時(shí)間序列分析word版.doc

第2章 時(shí)間序列的預(yù)處理拿到一個(gè)觀察值序列之后，首先要對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)，這兩個(gè)重要的檢驗(yàn)稱為序列的預(yù)處理。根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果可以將序列分為不同的類型，對(duì)不同類型的序列我們會(huì)采用不同的分析方法。2.1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)2.1.1 特征統(tǒng)計(jì)量平穩(wěn)性是某些時(shí)間序列具有的一種統(tǒng)計(jì)特征。要描述清楚這個(gè)特征，我們必須借助如下統(tǒng)計(jì)工具。1、 概率分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)告訴我們分布函數(shù)或密度函數(shù)能夠完整地描述一個(gè)隨 機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征。同樣，一個(gè)隨機(jī) 變量族的統(tǒng)計(jì)特性也完全由它們的聯(lián) 合分布函數(shù)或聯(lián)合密度函數(shù)決定。對(duì)于時(shí)間序列，t，這樣來(lái)定義它的概率分布：任取正整數(shù)m，任取，則m維隨機(jī)向量（）的聯(lián)合概率分布記為，由這些有限維分布函數(shù)構(gòu)成的全體。，m正整數(shù)， 就稱為序列的概率分布族。概率分布族是極其重要的統(tǒng)計(jì)特征描述工具，因?yàn)樾蛄械乃薪y(tǒng)計(jì)性質(zhì)理論上都可以通過(guò) 概率分布推測(cè)出來(lái)，但是概率分布族的重要 性也就停留在這樣的理論意義上。在實(shí)際應(yīng) 用中，要得到序列的聯(lián)合概率分布幾乎是不 可能的，而且聯(lián)合概率分布通常涉及非常復(fù) 雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，這些原因使我們很少直接使 用聯(lián)合概率分布進(jìn)行時(shí)間序列分析。2、 特征統(tǒng)計(jì)量一個(gè)更簡(jiǎn)單、更實(shí)用的描述時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)特征的方法是研究該序列的低階矩，特別是均值、方差、自協(xié)方差和自相關(guān)系數(shù)，它們也被稱為特征統(tǒng)計(jì)量。盡管這些特征統(tǒng)計(jì)量不能描述隨機(jī)序列全部的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，但由于它們概率意義明顯，易于計(jì)算，而且往往能代表隨機(jī) 序列的主要概率特征，所以我們對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行分析，主要就是通過(guò)分析這些統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特性，推斷出隨機(jī)序列的性質(zhì)。1. 均值對(duì)時(shí)間序列，t而言，任意時(shí)刻的序列值都是一個(gè)隨機(jī)變量，都有它自己的概率分布，不妨記為。只要滿足條件就一定存在著某個(gè)常數(shù)，使得隨機(jī)變量總是圍繞在常數(shù)值附近做隨機(jī)波動(dòng)。我們稱為序列在t時(shí)刻的均值函數(shù)。 =當(dāng)t取遍所有的觀察時(shí)刻時(shí)，就得到一個(gè)均值函數(shù)序列，t。它反映的是時(shí)間序列，t每時(shí)每刻的平均水平。2. 方差當(dāng)時(shí)，可以定義時(shí)間序列的方差函數(shù)用以描述序列值圍繞其均值做隨機(jī)波動(dòng)時(shí)的平均波動(dòng)程度。同樣，當(dāng)t取遍所有的觀察時(shí)刻時(shí)，我們得到一個(gè)方差函數(shù)序列。3.自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)類似于協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)系數(shù)的定義，在時(shí)間序列分析中我們定義自協(xié)方差函數(shù)（autocovariance function）和自相關(guān)系數(shù)（autocorrelation coefficient）的概念。對(duì)于時(shí)間序列，t，任取t，s，定義（t，s）為序列的自協(xié)方差函數(shù)：定義為時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)記為ACF。 之所以稱它們?yōu)樽詤f(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)，是因?yàn)橥ǔ５膮f(xié)方差函數(shù)和相關(guān)系數(shù)度量的是兩個(gè)不同事件彼此之間的相互影響程度，而自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)度量的是同一事件在兩個(gè)不同時(shí)期之間的相關(guān)程度，形象地講就是度量自己過(guò)去的行為對(duì)自己現(xiàn)在的影響。