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數(shù)學(xué)建模習(xí)題指導(dǎo)第一章 初等模型討論與思考討論題1 大小包裝問題在超市購物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎?比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元,120g裝的每支3.00元,二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1,試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。(1)分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。(2)給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系,并解釋其實(shí)際意義。提示:決定商品價(jià)格的主要因素:生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。 單價(jià)隨重量增加而減少單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低思考題2 劃艇比賽的成績(jī)賽艇是一種靠漿手劃槳前進(jìn)的小船,分單人艇、雙人艇、四人艇、八人艇四種。各種艇雖大小不同,但形狀相似。T.A.McMahon比較了各種賽艇19641970年四次2000m比賽的最好成績(jī)(包括1964年和1968年兩次奧運(yùn)會(huì)和兩次世界錦標(biāo)賽),見下表。建立數(shù)學(xué)模型解釋比賽成績(jī)與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系。各種艇的比賽成績(jī)與規(guī)格艇種2000m成績(jī)t(min)艇長l(m)艇寬 b(m)l/bW0 (kg) 與n之比1234平均單人7.167.257.287.177.217.930.29327.016.3雙人6.876.926.956.776.889.760.35627.413.6四人6.336.426.486.136.3211.750.57421.018.1八人5.875.925.825.735.8418.280.61030.014.7第二章 線性代數(shù)模型森林管理問題森林中的樹木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲,每當(dāng)砍伐一棵樹時(shí),應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗,使森林樹木的總數(shù)保持不變。被出售的樹木,其價(jià)值取決于樹木的高度。開始時(shí)森林中的樹木有著不同的高度。我們希望能找到一個(gè)方案,在維持收獲的前提下,如何砍伐樹木,才能使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。思考:試解釋為什么模型中求解得到的 為每周平均銷售量會(huì)略小于模型假設(shè)中給出的1。練習(xí):將鋼琴銷售的存貯策略修改為:當(dāng)周末庫存量為0或1時(shí)訂購,使下周初的庫存達(dá)到3架;否則,不訂購。建立馬氏鏈模型,計(jì)算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量。2.將鋼琴銷售的存貯策略修改為:當(dāng)周末庫存量為0時(shí)訂購本周銷售量加2架;否則,不訂購。建立馬氏鏈模型,計(jì)算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機(jī)會(huì)的概率和每周的平均銷售量。第三章 優(yōu)化模型討論題1)最優(yōu)下料問題用已知尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤。給出幾種加工排列方法,比較出最優(yōu)下料方案。2)廣告促銷競(jìng)爭(zhēng)問題甲乙兩公司通過廣告競(jìng)爭(zhēng)銷售商品,廣告費(fèi)分別為 x 和 y。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中所占份額是它們的廣告費(fèi)在總廣告費(fèi)中所占份額的函數(shù)又設(shè)公司的收入與售量成正比,從收入中扣除廣告費(fèi)后即為公司的利潤。試構(gòu)造模型的圖形,并討論甲公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤最大。(1)令(2)寫出甲公司的利潤表達(dá)式對(duì)一定的 y ,使 p(x) 最大的 x 的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用圖解法確定這個(gè)最優(yōu)值。