平面兩點(diǎn)間的距離公式 A B d ABAB AB 22 2121 xxyy A A 11 x y B B 22 xy 65 65 向量的平行與垂直向量的平行與垂直 設(shè)設(shè) a a 11 x y b b 22 xy 且且 b b 0 0 則則 A A b b b b a a 1221 0 x yx y 9 a a b ab a 0 0 a a b b 0 0 1212 0 x xy y 6666 線段的定比分公式線段的定比分公式 設(shè)設(shè) 111 P x y 222 P xy P x y是線段是線段 12 PP的分點(diǎn)的分點(diǎn) 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù) 且且 12 PPPP 則則 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 6767 三角形的重心坐標(biāo)公式三角形的重心坐標(biāo)公式 ABCABC 三 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 分 別 為三 個(gè) 頂 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 分 別 為 11 A x y 22 B x y 33 C x y 則則 ABCABC 的 重 心 的 坐 標(biāo) 是的 重 心 的 坐 標(biāo) 是 123123 33 xxxyyy G 6868 點(diǎn)的平移公式點(diǎn)的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注注 圖形圖形 F F 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn) P xP x y y 在平移后圖形在平移后圖形 F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 P x y 且且 PP 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 h k 69 69 按向量平移按向量平移 的幾個(gè)結(jié)論的幾個(gè)結(jié)論 1 1 點(diǎn)點(diǎn) P x y按向量按向量 a a h k平移后得到點(diǎn)平移后得到點(diǎn) P xh yk 2 2 函數(shù)函數(shù) yf x 的圖象的圖象C按向量按向量 a a h k平移后得到圖象平移后得到圖象 C 則則 C的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為 yf xhk 3 3 圖象圖象 C按向量按向量 a a h k平移后得到圖象平移后得到圖象C 若若C的解析式的解析式 yf x 則則 C的函數(shù)解析式為的函數(shù)解析式為 yf xhk 4 4 曲線曲線C 0f x y 按向量按向量 a a h k平移后得到圖象平移后得到圖象 C 則則 C的方程為的方程為 0f xh yk 5 5 向量向量 m m x y按向量按向量 a a h k平移后得到的向量仍然為平移后得到的向量仍然為 m m x y 70 70 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要條件向量形式的充要條件 設(shè)設(shè)O為為ABC 所在平面上一點(diǎn)所在平面上一點(diǎn) 角角 A B C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a b c 則則 1 1 O為為ABC 的外心的外心 222 OAOBOC 2 2 O為為ABC 的重心的重心0OAOBOC 3 3 O為為ABC 的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA 4 4 O為為ABC 的內(nèi)心的內(nèi)心0aOAbOBcOC 5 5 O為為ABC 的的A 的旁心的旁心aOAbOBcOC 7171 常用不等式常用不等式 1 1 a bR 22 2abab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a a b b 時(shí)取時(shí)取 號(hào)號(hào) 2 2 a bR 2 ab ab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a a b b 時(shí)取時(shí)取 號(hào)號(hào) 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 4 柯西不等式柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 5 bababa 7272 極值定理極值定理 已知已知yx 都是正數(shù)都是正數(shù) 則有則有 1 1 若積若積xy是定值是定值p 則當(dāng)則當(dāng)yx 時(shí)和時(shí)和yx 有最小值有最小值p2 2 2 若和若和yx 是定值是定值s 則當(dāng)則當(dāng)yx 時(shí)積時(shí)積xy有最大值有最大值 2 4 1 s 10 推廣推廣 已知已知Ryx 則有則有xyyxyx2 22 1 1 若積若積xy是定值是定值 則當(dāng)則當(dāng) yx 最大時(shí)最大時(shí) yx 最大最大 當(dāng)當(dāng) yx 最小時(shí)最小時(shí) yx 最小最小 2 2 若和若和 yx 是定值是定值 則當(dāng)則當(dāng) yx 最大時(shí)最大時(shí) xy最小最小 當(dāng)當(dāng) yx 最小時(shí)最小時(shí) xy最大最大 7373 一元二次不等式一元二次不等式 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac 如果如果a與與 2 axbxc 同號(hào)同號(hào) 則其則其 解集在兩根之外解集在兩根之外 如果如果a與與 2 axbxc 異號(hào)異號(hào) 則其解集在兩根之間則其解集在兩根之間 簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之 同號(hào)兩根之外同號(hào)兩根之外 異號(hào)兩根之異號(hào)兩根之 間間 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 7474 含有絕對(duì)值的不等式含有絕對(duì)值的不等式 當(dāng)當(dāng) a 0a 0 時(shí)時(shí) 有有 2 2 xaxaaxa 22 xaxaxa 或或xa 7575 無理不等式無理不等式 