2.1.2 平穩(wěn)時(shí)間序列的定義平穩(wěn)時(shí)間序列有兩種定義，根據(jù)限制條件的嚴(yán)格程度，分為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列和寬平穩(wěn)時(shí)間序列。1、 嚴(yán)平穩(wěn)所謂嚴(yán)平穩(wěn)（strictly stationary）就是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不會(huì)隨時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該序列才能被認(rèn)為平穩(wěn)。而我們知道，隨機(jī)變量族的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)完全由它們的聯(lián)合概率分布族決定。所以嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義如下：定義2.1 設(shè)為一時(shí)間序列，對(duì)任意正整數(shù)m，任取，對(duì)任意整數(shù)，有=則稱時(shí)間序列為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。前面說(shuō)過(guò)，在實(shí)踐中要獲得隨機(jī)序列的聯(lián)合分布是一件非常困難的事，而且即使知道隨機(jī)序列的聯(lián)合分布，計(jì)算和應(yīng)用也非常不便。所以嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列通常只具有理論意義，在實(shí)踐中用得更多的是條件比較寬松的寬平穩(wěn)時(shí)間序列。2、 寬平穩(wěn)寬平穩(wěn)（weak stationary）是使用序列的特征統(tǒng)計(jì)量來(lái)定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證效率低階矩平穩(wěn)（二階），就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。定義2.2 如果滿足如下三個(gè)條件：（1） 任取t，有（2） 任取t，有為常數(shù)；（3） 任取t，s，k，且k+s-t，有(t,s)=(k,k+s-t)則稱為寬平穩(wěn)時(shí)間序列。寬平穩(wěn)也稱為弱平穩(wěn)或二階平穩(wěn)（second-order stationary）。 顯然，嚴(yán)平穩(wěn)比寬平穩(wěn)的條件嚴(yán)格。嚴(yán)平穩(wěn)是對(duì)序列聯(lián)合分布的要求，以保證序列所有的統(tǒng)計(jì)特征都相同；而寬平穩(wěn)只要求序列二階平穩(wěn)，對(duì)于高于二階的矩沒(méi)有任何要求。所以通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)序列也滿足寬平穩(wěn)條件，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立。但這不是絕對(duì)的，兩種情況都有特例。比如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因?yàn)樗淮嬖谝弧⒍A矩，所以無(wú)法驗(yàn)證它二階平穩(wěn)。嚴(yán)格地講，只要存在二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列才能保證它一定也是寬平穩(wěn)序列。寬平穩(wěn)一般推不出嚴(yán)平穩(wěn)，但當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時(shí)，則二階平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)。定義2.3 時(shí)間序列稱為正態(tài)時(shí)間序列，如果任取正整數(shù)n，任取，相對(duì)應(yīng)的有限維隨機(jī)變量服從n維正態(tài)分布，密度函數(shù)為：其中，；;為協(xié)方差陣： 從正態(tài)隨機(jī)序列的密度函數(shù)可以看出，它的n維分布僅由均值向量和協(xié)方差陣決定，即對(duì)正 態(tài)隨機(jī)序列而言，只要二階矩平穩(wěn)了，就等于分布 平穩(wěn)了，所以寬平穩(wěn)的正態(tài)序列一定是嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。對(duì)于非正態(tài)過(guò)程，就沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)了在實(shí)際應(yīng)用中，研究最多的是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列，以后見(jiàn)到平穩(wěn)隨機(jī)序列，如果不加特別注明，指的都是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列。如果序列不滿足平穩(wěn)條件，就稱為非平穩(wěn)序列。2.1.3 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義，可以推斷出它一定具有如下兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。