練習(xí)1三個(gè)家具商店購買辦公桌:A需要30張,B需要50張,C需要45張。這些辦公桌由兩個(gè)工廠供應(yīng):工廠1生產(chǎn)70張,工廠2生產(chǎn)80張。下表給出了工廠和商店的距離(單位公里) ,假設(shè)每張每公里運(yùn)費(fèi)0.5元。尋求一個(gè)運(yùn)送方案使運(yùn)費(fèi)最少?工廠 家具店ABC11053027205 A 1 B 2 C商店工廠 A B C170280305045練習(xí)2 下料問題某車間有一批長度為180公分的鋼管(數(shù)量充分多)今為制造零件,要將其截成三種不同長度的管料,70公分,52公分,35公分。生產(chǎn)任務(wù)規(guī)定,這三種料的需要量分別不少于100根,150根,100根。我們知道,截分鋼管時(shí)不免要產(chǎn)生“邊角料”,從節(jié)約原料的觀點(diǎn)來考慮,應(yīng)該采取怎樣的截法,才能在完成任務(wù)的前提下,使總的邊角料達(dá)到最小限度?所 有 可 能 的 截 法截法(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)需要量長度7052352 1 1 1 0 0 0 00 2 1 0 3 2 1 01 0 1 3 0 2 3 5100150100邊料(cm)5 6 23 5 24 6 23 5現(xiàn)用 分別表示采用每個(gè)截法的次數(shù),則問題變成在約束條件:下求目標(biāo)函數(shù): 的最小值。實(shí)例1 加工奶制品的生產(chǎn)計(jì)劃一奶制品廠用牛奶生產(chǎn)A和B兩種奶制品,一桶牛奶可以在設(shè)備甲上用12 小時(shí)加工成3 公斤A,或者在設(shè)備乙上用8 小時(shí)加工成4 公斤B。根據(jù)市場(chǎng)需求,生產(chǎn)的A,B全能出售,且每公斤A獲利24元,每公斤B獲利16元?,F(xiàn)在加工每天能得到50 桶牛奶的供應(yīng),每天正式工人總勞動(dòng)時(shí)間為480小時(shí),并且設(shè)備甲每天至多能加工100 公斤A,設(shè)備乙的加工能力沒有限制。試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃,使每天獲利最大,并試為該廠制訂一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃,使每天獲利最大,并進(jìn)一步討論以下3個(gè)附加問題:(1)若用35元買到1 桶牛奶,應(yīng)否作這項(xiàng)投資?若投資,每天最多購買多少桶牛奶?(2)若可以聘用臨時(shí)工人以增加勞動(dòng)時(shí)間,付給臨時(shí)工人的工資最多是每小時(shí)幾元?(3)由于市場(chǎng)需求變化,每公斤A獲利增加到30元,應(yīng)否改變生產(chǎn)計(jì)劃?第四章 概率統(tǒng)計(jì)模型練習(xí):利用上述模型計(jì)算,若每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為0.75元,售出價(jià)為1元,退回價(jià)為0.6元,需求量服從均值500份,均方差50份的正態(tài)分布,報(bào)童每天應(yīng)購進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高,最高收入是多少?用本章所學(xué)方法,思考以下幾個(gè)方面的問題:1)酒店酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠信之上,因此通常不會(huì)再接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時(shí)會(huì)要求顧客交納押金,以此來確保顧客住房的概率(施行這種方案的一般是低價(jià)酒店,因?yàn)樗鼈兊闹苻D(zhuǎn)資金往往不多),而另一些酒店則可能會(huì)給長期訂房或是預(yù)付房費(fèi)的顧客打折。這種多價(jià)格系統(tǒng)的經(jīng)營方式是可以考慮的。2)汽車出租公司汽車出租公司一般會(huì)保留固定數(shù)量的汽車(至少在短期內(nèi))以出租給顧客。出租公司可能會(huì)為頻繁租借汽車的顧客打折,以此來確保公司能有最低量的收入。而一些長期出租品(一次出租一周或一個(gè)月)也會(huì)標(biāo)上優(yōu)惠的價(jià)格,因?yàn)檫@給出了一個(gè)至少確定了未來的一段日子會(huì)有收入的策略。在預(yù)測(cè)一些車輛的預(yù)訂可能會(huì)被取消的情況下,一間公司有可能充分地留出比它們計(jì)劃中要多的汽車。3)圖書館圖書館都有可能購買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在學(xué)院或大學(xué)圖書館里,時(shí)常購買一系列課本。某些版本極有可能僅限在圖書館內(nèi),以方便學(xué)生們的使用??梢試L試建立書籍使用的模型。