高二數(shù)學空間直線例題解析人教

高二數(shù)學空間直線例題解析一. 本周教學內容： 空間直線 1. 空間兩條直線的位置關系 位置關系 圖 示 表示方法 公共點個數(shù)Aab 兩 兩直線 直 相 交 abA 一個 線 ba 共 兩直線 ab 沒有 面 平行Ab 兩直線不在同 a、b是異面 沒有 一平面內 直線 2. 平行公理： 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 等角定理： 一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那麼這兩個角相等。 推論：兩條相交直線分別與另外兩條直線平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 。 3. 異面直線 （1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線叫異面直線。 （2）畫法： （3）異面直線判定： 用定義：（多用反證法） 判定：平面內一點和平面外一點的連線與平面內不經(jīng)過該點的直線是異面直線。 4. 異面直線所成的角： 過空間的任一點與這兩條異面直線平行的兩直線所成銳角（成直角）叫兩條異面直線所成的角。 求兩條異面直線所成的角的一般步驟是： （1）構造：用平移法作出異面直線所成的角； （2）認定：證明作出的角就是要求的角； （3）計算：利用三角形求角； （4）結論 若兩條異面直線所成角是直角，則稱兩異面直線垂直。 異面垂直 空間兩直線垂直 相交垂直 4. 異面直線的公垂線及距離： （1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線（公垂線存在且唯一） （2）公垂線段：公垂線夾在異面直線之間的部分 （3）異面直線間的距離 ：公垂線段的長 若一個平面過一條直線并與另一條直線平行，則這直線與平面的距離就等于異面直線間的距離。 若兩個平行平面分別過兩條異面直線則兩平行平面的距離等于兩異面直線間的距離。 【典型例題】 例1. 在空間四邊形ABCD中，M、N、P、Q分別是四邊上的點，且滿足 （1）求證：M、N、P、Q共面 （2）當對角線ACa，BDb，且MNPQ是正方形時，求AC、BD所成的角及k的值(用a、b表示) 在同一平面內 MNAC又NPBD MN與NP所成的角等于AC與BD所成的角 MNPQ是正方形MNP90 AC與BD所成的角為90 【說明】在空間證明兩直線平行的基本依據(jù)就是公理4平行直線具有傳遞性。 在平面幾何中有關平行的定理只能解決在一個平面內的直線平行問題，在兩個平面內的兩條直線平行的判定中仍借助于公理4，這是證明空間兩直線平行的基本出發(fā)點。 求K的值就要建立K的方程，解方程的思想仍是求值的重要數(shù)學思想。 例2. 已知a，b是異面直線，求證：過b上的點所做的與a平行的直線都在同一平面內證明：如圖在b上任取一點P，作與a平行的直線c b，c確定一個平面a 假設存在與直線a平行的直線l，滿足L與b交于Q但la la Q b、l確定一個平面，記作b abb，且lc la，這與La Q矛盾 L a，即過b上的點所作的與a平行的直線都在同一平面內 注意：要掌握反證法的邏輯思維方法和表達方法。 例3. 正方體AC1中 （1）和棱AA1異面棱是哪些？和AA1異面的面對角線有哪些？ （2）面對角線B1C成異面垂直的棱有哪些？面對角線？ （3）求BD和B1C所成的角 （4）求BD1和B1C所成的角 （5）BD1不和哪些面對角線垂直？ （6）BD1與C C1之間的距離。 解：（1）和棱AA1異面的棱是BC，CD，B1 C1，C1 D1 面對角線BD，B C1，B1C，C D1，D C1，B1 D1 （2）棱：C1D1，AB 面對角線：A D1 （3）D1B1C為所求角 B1D1B1CC1Da BD與B1C所成角為60 （4）找 D1 C1平面B1 C D1B是面B1 C的斜線 B1 C是B D1在平面 B1 C上的射影 B1 C B C1 B D1 B1 C（三垂直定理） B D1和B1 C所成角是90 割補法 （5）凡異面則都垂直（6條）不垂直6條BD，B1D1，AD1，CD1，A1B，BC1（6）解一：連A1C交BD1于E取CC1 中點F連EF，EF為CA1C1的中位線。 EFA1C1 又CC1 面A1C1 CC1 A1C1 EFCC1 又D1FBF E是BD1中點 EF為異面直線BD1與CC1間的距離 EFA1C1a 解二：（轉化為線面距離）平面BB1D1D過直線BD1 直線C1C平面BB1D1D CC1到面BB1D1D的距離就是異面直線BD1與CC1的距離 連AC交BD于O，OCBO，OCBB1 OC平面BB1D1D OC就是CC1與平面BB1D1D的距離 兩異面直線見距離為OCACa 例4. 如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB與CD的中點，若ACBD2，求異面直線AC與BD所成的角。 解：取AD的中點G，連結EG，F(xiàn)G，則EGBD，GFAC， EGF120是異面直線AC與BD所成角的補角，異面直線AC與BD所成的角是60。 