1 1 0 0 f x f xg xg x f xg x 2 2 2 0 0 0 0 f x f x f xg xg x g x f xg x 或 3 3 2 0 0 f x f xg xg x f xg x 7676 指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式 1 1 當(dāng)當(dāng)1a 時(shí)時(shí) f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 2 當(dāng)當(dāng)01a 時(shí)時(shí) f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 77 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 78 直線的五種方程直線的五種方程 1 點(diǎn)斜式點(diǎn)斜式 11 yyk xx 直線直線l過點(diǎn)過點(diǎn) 111 P x y 且斜率為且斜率為k 2 2 斜截式斜截式 ykxb b b 為直線為直線l在在 y y 軸上的截距軸上的截距 3 3 兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 11 4 4 截距式截距式 1 xy ab ab 分別為直線的橫分別為直線的橫 縱截距縱截距 0ab 5 5 一般式一般式 0AxByC 其中其中 A B 不同時(shí)為不同時(shí)為 0 79 兩條直線的兩條直線的平行和垂直平行和垂直 1 若若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 2 若若 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 且且 A1 A2 B1 B2都不為零都不為零 111 12 222 ABC ll ABC 121212 0llA AB B 80 夾角公式夾角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直線直線 12 ll 時(shí)時(shí) 直線直線 l1與與 l2的夾角是的夾角是 2 81 1 l到到 2 l的角公式的角公式 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直線直線 12 ll 時(shí)時(shí) 直線直線 l1到到 l2的角是的角是 2 8282 四種常用直線系方程四種常用直線系方程 1 1 定點(diǎn)直線系方程定點(diǎn)直線系方程 經(jīng)過定點(diǎn)經(jīng)過定點(diǎn) 000 P xy的直線系方程為的直線系方程為 00 yyk xx 除直線除直線 0 xx 其中其中k是待定是待定 的系數(shù)的系數(shù) 經(jīng)過定點(diǎn)經(jīng)過定點(diǎn) 000 P xy的直線系方程為的直線系方程為 00 0A xxB yy 其中其中 A B是待定的系數(shù)是待定的系數(shù) 2 2 共點(diǎn)直線系方程共點(diǎn)直線系方程 經(jīng)過兩直線經(jīng)過兩直線 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 的交點(diǎn)的直線系方程為的交點(diǎn)的直線系方程為 111222 0AxB yCA xB yC 除除 2 l 其中其中 是待定的系數(shù)是待定的系數(shù) 3 3 平行直線系方程平行直線系方程 直線直線ykxb 中當(dāng)斜率中當(dāng)斜率 k k 一定而一定而 b b 變動(dòng)時(shí)變動(dòng)時(shí) 表示平行直線系方程表示平行直線系方程 與直線與直線 0AxByC 平行的直線系方程是平行的直線系方程是0AxBy 0 是參變量是參變量 4 4 垂直直線系方程垂直直線系方程 與直線與直線0AxByC A A 0 0 B B 0 0 垂直的直線系方程是垂直的直線系方程是0BxAy 是參變量是參變量 83 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離 00 22 AxByC d AB 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy 直線直線l 0AxByC 84 84 0AxByC 或或0 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域 設(shè)直線設(shè)直線 0l AxByC 則則0AxByC 或或0 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域是是 若若0B 當(dāng)當(dāng)B與與AxByC 同號(hào)時(shí)同號(hào)時(shí) 表示表示直線直線l的上方的的上方的區(qū)域區(qū)域 當(dāng)當(dāng)B與與AxByC 異號(hào)時(shí)異號(hào)時(shí) 表示表示直線直線l 12 的下方的的下方的區(qū)域區(qū)域 簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之 同號(hào)在上同號(hào)在上 異號(hào)在下異號(hào)在下 若若0B 當(dāng)當(dāng)A與與AxByC 同號(hào)時(shí)同號(hào)時(shí) 表示表示直線直線l的右方的的右方的區(qū)域區(qū)域 當(dāng)當(dāng)A與與AxByC 異號(hào)時(shí)異號(hào)時(shí) 表示表示直線直線l 的左方的的左方的區(qū)域區(qū)域 簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之 同號(hào)在右同號(hào)在右 異號(hào)在左異號(hào)在左 85 85 111222 0AxB yCA xB yC 或或0 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域 設(shè)曲線設(shè)曲線 111222 0CAxB yCA xB yC 1212 0A A B B 則則 111222 0AxB yCA xB yC 或或0 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域是是 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域上下兩部分上下兩部分 111222 0AxB yCA xB yC 所表示的所表示的平面區(qū)域平面區(qū)域上下兩部分上下兩部分 86 圓的圓的四種四種方程方程 1 1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 