1、 常數(shù)均值 二、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)系數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān) 根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以將自協(xié)方差函數(shù)由二維函數(shù)簡(jiǎn)化為一維函數(shù)： 由此引出延遲k自協(xié)方差函數(shù)的概念。定義2.4 對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列，t，任取t(t+k)，定義(k)為時(shí)間序列的延遲k自協(xié)方差函數(shù)： 根據(jù)平穩(wěn)序列的這個(gè)性質(zhì)，容易推斷出平穩(wěn)隨機(jī)序列一定具有常數(shù)方差： 由延遲k自協(xié)方差函數(shù)的概念可以等價(jià)得到延遲k自相關(guān)系數(shù)的概念： 容易驗(yàn)證和相關(guān)系數(shù)一樣，自相關(guān)系數(shù)具有如下三個(gè)性質(zhì)：（1） 規(guī)范性 且（2） 對(duì)稱性 （3） 非負(fù)定性 對(duì)任意正整數(shù)m，相關(guān)陣為對(duì)稱非負(fù)定陣。 值得注意的是，除了具有上述三個(gè)性質(zhì)外，還具有一個(gè)特別的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)模型的非唯一性。 一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列一定唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但它的自相關(guān)函數(shù)未必唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列。我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)中將證明這一點(diǎn)。這個(gè)性質(zhì)就給我們根據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)來(lái)確定模型增加了一定的難度。2.1.4 平穩(wěn)時(shí)間序列的意義時(shí)間序列分析方法作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，遵循數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本原理，都是利用樣本信息來(lái)推測(cè)總體信息。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析通常都擁有如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，見(jiàn)表2-1。表2-1 隨機(jī)變量樣本.1.2.n.根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)常識(shí)，顯然要分析的隨機(jī)變量越少越好（m越小越好），而每個(gè)變量獲得的樣本信息越多越好（n越大越好）。因?yàn)殡S機(jī)變量越少，分析的過(guò)程越簡(jiǎn)單， 而樣本容量越大，分析的結(jié)果就會(huì)越可靠。但是時(shí)間序列分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有它的特殊性。對(duì)隨機(jī)序列而言，它在任意時(shí)刻t的序列值都是一個(gè)隨機(jī)變量，而且由于時(shí)間的不可重復(fù)性，該變量在任意一個(gè)時(shí)刻只能獲得唯一的樣本觀察值。因?yàn)闀r(shí)間序列分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如下，見(jiàn)表2-2。表2-2 隨機(jī)變量樣本.1.由于樣本信息太少，如果沒(méi)有其他的輔助信息，通常這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是沒(méi)有辦法進(jìn)行分析的。而序列平穩(wěn)性概念的提出可以有效地解決這個(gè)問(wèn)題。在平穩(wěn)序列場(chǎng)合，序列的均值等于常數(shù)意味著原本含有可列多個(gè)隨機(jī)變量的均值數(shù)列 變成了一個(gè)常數(shù)序列 原本每個(gè)隨機(jī)變量的均值只能依靠唯一的一個(gè)樣本觀察值去估計(jì) 現(xiàn)在由于，于是每一個(gè)樣本觀察值，都變成了常數(shù)均值的樣本觀察值 這極大地減少了隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，并增加了待估參數(shù)的樣本容量。換句話說(shuō)，這大大降低了時(shí)序分析的難度，同時(shí)也提高了對(duì)均值函數(shù)的估計(jì)精度。同理，根據(jù)平穩(wěn)序列二階矩平穩(wěn)的性質(zhì)，可以得到基于全體觀察樣本計(jì)算出來(lái)的延遲k自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值并進(jìn)一步推導(dǎo)出總體方差的估計(jì)值 和延遲k自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值 當(dāng)延遲階數(shù)k遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于樣本容量n時(shí)， 2.1.5 平穩(wěn)性的檢驗(yàn)對(duì)序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗(yàn)方法，一種是根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷的圖檢驗(yàn)方法；一種是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法。