評析：異面直線所成角為銳角或直角，所以其余弦值不能為負數(shù)，若求出角的余弦值為負數(shù)說明它是異面直線所成角的補角此題若答異面直線所成角是120就是錯誤的 例5. 間四邊形ABCD，ABBCCDDAa對角線ACBDb，E、F、G、H分別為四邊中點。 求：（1）四邊形FEGH的面積（2）BD與AC的距離 解：（1）E，H分別為AB，AD中點 EHBD 同理FGBD EHFG 四邊形EFGH為平行四邊形， 取BD中點O連AO，CO ABAD，BCCD AOBD，COBD BD平面AOC BDAC 又H，G為AD，CD中點 HGAC EHHG BDACb EHHGb 四邊形為正方形 SEFGHEH2 （2）在AOC中作OMAC于M ABADBCCD AOBCBO OCOA M為AC中點 BD平面AOC BDOM OM為AC與BD的公垂線段即異面直線BD與AC的距離 在RtAOD中AO2AD2（BD）2a2b2 在RtAMO中OM2OA2AM2 a2b2b2 OM即BD與AC間的距離為。 兩條直線的位置關系是最簡單、最基本的位置關系，由于空間任意兩條直線無論重合或相交或平行的時候，這兩條直線在同一平面上，所以除了空間平行直線的傳遞性以外，以上幾種情況都可歸結為平面上的直線關系，剩下的是空間不共面的兩條直線，即異面直線的相互關系了，異面直線是立體幾何的重點和難點之一，幾乎每年都被考查，考查內容涉及以下幾個方面： l）異面直線的定義； 2）異面直線所成的角； 3）已給出異面直線的公垂線時，兩異面直線間的距離； 4）用反證法證明有關異面直線的問題 例6. 在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是_（92年全國高考選擇題） 解析：如圖將AM平移到M1B1，CN平移到N1B1，則M1、N1分別是AB，CC1的中點。且M1B1N1是AM與CN所成的角。連CM1，中，。由余弦定理得 說明：求異面直線所成角首先要做必要的平行線，原則上做一條平行線可解決問題，就不做兩條。平行線的做法遠不止一種，本題還可過N點引B1M1的平行線，也可過MM1做一個平面與側面BC1平行，在所在平面內過M做B1N1的平行線。 例7. 下列命題中正確的一個是（ ） （A）若a與b是異面直線,b與c也是異面直線，則a與c也是異面直線 （B）已知異面直線a，b兩條直線c，d分別與a，b都相交于，則c，d也是異面直線 （C）四個角都是直角的四邊形一定是矩形 （D）兩條異面直線可能沒有公垂線 分析：假設ABCD是空間四邊形， 則ABCD一定是異面直線 BCAB，BCABB，BCCD，BCCDC BC為異面直線AB，CD公垂線 同理AD也是AB，CD公垂線矛盾。（唯一性） 答案：C 例8. 關于異面直線a，b下述命題中不正確的一個是（ ） A. 過直線a有且只有一個平面平行于b B. 過直線a有且只有一個平面垂直于b C. 存在分別經(jīng)過直線a與b的兩個互相平行的平面 D. 存在分別經(jīng)過直線a與b的兩個互相垂直的平面 分析：當異面直線a與b不垂直時，由線面垂直定義可知過a的任何平面中都有直線a與b不垂直，故直線b一定不過a的平面垂直。 在處理有關異面直線的問題時，要把立體幾何的各部分知識內容聯(lián)系起來考慮，才能較全面的認識異面直線的性質 答案：B 1. 已知a，b為異面直線，a，b為平面若 aa bb，且abc則下列結論中一定正確的是（ ） （A） ac 且bc （B） ac 且bc （C） ac或bc （D） ac或bc 2. 在四面體ABCD中，ABBCCDDAACBDa，E、F分別是AB、CD的中點。 （1）求證EF是AB和CD的公垂線 （2）求AB和CD間的距離 3. 如圖， P是ABC所在平面外一點， D、E分別是PAB、PBC的重心，求證：且。 4. 已知：a、b為異面直線，a上兩點A、B，b上兩點C、D，線段AC、AD、BD、BC的中點分別為E、F、G、H，求證： （1）直線EG與a和b均是異面直線；FH與a和b均是異面直線。 （2）線段EG和FH相交且互相平分。 5. 在空間四邊形ABCD中，對角線ACBD，若AC6，BD4，M、N分別是AB、CD的中點。 求（1）MN的長；（2）求MN與BD所成角的正切值。 6. 空間四邊形ABCD中，P、Q、R、S分別是四條邊AB、BC、CD、DA的中點，已知，且四邊形PQRS面積是，求異面直線AC、BD所成的角。參考答案 1. 分析： 選D 2. 解：（1）BCD和ACD為兩個全等的等邊三形，且F為CD的中點 BFCD，AFCD，且BFAF CD平面AFB 由BFAF，且E為AB的中點，得EFAB EF是AB和CD的公垂線 3. 分析：分線段成比例二直線平行，找對應線段成比例 證明：法一：連PD交AB于M，則M為AB中點，同理N為BC中點， 總結：重心的性質PDDM21間接找出DE與AC的關系 分析：由結論出發(fā)DEAC，則DE和AC在同一平面，故有法2 方法二：連結AD交PB于G，D為PAB重心，G為PB中點，又E為重心，直線CE過G點，又，故 4. 證明：如圖 CAE，DBG。 與a、b為異面直