練習(xí):下表給出了某工廠產(chǎn)品的生產(chǎn)批量與單位成本(元)的數(shù)據(jù),從散點(diǎn)圖,可以明顯的發(fā)現(xiàn),生產(chǎn)批量在500以內(nèi)時(shí),單位成本對(duì)生產(chǎn)批量服從一種線性關(guān)系,生產(chǎn)批量超過500時(shí)服從另一種線性關(guān)系,此時(shí)單位成本明顯下降。希望你構(gòu)造一個(gè)合適的回歸模型全面地描述生產(chǎn)批量與單位成本的關(guān)系。生產(chǎn)批量650340400800300600720480440540750單位成本2.484.454.521.384.652.962.184.044.203.101.50第五章 離散模型思考:多名專家的綜合決策問題五 練習(xí)1合理分配資金問題 某工廠有一筆企業(yè)留成利潤,要由領(lǐng)導(dǎo)決定如何利用。可供選擇的方案有:以獎(jiǎng)金名義發(fā)給職工;擴(kuò)建集體福利設(shè)施;購進(jìn)新設(shè)備等。為了進(jìn)一步促進(jìn)企業(yè)發(fā)展,如何合理使用這筆利潤。2 足球隊(duì)排名次(CUMCM)1993年 B 題China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling3 自己設(shè)計(jì)有關(guān)題目如:高考填報(bào)志愿問題, 選擇職業(yè)問題,排名(排序)問題。合理分配資金問題1 層次結(jié)構(gòu)模型合理利用企業(yè)利潤Z提高企業(yè)的技術(shù)水平改善職工的生活條件調(diào)動(dòng)職工的積極性引進(jìn)新設(shè)備擴(kuò)建福利事業(yè)發(fā)獎(jiǎng)金2 求解Z-C矩陣Z C1 C2 C3 WC1C2C3 1 1/5 1/3 5 1 3 3 1/3 10.1050.6370.258CIRICR3.0380.0190.580.0330.1 OKC-P矩陣C1 P1 P2 WP1P2 1 3 1/3 1 0.750.25CI1RI200 OK 0.75, 0.25, 0C2 P2 P3 WP2P3 1 1/5 5 1 0.1670.833CI2RI200 OK0, 0.167, 0.833C3 P1 P2 WP1P2 1 2 1/2 1 0.6670.333CI3RI200 OK0.667, 0.333, 0Z-P矩陣 ZP C1 C2 C30.105 0.637 0.258總排序權(quán)值P1P2P30.75 0 0.6670.25 0.167 0.333 0 0.833 00.2510.2180.531CIRICR0.105CI1+0.637CI2+0.258CI3=0000.1第六章 微分方程模型思考2 屋檐的水槽問題 房屋管理部門想在房頂?shù)倪呴馨惭b一個(gè)檐槽,其目的是為了雨天出入方便。從屋脊到屋檐的房頂可看成是一個(gè)12米長,6米寬的矩形平面,房頂與水平方向的傾斜角度一般在 。 b a現(xiàn)有一公司想承接這項(xiàng)業(yè)務(wù),允諾:提供一種新型的檐槽,包括一個(gè)橫截面為半圓形(半徑為7.5cm)的水槽和一個(gè)豎直的排水管(直徑為10cm),不論天氣情況如何,這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁7抗懿块T猶豫,考慮公司的承諾能否實(shí)現(xiàn)。請(qǐng)你建立數(shù)學(xué)模型,論證這個(gè)方案的可行性。 b a1 問題的簡(jiǎn)化水槽的容量能否足以排出雨水的問題,簡(jiǎn)化為水箱的流入流出問題。從房頂上流下的雨水量是流入量;順垂直于房頂?shù)呐潘芘懦龅氖橇鞒隽?。水槽能否在沒有溢出的情況下將全部雨水排出,即就是要研究水槽中水的深度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系。2 假設(shè)(1)雨水垂直下落并且直接落在房頂上;(2)落在房頂上的雨水全部迅速流入水槽中;(3)直接落入水槽中的雨水可忽略不計(jì);(4)落在房頂上的雨沒有濺到外面去;(5)在排水系統(tǒng)中不存在一些預(yù)料不到的障礙,象落在房頂上的雜物、樹葉等。3 符號(hào)說明 有關(guān)因素因素類型符號(hào)單位降水速度輸入變量rms-1時(shí)間變量ts房頂?shù)膬A斜角輸入?yún)?shù) 弧度房頂?shù)拈L度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的高度輸出變量hm水槽中水的容量變量Vm3流入水槽的流速變量Q1m3s-1流出水槽的流速變量Q0m3s-1排水管的橫截面積參數(shù)Am24 模型的建立根據(jù)速度平衡原理,對(duì)于房頂排水系統(tǒng)水槽中水的容量的變化率=雨水的流入速度 - 排水管流出的速度。分別是單位時(shí)間流入水槽和從水槽流出的雨水量的體積。 雨表示單位時(shí)間里落在水平面上雨水的深度,房

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