圖檢驗(yàn)方法是一種操作簡(jiǎn)便、運(yùn)用廣泛的平穩(wěn)性判別方法，它的缺點(diǎn)是判別結(jié)論帶有很強(qiáng)的主觀色彩。所以最好能用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法加以輔助判斷。目前最常用的平穩(wěn)性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法是單位根檢驗(yàn)（unit root test）。由于目前知識(shí)的局限性，本章將主要介紹平穩(wěn)性的圖檢驗(yàn)方法，單位根檢驗(yàn)將在第6章詳細(xì)介紹。1、 時(shí)序圖檢驗(yàn)所謂時(shí)序圖就是一個(gè)平面二維坐標(biāo)圖，通常橫軸表示時(shí)間，縱軸表示序列取值。時(shí)序圖可以直觀地幫助我們掌握時(shí)間序列的一些基本分布特征。根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值、方差為常數(shù)的性質(zhì)，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該顯示出該序列始終在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，而且波動(dòng)的范圍有界的特點(diǎn)。如果觀察序列的時(shí)序圖，顯示出該序列有明顯的趨勢(shì)性或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，對(duì)于很多非平穩(wěn)序列，可以通過(guò)查看它的時(shí)序圖將其識(shí)別出來(lái)。例2-1 繪制1964-1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列時(shí)序圖（數(shù)據(jù)見(jiàn)表A1-4）。時(shí)序圖如圖2-1所示。 圖2-1 中國(guó)紗年產(chǎn)量時(shí)序圖時(shí)序圖給我們提供的信息非常明確，中國(guó)紗年產(chǎn)量序列有明顯的遞增趨勢(shì)，所以它不一定不是平穩(wěn)序列。例2-2 繪制1962年1月至1975年12月平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列時(shí)序圖（數(shù)據(jù)見(jiàn)表A1-5）時(shí)序圖如圖2-2所示。 圖2-2 平均每頭奶牛月產(chǎn)奶量序列時(shí)序圖時(shí)序圖清晰地顯示平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量以年為周期呈現(xiàn)出規(guī)則的周期性，除此之外，還有明顯的逐年遞增的趨勢(shì)。顯然該序列也不一定不是平穩(wěn)序列。例2-3 繪制1949-1998年北京市每年最高氣溫序列時(shí)序圖（數(shù)據(jù)見(jiàn)表A1-6）時(shí)序圖如圖2-3所示。 圖2-3 北京市每年的最高氣溫時(shí)序圖 時(shí)序圖顯示北京市每年的最高氣溫始終圍繞在37附近隨機(jī)波動(dòng)，沒(méi)有明顯趨勢(shì)或周期，基本可以視為平穩(wěn)序列。為了穩(wěn)妥起見(jiàn)，我們還需要利用自相關(guān)圖進(jìn)一步輔助識(shí)別。2、 自相關(guān)圖檢驗(yàn)自相關(guān)圖是一個(gè)平面二維坐標(biāo)懸垂線圖，一個(gè)坐標(biāo)軸表示延遲時(shí)期數(shù)，另一個(gè)坐標(biāo)軸表示自相關(guān)系數(shù)，通常以懸垂線表示自相關(guān)系數(shù)的大小。在后面的章節(jié)里我們會(huì)證明平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來(lái)描述就是隨著延遲期數(shù)k的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)會(huì)很快地衰減向零。反之，非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)衰減向零的速度通常比較慢，這就是我們利用自相關(guān)圖進(jìn)行平穩(wěn)性判斷的標(biāo)準(zhǔn)。例2-1續(xù) 繪制1964-1999年中國(guó)紗年產(chǎn)量序列自相關(guān)圖。 自相關(guān)圖如圖2-4所示。 圖2-4 中國(guó)紗年產(chǎn)量序列自相關(guān)圖該圖橫軸表示自相關(guān)系數(shù)，縱軸表示延遲時(shí)期數(shù)，用水平方向的垂線表示自相關(guān)系數(shù)的大小。從圖中我們發(fā)現(xiàn)序列的自相關(guān)系數(shù)遞減到零的速度相當(dāng)緩慢，在很長(zhǎng)的延遲時(shí)期里，自相關(guān)系數(shù)一直為正，而后，又一直為負(fù)，在自相關(guān)圖上顯示出明顯的三角對(duì)稱性，這是具有單調(diào)趨勢(shì)的非平穩(wěn)序列的一種典型的自相關(guān)圖形式。這和該序列時(shí)序圖（圖2-1）顯示的顯著的單調(diào)遞增性是一致的。