222 xaybr 2 2 圓的一般方程圓的一般方程 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 0 0 3 3 圓的圓的參數(shù)方程參數(shù)方程 cos sin xar ybr 4 4 圓圓的的直徑式直徑式方程方程 1212 0 xxxxyyyy 圓的直徑的端點(diǎn)是圓的直徑的端點(diǎn)是 11 A x y 22 B xy 87 87 圓系方程圓系方程 1 1 過點(diǎn)過點(diǎn) 11 A x y 22 B xy的圓系方程是的圓系方程是 1212112112 0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212 0 xxxxyyyyaxbyc 其中其中0axbyc 是直線是直線AB的方程的方程 是待定的是待定的 系數(shù)系數(shù) 2 2 過 直 線過 直 線l 0AxByC 與 圓與 圓C 22 0 xyDxEyF 的 交 點(diǎn) 的 圓 系 方 程 是的 交 點(diǎn) 的 圓 系 方 程 是 22 0 xyDxEyFAxByC 是待定的系數(shù)是待定的系數(shù) 3 3 過圓過圓 1 C 22 111 0 xyD xE yF 與圓與圓 2 C 22 222 0 xyD xE yF 的交點(diǎn)的圓系方程是的交點(diǎn)的圓系方程是 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 是待定的系數(shù)是待定的系數(shù) 88 88 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy與圓與圓 222 rbyax 的位置關(guān)系有三種的位置關(guān)系有三種 若若 22 00 daxby 則則 dr 點(diǎn)點(diǎn)P在圓外在圓外 dr 點(diǎn)點(diǎn)P在圓上在圓上 dr 點(diǎn)點(diǎn)P在圓內(nèi)在圓內(nèi) 89 89 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系 直線直線0 CByAx與圓與圓 222 rbyax 的位置關(guān)系有三種的位置關(guān)系有三種 0 相離rd 0 相切rd 0 相交rd 其中其中 22 BA CBbAa d 90 90 兩圓位置關(guān)系的判定方法兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為設(shè)兩圓圓心分別為 O O1 1 O O2 2 半徑分別為半徑分別為 r r1 1 r r2 2 dOO 21 條公切線外離4 21 rrd 條公切線外切3 21 rrd 條公切線相交2 2121 rrdrr 條公切線內(nèi)切1 21 rrd 無公切線內(nèi)含 21 0rrd 91 91 圓的切線方程圓的切線方程 13 1 1 已知圓已知圓 22 0 xyDxEyF 若已知切點(diǎn)若已知切點(diǎn) 00 xy在圓上在圓上 則切線只有一條則切線只有一條 其方程是其方程是 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 當(dāng)當(dāng) 00 xy圓外時(shí)圓外時(shí) 00 00 0 22 D xxE yy x xy yF 表示表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程 過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為 00 yyk xx 再利用相切條件求再利用相切條件求 k k 這時(shí)必有兩條切線這時(shí)必有兩條切線 注意不注意不 要漏掉平行于要漏掉平行于 y y 軸的切線軸的切線 斜率為斜率為 k k 的切線方程可設(shè)為的切線方程可設(shè)為ykxb 再利用相切條件求再利用相切條件求 b b 必有兩條切線必有兩條切線 2 2 已知圓已知圓 222 xyr 過圓上的過圓上的 000 P xy點(diǎn)的切線方程為點(diǎn)的切線方程為 2 00 x xy yr 斜率為斜率為k的圓的切線方程為的圓的切線方程為 2 1ykxrk 9292 橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的參數(shù)方程是的參數(shù)方程是 cos sin xa yb 9393 橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 焦半徑公式焦半徑公式 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 9494 橢圓的橢圓的的內(nèi)外部的內(nèi)外部 1 1 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在在橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的內(nèi)部的內(nèi)部 22 00 22 1 xy ab 2 2 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在在橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 95 95 橢圓橢圓的的切線切線方程方程 1 1 橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 上一點(diǎn)上一點(diǎn) 00 P xy處的切線方程是處的切線方程是 00 22 1 x xy y ab 2 2 過橢圓過橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 外一點(diǎn)外一點(diǎn) 00 P xy所引兩條切線的切所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是點(diǎn)弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 橢圓橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 與直線與直線0AxByC 相切的條件是相切的條件是 22222 A aB bc 9696 雙曲線雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 的的焦半徑公式焦半徑公式 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 97 97 雙曲雙曲線線的內(nèi)外部的內(nèi)外部 