例2-2 續(xù) 繪制1962年1月至1975年12月平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列自相關(guān)圖。 自相關(guān)圖如圖2-5所示。 圖2-5 平均每頭奶牛的月產(chǎn)奶量序列自相關(guān)圖自相關(guān)圖顯示序列自相關(guān)系數(shù)長(zhǎng)期位于零軸的一邊，這是具有單調(diào)趨勢(shì)序列的典型特征，同時(shí)自相關(guān)圖呈現(xiàn)出明顯的正弦波動(dòng)規(guī)律，這是具有周期變化規(guī)律的非平穩(wěn)序列的典型特征。自相關(guān)圖顯示出來(lái)的這兩個(gè)性質(zhì)和該序列時(shí)序圖（圖2-2）顯示出的帶長(zhǎng)期遞增趨勢(shì)的周期性質(zhì)是非常吻合的。例2-3 續(xù)（1） 繪制1949-1998年北京市每年最高氣溫序列自相關(guān)圖。 自相關(guān)圖如圖2-6所示。 自相關(guān)圖顯示該序列的自相關(guān)系數(shù)一直都比較小，始終控制在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差范圍以內(nèi)，可以認(rèn)為該序列自始至終都在零軸附近波動(dòng)，這是隨機(jī)性非常強(qiáng)的平穩(wěn)時(shí)間序列通常具有的自相關(guān)圖特征。2.2 純隨機(jī)性檢驗(yàn)?zāi)玫揭粋€(gè)觀察值序列之后，首先是判斷它的平穩(wěn)性。通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)，序列可以分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。對(duì)于非平穩(wěn)序列，由于它不具有二階矩平穩(wěn)的性質(zhì)，所以對(duì)它的統(tǒng)計(jì)分析要周折一些，通常要進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)、變換或處理之后，才能確定適當(dāng)?shù)臄M合模型。如果序列平穩(wěn)，情況就簡(jiǎn)單多了，我們有一套非常成熟的平穩(wěn)序列建模方法。但是，并不是所有的平穩(wěn)序列都值得建模。只有那些序列值之間具有密切的相關(guān)關(guān)系，歷史數(shù)據(jù)對(duì)未來(lái)的發(fā)展有一定影響的序列，菜值得我們花時(shí)間去挖掘歷史數(shù)據(jù)中的有效信息，用來(lái)預(yù)測(cè)序列未來(lái)的發(fā)展。如果序列值彼此之間沒(méi)有任何相關(guān)性，那就意味著該序列是一個(gè)沒(méi)有記憶的序列，過(guò)去的行為對(duì)將來(lái)的發(fā)展沒(méi)有絲毫影響，這種序列稱為純隨機(jī)序列。從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言，純隨機(jī)序列是沒(méi)有任何分析價(jià)值的序列。為了確定平穩(wěn)序列還值不值得繼續(xù)分析下去，我們需要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。2.2.1 純隨機(jī)序列的定義定義2.5 如果時(shí)間序列滿足如下性質(zhì)：（1） 任取t，有（2） 任取t，s，有 稱序列為純隨機(jī)序列，也稱為白噪聲（white noise）序列，簡(jiǎn)記為。之所以稱之為白噪聲序列，是因?yàn)槿藗冏畛醢l(fā)現(xiàn)白光具有這種特性。容易證明白噪聲序列一定是平穩(wěn)序列，而且是最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。例2-4 隨機(jī)產(chǎn)生1000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列觀察值，并繪制時(shí)序圖。 時(shí)序圖如圖2-7所示。 圖2-7 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖2.2.2 白噪聲序列的性質(zhì)白噪聲序列雖然很簡(jiǎn)單，但它在我們進(jìn)行時(shí)間序列分析時(shí)所起的作用卻非常大。它的兩個(gè)重要性質(zhì)在后面的分析過(guò)程中要經(jīng)常用到。1、 純隨機(jī)性由于白噪聲序列具有如下性質(zhì)： 這說(shuō)明白噪聲序列的各項(xiàng)之間沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系，這種“沒(méi)有記憶”的序列就是純隨機(jī)序列。純隨機(jī)序列各項(xiàng)之間沒(méi)有任何關(guān)聯(lián)，序列在進(jìn)行完全無(wú)序的隨機(jī)波動(dòng)。一旦某個(gè)隨機(jī)事件呈現(xiàn)出純隨機(jī)波動(dòng)的特征，就認(rèn)為該隨機(jī)事件沒(méi)有包含任何值得提取的有用信息，我們就應(yīng)該終止分析了。如果序列值之間呈現(xiàn)出某種顯著的相關(guān)關(guān)系： 就說(shuō)明該序列不是純隨機(jī)序列，該序列間隔k期的序列值之間存在著一定程度的相互影響關(guān)系， 這種相互影響關(guān)系，統(tǒng)計(jì)上稱為相關(guān)信息。我 們分析的目的就是要想方設(shè)法把這種相關(guān)信息 從觀察值序列中提取出來(lái)。