1 1 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在雙曲線在雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 的內(nèi)部的內(nèi)部 22 00 22 1 xy ab 2 2 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在雙曲線在雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 的外部的外部 22 00 22 1 xy ab 98 98 雙曲雙曲線線的方程與的方程與漸近線方程的關(guān)系漸近線方程的關(guān)系 1 1 若雙曲線方程為若雙曲線方程為1 2 2 2 2 b y a x 漸近線方程漸近線方程 22 22 0 xy ab x a b y 14 2 2 若若漸近線方程為漸近線方程為x a b y 0 b y a x 雙曲線可設(shè)為雙曲線可設(shè)為 2 2 2 2 b y a x 3 3 若若雙曲線與雙曲線與1 2 2 2 2 b y a x 有公共漸近線有公共漸近線 可設(shè)為可設(shè)為 2 2 2 2 b y a x 0 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 x x 軸上軸上 0 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 y y 軸上軸上 99 99 雙曲線的雙曲線的切線方程切線方程 1 1 雙曲線雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 上一點(diǎn)上一點(diǎn) 00 P xy處的切線方程是處的切線方程是 00 22 1 x xy y ab 2 2 過雙曲線過雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 外一點(diǎn)外一點(diǎn) 00 P xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00 22 1 x xy y ab 3 3 雙曲線雙曲線 22 22 1 0 0 xy ab ab 與直線與直線0AxByC 相切的條件是相切的條件是 22222 A aB bc 100100 拋物線拋物線pxy2 2 的的焦半徑公式焦半徑公式 拋物線拋物線 2 2 0 ypx p 焦半徑焦半徑 0 2 p CFx 過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)過焦點(diǎn)弦長(zhǎng)pxx p x p xCD 2121 22 101101 拋物線拋物線pxy2 2 上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為 P P 2 2 y p y 或或或 2 2 2 ptptP P P x y 其中其中 2 2ypx 102102 二 次 函 數(shù)二 次 函 數(shù) 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 的 圖 象 是的 圖 象 是 拋 物 線拋 物 線 1 1 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為 2 4 24 bacb aa 2 2 焦點(diǎn)的坐標(biāo)為焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 2 41 24 bacb aa 3 3 準(zhǔn)線方程是準(zhǔn)線方程是 2 41 4 acb y a 103 103 拋物線的內(nèi)外部拋物線的內(nèi)外部 1 1 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 ypx p 的內(nèi)部的內(nèi)部 2 2 0 ypx p 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 2 2 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 ypx p 的內(nèi)部的內(nèi)部 2 2 0 ypx p 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 ypx p 的外部的外部 2 2 0 ypx p 3 3 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 xpy p 的內(nèi)部的內(nèi)部 2 2 0 xpy p 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 4 4 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 xpy p 的內(nèi)部的內(nèi)部 2 2 0 xpy p 點(diǎn)點(diǎn) 00 P xy在拋物線在拋物線 2 2 0 xpy p 的外部的外部 2 2 0 xpy p 104 104 拋物線的拋物線的切線方程切線方程 1 1 拋物線拋物線pxy2 2 上上一點(diǎn)一點(diǎn) 00 P xy處的切線方程是處的切線方程是 00 y yp xx 2 2 過過拋物線拋物線pxy2 2 外一點(diǎn)外一點(diǎn) 00 P xy所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是 00 y yp x x 3 3 拋物線拋物線 2 2 0 ypx p 與直線與直線0AxByC 相切的條件是相切的條件是 2 2pBAC 105 105 兩個(gè)常見的曲線系方程兩個(gè)常見的曲線系方程 1 1 過曲線過曲線 1 0f x y 2 0fx y 的交點(diǎn)的曲線系方程是的交點(diǎn)的曲線系方程是 12 0f x yf x y 為參數(shù)為參數(shù) 2 2 共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程 22 22 1 xy akbk 其中其中 22 max ka b 當(dāng)當(dāng) 22 min ka b 時(shí)時(shí) 表表示橢示橢 15 圓圓 當(dāng)當(dāng) 2222 min max a bka b 時(shí)時(shí) 表示雙曲線表示雙曲線 106106 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式 22 1212 ABxxyy 或或 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 