一旦觀察值序列中 蘊(yùn)含的相關(guān)信息被我們充分提取出來(lái)了，那么 剩下的殘差序列就應(yīng)該呈現(xiàn)出純隨機(jī)的性質(zhì)。 所以純隨機(jī)性還是我們判斷相關(guān)信息是否提取 充分的一個(gè)判別標(biāo)準(zhǔn)。二、方差齊性所謂方差齊性，就是指序列中每個(gè)變量的方差都相等，即 如果序列不滿足方差齊性，就稱該序列具有異方差性質(zhì)。在時(shí)間序列分析中，方差齊性是一個(gè)非常重要的限制條件。因?yàn)楦鶕?jù)馬爾可夫定理，只有方差齊 性假定成立時(shí)，用最小二乘法得到的未知參數(shù)估 計(jì)值才是準(zhǔn)確的、有效的。如果假定不成立，最 小二乘估計(jì)值就不是方差最小線性無(wú)偏估計(jì)，擬合模型的預(yù)測(cè)精度會(huì)受到很大影響。所以我們?cè)谶M(jìn)行模型擬合時(shí)，檢驗(yàn)內(nèi)容之一就是要檢驗(yàn)擬合模型的殘差是否滿 足方差齊性假定。如果不滿足，那就說(shuō) 明殘差序列還不是白噪聲序列，即擬合模型沒(méi)有充分提取隨機(jī)序列中的相關(guān)信 息，這時(shí)擬合模型的精度是值得懷疑的。 在這種場(chǎng)合下，我們通常需要使用適當(dāng)?shù)臈l件異方差模型來(lái)處理異方差信息。2.2.3 純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)也稱為白噪聲檢驗(yàn)，是專門用來(lái)檢驗(yàn)序列是否為純隨機(jī)序列的一 種方法。我們知道如果一個(gè)序列是純隨機(jī)序列，那它的序列值之間應(yīng)該沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系，即滿足這是一種理論上才會(huì)出現(xiàn)的理想狀態(tài)。實(shí)際上，由于觀測(cè)值序列的有限性，導(dǎo)致純隨機(jī)序列的樣本自相關(guān)系數(shù)不會(huì)絕對(duì)為零。例2-4 續(xù)（1）繪制例2-4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列的樣本自相關(guān)圖。 自相關(guān)圖如圖2-8所示。 圖2-8 白噪聲序列樣本自相關(guān)圖樣本自相關(guān)圖顯示這個(gè)純隨機(jī)序列沒(méi)有一個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格等于零。但這些自相關(guān)系數(shù)確實(shí)都非常小，都在零值附近以一個(gè)很小的幅度做著隨機(jī)波動(dòng)。 這就提醒我們應(yīng)該考慮樣本自相關(guān)系數(shù)的分布性質(zhì)，從統(tǒng)計(jì)意義上來(lái)判斷序列的純隨機(jī)性質(zhì)。Barlett證明，如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為n的觀察序列 ，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布，即式中，n為序列觀察期數(shù)。根據(jù)Barlett定理，我們可以構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性。1、 假設(shè)條件由于序列值之間的變異性是絕對(duì)的，而相關(guān)性是偶然的，所以假設(shè)條件如下確定。原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列值之間相互獨(dú)立。備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于期的序列 值之間有相關(guān)性。該假設(shè)條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述即為： 2、 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1.Q統(tǒng)計(jì)量為了檢驗(yàn)這個(gè)聯(lián)合假設(shè)，Box和Pierce推導(dǎo)出了Q統(tǒng)計(jì)量： 式中，n為序列觀察期數(shù)；m為指定延遲期數(shù)。根據(jù)正態(tài)分布和卡方分布之間的關(guān)系，我們很容易推導(dǎo)出Q統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為m的卡方分布： 當(dāng)Q統(tǒng)計(jì)量大于分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值小于時(shí)，則可以以的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為序列為白噪聲序列；否則，接受原假設(shè)，認(rèn)為該序列為純隨機(jī)序列。2. LB統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際應(yīng)用中人們發(fā)現(xiàn)Q統(tǒng)計(jì)量在大樣本場(chǎng)合（n很大的場(chǎng)合）檢驗(yàn)效果很好，但在小樣本場(chǎng)合就不太精確。為了彌補(bǔ)這一缺陷，Box和Ljung又推導(dǎo)出LB（Ljung-Box）統(tǒng)計(jì)量：式中，n為序列觀測(cè)期數(shù)；m為指定延遲期數(shù)。Box和Ljung證明LB統(tǒng)計(jì)量同樣近似服從自由度為m的卡方分布。