弦端點(diǎn)弦端點(diǎn) A A 2211 yxByx 由由 方程方程 0 y x F bkxy 消去消去 y y 得到得到0 2 cbxax 0 為直線為直線AB的傾斜角的傾斜角 k為直線的斜率為直線的斜率 107107 圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題圓錐曲線的兩類對(duì)稱問題 1 1 曲線曲線 0F x y 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 00 P xy成中心對(duì)稱的曲線是成中心對(duì)稱的曲線是 00 2 2 0Fx xyy 2 2 曲線曲線 0F x y 關(guān)于直線關(guān)于直線0AxByC 成軸對(duì)稱的曲線是成軸對(duì)稱的曲線是 2222 2 2 0 A AxByCB AxByC F xy ABAB 108108 四線四線 一方程一方程 對(duì)于一般的二次曲線對(duì)于一般的二次曲線 22 0AxBxyCyDxEyF 用用 0 x x代代 2 x 用用 0 y y代代 2 y 用用 00 2 x yxy 代代xy 用用 0 2 xx 代代x 用用 0 2 yy 代代y即得方程即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF 曲線的切線曲線的切線 切點(diǎn)弦切點(diǎn)弦 中點(diǎn)弦中點(diǎn)弦 弦中點(diǎn)方程均是弦中點(diǎn)方程均是 此方程得到此方程得到 109109 證明直線與直線的平行的思考途徑證明直線與直線的平行的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn) 2 轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行 3 轉(zhuǎn)化為線面平行轉(zhuǎn)化為線面平行 4 轉(zhuǎn)化為線面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 5 轉(zhuǎn)化為面面平行轉(zhuǎn)化為面面平行 110 證明直線與平面的平行的思考途徑證明直線與平面的平行的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn) 2 轉(zhuǎn)化為線線平行轉(zhuǎn)化為線線平行 3 轉(zhuǎn)化為面面平行轉(zhuǎn)化為面面平行 111 證明平面與平面平行的思考途徑證明平面與平面平行的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn) 2 轉(zhuǎn)化為線面平行轉(zhuǎn)化為線面平行 3 轉(zhuǎn)化為線面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 112 證明直線與直線的垂直的思考途徑證明直線與直線的垂直的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為相交垂直轉(zhuǎn)化為相交垂直 2 轉(zhuǎn)化為線面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 3 轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直 4 轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直 113 證明直線與平面垂直的思考途徑證明直線與平面垂直的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直 2 轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直相交二直線垂直 3 轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行 4 轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面 5 轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直 114 證明平面與平面的垂直的思考途徑證明平面與平面的垂直的思考途徑 1 轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角 2 轉(zhuǎn)化為線面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直 115 空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律 1 1 加法交換律加法交換律 a a b b b b a a 2 2 加法結(jié)合律加法結(jié)合律 a a b b c c a a b b c c 16 3 3 數(shù)乘分配律數(shù)乘分配律 a a b b a a b b 116 116 平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和量之和 等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn) 的對(duì)角線所表示的向量的對(duì)角線所表示的向量 117 共線向量定理共線向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量對(duì)空間任意兩個(gè)向量 a b b 0 a b 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù) 使使 a b PAB 三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線 APAB APtAB 1 OPt OAtOB AB CD AB CD 共線且共線且ABCD 不共線不共線 ABtCD 且且ABCD 不共線不共線 118 118 共面向量定理共面向量定理 向量向量 p p 與兩個(gè)不共線的向量與兩個(gè)不共線的向量 a a b b 共面的共面的 存在實(shí)數(shù)對(duì)存在實(shí)數(shù)對(duì) x y 使使paxby 推論推論 空間一點(diǎn)空間一點(diǎn) P P 位于平面位于平面 MABMAB 內(nèi)的內(nèi)的 存在有序?qū)崝?shù)對(duì)存在有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 使使MPxMAyMB 或或?qū)臻g任一定點(diǎn)對(duì)空間任一定點(diǎn) O O 