實(shí)際上LB統(tǒng)計(jì)量就是Box和Pierce的Q統(tǒng)計(jì)量的修正，所以人們習(xí)慣把它們統(tǒng)稱為Q統(tǒng)計(jì)量，分別記作統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量，在各種檢驗(yàn)場(chǎng)合普遍采用的Q統(tǒng)計(jì)量通常指的都是LB統(tǒng)計(jì)量。例2-4續(xù)（2） 計(jì)算例2-4中白噪聲序列延遲6期、延遲12期的統(tǒng)計(jì)量的值，并判斷該序列的隨機(jī)性（）。由圖2-8微米可以得到該序列延遲12期樣本自相關(guān)系數(shù)，數(shù)據(jù)如下，見(jiàn)表2-3.表2-3延遲期數(shù)k123456-0.001-0.037-0.0060.012-0.025-0.014延遲期數(shù)k7891011120.009-0.010-0.027-0.025-0.0140.035 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，很容易計(jì)算出表2-4的結(jié)果。表2-4延遲統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期2.360.8838延遲12期5.350.9454由于P值顯著大于顯著性水平 ，所以該序列不能拒絕純隨機(jī)的原假設(shè)。換言之，我們可以認(rèn)為該序列的波動(dòng)沒(méi)有任何統(tǒng)計(jì)規(guī)律可循，因而可以停止對(duì)該序列的統(tǒng)計(jì)分析。還需要解釋的一點(diǎn)是，為什么在本例中只檢驗(yàn)了前6期和前12期延遲的Q統(tǒng)計(jì)量和LB統(tǒng)計(jì)量就直接判斷該序列是白噪聲序列呢？為什么不進(jìn)行全部999期延遲呢？這是因?yàn)槠椒€(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系，通常只存在于延遲時(shí)期比較短的序檢驗(yàn)結(jié)果列值之間。所以，如果一個(gè)平穩(wěn)序列短期延遲的序列值之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系，通常長(zhǎng)期延遲之間就更不會(huì)存在顯著的相關(guān)關(guān)系。另一方面，假如一個(gè)平穩(wěn)序列顯示出顯著的短期相關(guān)性，那么該序列就一定不是白噪聲序列， 我們就可以對(duì)序列值之間存在的相關(guān)性進(jìn)行分析。假如此時(shí)考慮的延遲期數(shù)太長(zhǎng)，反而可能 淹沒(méi)了該序列的短期相關(guān)性。因?yàn)槠椒€(wěn)序列只要延遲期足夠長(zhǎng)，自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于零。例2-3續(xù)（2）對(duì)1949-1998年北京市最高氣溫序列做白噪聲檢驗(yàn)（）。 檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2-5。表2-5延遲LB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)LB統(tǒng)計(jì)量值P值延遲6期5.580.4713延遲12期6.710.8760 根據(jù)這個(gè)檢驗(yàn)結(jié)果，不能拒絕序列純隨機(jī)的原假設(shè)。因而可以認(rèn)為北京市最高氣溫的變動(dòng)屬于純隨機(jī)波動(dòng)。這說(shuō)明我們很難根據(jù)歷史信息預(yù)測(cè)未來(lái)年份的最高氣溫。至此，對(duì)該序列的分析也就結(jié)束了。例2-5對(duì)1950-1998年北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列的平穩(wěn)性與純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)（數(shù)據(jù)見(jiàn)表A1-7）。（1） 繪制該序列時(shí)序圖。 時(shí)序圖如圖2-9所示。 圖2-9 北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列時(shí)序圖 該時(shí)序圖顯示北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄始終占儲(chǔ)蓄存款余額的80%左右，波動(dòng)比較平穩(wěn)。（2）自相關(guān)圖檢驗(yàn)?？疾煸撔蛄械臉颖咀韵嚓P(guān)圖，進(jìn)一步檢驗(yàn)該序列的平穩(wěn)性。自相關(guān)圖如圖2-10所示。樣本自相關(guān)圖顯示延遲3階之后，自相關(guān)系數(shù)都落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)，而且自相關(guān)系數(shù)向零衰減的速度非常快，延遲8階之后自相關(guān)系數(shù)即在零值附近波動(dòng)。這是一個(gè)非常典型的短期相關(guān)的樣本自相關(guān)圖。由時(shí)序圖的樣本自相關(guān)圖的性質(zhì)，可以認(rèn)為該序列平穩(wěn)。（3） 純隨機(jī)性檢驗(yàn)（）。檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2-6. 