有序?qū)崝?shù)對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 使使OPOMxMAyMB 119 119 對(duì)空間任一點(diǎn)對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)和不共線的三點(diǎn) A A B B C C 滿足滿足OPxOAyOBzOC xyzk 則當(dāng)則當(dāng)1k 時(shí)時(shí) 對(duì)于空間任一點(diǎn)對(duì)于空間任一點(diǎn)O 總有總有 P P A A B B C C 四點(diǎn)四點(diǎn)共面共面 當(dāng)當(dāng)1k 時(shí)時(shí) 若若O 平面平面 ABCABC 則則 P P A A B B C C 四點(diǎn)四點(diǎn)共面共面 若若O 平面平面 ABCABC 則則 P P A A B B C C 四點(diǎn)不四點(diǎn)不共面共面 C AB D四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面 AD 與與AB AC 共面共面 ADxAByAC 1 ODxy OAxOByOC O 平面平面 ABCABC 120 120 空間向量基本定理空間向量基本定理 如果三個(gè)向量如果三個(gè)向量 a a b b c c 不共面不共面 那么對(duì)空間任一向量那么對(duì)空間任一向量 p p 存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組 x x y y z z 使使 p p x xa a y yb b z zc c 推論推論 設(shè)設(shè) O O A A B B C C 是不共面的四點(diǎn)是不共面的四點(diǎn) 則則對(duì)空間任一點(diǎn)對(duì)空間任一點(diǎn) P P 都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x x y y z z 使使 OPxOAyOBzOC 121 121 射影公式射影公式 已知向量已知向量AB a a和軸和軸l e e 是是l上與上與l同方向的同方向的單位向量單位向量 作作 A A 點(diǎn)在點(diǎn)在l上的射影上的射影 A 作作 B B 點(diǎn)在點(diǎn)在l上的射影上的射影 B 則則 cosABAB a a e e a a e e 122 122 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 設(shè)設(shè)a a 123 a a a b b 123 b b b則則 1 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 3 a a 123 aaa R R 4 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 123 123 設(shè)設(shè) A A 111 x y z B B 222 xyz 則則 ABOBOA 212121 xx yy zz 124124 空間的空間的線線平行或垂直線線平行或垂直 設(shè)設(shè) 111 ax y z r 222 bxyz r 則則 a b rr P 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 121212 0 x xy yz z 125 125 夾角公式夾角公式 設(shè)設(shè)a a 123 a a a b b 123 b b b 則則 coscos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 17 推論推論 2222222 1 1223 3123123 a ba ba baaabbb 此即三維柯西不等式此即三維柯西不等式 126 126 四面體的對(duì)棱所成的角四面體的對(duì)棱所成的角 四面體四面體ABCD中中 AC與與BD所成的角為所成的角為 則則 2222 cos 2 ABCDBCDA AC BD 127 異面直線所成角異面直線所成角 cos cos a b r r 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中其中 090 oo 為異面直線為異面直線a b 所成角所成角 a b r r 分別表示異面直線分別表示異面直線a b 的方向向量的方向向量 128 直線直線AB與平面所成角與平面所成角 sin AB m arc AB m m 為平面為平面 的法向量的法向量 129 129 若若ABC 所在平面若所在平面若 與過若與過若AB的平面的平面 成的角成的角 另兩邊另兩邊AC BC與平面與平面 成的角分別是成的角分別是 1 2 AB 為為ABC 的兩個(gè)內(nèi)角的兩個(gè)內(nèi)角 則則 22222 12 sinsin sinsin sinAB 特別地特別地 當(dāng)當(dāng)90ACB 時(shí)時(shí) 有有 222 12 sinsinsin 130 130 若若ABC 所在平面若所在平面若 與過若與過若AB的平面的平面 成的角成的角 另兩邊另兩邊AC BC與平面與平面 成的角分別是成的角分別是 1 2 AB 為為ABO 的兩個(gè)內(nèi)角的兩個(gè)內(nèi)角 則則 222 2 2 12 tantan sinsin tanAB 特別地特別地 當(dāng)當(dāng)90AOB 時(shí)時(shí) 有有 222 12 sinsinsin 131 二面角二面角l 的平面角的平面角 cos m n arc m n 或或cos m n arc m n m n 為平面為平面 的法向量的法向量 132132 三余弦定理三余弦定理 設(shè)設(shè) ACAC 是是 內(nèi)的任一條直線內(nèi)的任一條直線 且且 BCBC ACAC 垂足為垂足為 C C 又設(shè)又設(shè) AOAO 與與 ABAB 所成的角為所成的角為 1 ABAB 與與 ACAC 所成的角為所成的角為 2 AOAO 與與 ACAC 所成的角為所成的角為 則則 12 coscoscos 133133 三射線定理三射線定理 若夾在平面角為若夾在平面角為 的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是 1 2 與二面角的棱所成的角是與二面角的棱所成的角是 則有則有 2222 1212 sinsinsinsin2sinsincos 1212 180 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)90 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立 134134 空間兩點(diǎn)間