圖2-10 北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列自相關(guān)圖表2-6延遲期數(shù)LB統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)LB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值P值675.460.00011282.570.0001 檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在各階延遲下LB統(tǒng)計(jì)量的P值都非常?。?9.999%）斷定北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄所占比例序列屬于非白噪聲序列。結(jié)合前面的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果，說(shuō)明該序列不僅可以視為是平穩(wěn)的，而且還蘊(yùn)含著值得提取的信息。這種平穩(wěn)非白噪聲序列是目前最容易分析的一種心理，下一章我們就要詳細(xì)介紹對(duì)這種平穩(wěn)非白噪聲序列的建模及預(yù)測(cè)方法。2.3 習(xí)題1.考慮序列1，2，3，4，5，20：(1) 判斷該序列是否平穩(wěn)； (2) 計(jì)算該序列的樣本自相關(guān)系數(shù) (k=1,2,6); (3) 繪制該樣本自相關(guān)圖，并解釋該圖形。2.1975-1980 年夏威夷島莫那羅亞火山（Mauna Loa）每月釋放的數(shù)據(jù)如下（單位：ppm）見(jiàn)表2-7(行數(shù)據(jù))。表2-7330.45 330.97 331.64 332.87 333.61 333.55 331.90 330.05 328.58 328.31 329.41 330.63 331.63 332.46 333.36 334.45 334.82 334.32 333.05 330.87 329.24 328.87 330.18 331.50 332.81 333.23 334.55 335.82 336.44 335.99 334.65 332.41 331.32 330.73 332.05 333.53 334.66 335.07 336.33 337.39 337.65 337.57 336.25 334.39 332.44 332.25 333.59 334.76 335.89 336.44 337.63 338.54 339.06 338.95 337.41 335.71 333.68 333.69 335.05 336.53 337.81 338.16 339.88 340.57 341.19 340.87 339.25 337.19 335.49 336.63 337.74 338.36（1）繪制該序列時(shí)序圖，并判斷該序列是否平穩(wěn)。（2）計(jì)算該序列的樣本自相關(guān)系數(shù) (k=1,2,24)。（3）繪制該樣本自相關(guān)圖，并解釋該圖形。3.1945-1950 年費(fèi)城月度降雨量數(shù)據(jù)如下（單位：mm），見(jiàn)表2-8（行數(shù)據(jù)）表2-869.3 80.0 40.9 74.9 84.6 101.1 225.0 95.3 100.6 48.3 144.5 128.3 38.4 52.3 68.6 37.1 148.6 218.7 131.6 112.8 81.8 31.0 47.5 70.1 96.8 61.5 55.6 171.7 220.5 119.4 63.2 181.6 73.9 64.8 166.9 48.0 137.7 80.5 105.2 89.9 174.8 124.0 86.4 136.9 31.5 35.3 112.3 143.0 160.8 97.0 80.5 62.5 158.2 7.6 165.9 106.7 92.2 63.2 26.2 77.0 52.3 105.4 144.3 49.5 116.1 54.1 148.6 159.3 85.3 67.3 112.8 59.4（1） 計(jì)算該序列的樣本自相關(guān)系數(shù) (k=1,2,24)。（2） 判斷該序列的平穩(wěn)性。（3） 判斷該序列的純隨機(jī)性。4. 若序列長(zhǎng)度為100，前12個(gè)樣本自相關(guān)系數(shù)如下：=0.02 =0.05 =0.10 =-0.02 =0.05 =0.01=0.12 =-0.06 =0.08 =-0.05 =0.02 =-0.05該序列能否視為純隨機(jī)序列（）？5. 表2-9數(shù)據(jù)是某公司在2000-2003年期間每月的銷售量。表2-9月份2000年2001年2002年2003年11531341451172187175203178323424318914942122272141785300298295248622125622020272012372311628175165174135912312411912010104106859611858767901278747463（1） 繪制該序列時(shí)序圖及樣本自相關(guān)圖。（2） 判斷該序列的平穩(wěn)性。（3） 判斷該序列的純隨機(jī)性。6.1969年1月至1973年9月在芝加哥海德公園內(nèi)每28天發(fā)生的搶包案件數(shù)見(jiàn)表2-10（行數(shù)據(jù)）。表2-101015101012107710148171418391110612141025293333121916191912341536292632171913202412614612911171281414125810316887126108105（1） 判斷該序列的平穩(wěn)性及純隨機(jī)性。（2） 對(duì)該序列進(jìn)行函數(shù)運(yùn)算： 并