初中數(shù)學動點 相似三角形練習題(答案).doc

.相似三角形（附答案）5已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN分析：（1）因為BAC=DAE，所以BAE=CAD，又因為AB=AC，AD=AE，利用SAS可證出BAECAD，可知BE、CD是對應邊，根據(jù)全等三角形對應邊上的中線相等，可證AMN是等腰三角形（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變（3）先證出ABMACN（SAS），可得出CAN=BAM，所以BAC=MAN（等角加等角和相等），又BAC=DAE，所以MAN=DAE=BAC，所以AMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBDAMN（兩個角對應相等，兩三角形相似）（1）證明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分別是BE，CD的中點，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN為等腰三角形（2）解：（1）中的兩個結(jié)論仍然成立（3）證明：在圖中正確畫出線段PD，由（1）同理可證ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是頂角相等的等腰三角形PBD和AMN都為頂角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN10附加題：如圖ABC中，D為AC上一點，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，連接AE（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請寫出一對；若沒有，請說明理由；（3）求BEC與BEA的面積之比分析：（1）根據(jù)直角三角形中30度角所對的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED，則可寫出相等的線段；（2）兩角對應相等的兩個三角形相似則可判斷ADEAEC；（3）要求BEC與BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作BEA的邊BE邊上的高即可求解解：（1）AD=DE，AE=CE=EBCEBD，BDC=60，在RtCED中，ECD=30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）圖中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延長線于F，設AD=DE=x，在RtCED中，可得CE=，故AE=ECD=30在RtAEF中，AE=，AED=DAE=30，sinAEF=，AF=AEsinAEF=13如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向點C運動；動點Q從點C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向點A運動，過點Q作QEBC于點E若P、Q兩點同時出發(fā)，當其中一點到達目的地時整個運動隨之結(jié)束，設運動時間為t秒問：當點P在BA上運動時，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長平分？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點的三角形與CQE相似？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由；在運動過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由解答：SABCD=（AD+BC）AB=（2+8）8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38當t=3秒時，PQ將梯形ABCD周長平分第一種情況：0t8若PADQEC則ADP=C tanADP=tanC= =，t=若PADCEQ則APD=C tanAPD=tanC=，= t=第二種情況：8t10，P、A、D三點不能組成三角形；第三種情況：10t12ADP為鈍角三角形與RtCQE不相似；t=或t=時，PAD與CQE相似第一種情況：當0t8時過Q點作QEBC，QHAB，垂足為E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒：DQ=PQ，10t=，化簡得：3t252t+180=0解得：t=，t=8（不合題意舍去）第二種情況：8t10時DP=DQ=10t當8t10時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立第三種情況：10t12時DP=DQ=t10當10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ恒成立綜上所述，t=或8t10或10t12時，以DQ為腰的等腰DPQ成立14已知矩形ABCD，長BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運動的兩點若P自點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運動，同時，Q自點B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運動，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似？分析：要使以P、B、Q為頂點的三角形與BDC相似，則要分兩兩種情況進行分析分別是PBQBDC或QBPBDC，從而解得所需的時間解：設經(jīng)x秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90，（1）當1=2時，有：，即；（2）當1=3時，有：，即，經(jīng)過秒或2秒，PBQBCD15如圖，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以2cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，PBQ與ABC相似分析：設經(jīng)過t秒后，PBQ與ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對應邊的比相等列出方程求解即可解：設經(jīng)過秒后t秒后，PBQ與ABC相似，則有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，當PBQABC時，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）當QBPABC時，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，經(jīng)過2.5s或1s時，PBQ與ABC相似（10分）解法二：設ts后，PBQ與ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分兩種情況：（1）當BP與AB對應時，有=，即=，解得t=2.5s（2）當BP與BC對應時，有=，即=，解得t=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時，以P、B、Q三點為頂點的三角形與ABC相似16如圖，ACB=ADC=90，AC=，AD=2問當AB的長為多少時，這兩個直角三角形相似解：AC=，AD=2，CD=要使這兩個直角三角形相似，有兩種情況：（1）當RtABCRtACD時，有=，AB=3；（2）當RtACBRtCDA時，有=，AB=3故當AB的長為3或3時，這兩個直角三角形相似19如圖所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點P的位置，使得以P，A，D為頂點的三角形與以P，B，C為頂點的三角形相似解：（1）若點A，P，D分別與點B，C，P對應，即APDBCP，=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，檢測：當AP=1時，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90，APDBCP當AP=6時，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90，APDBCP（2）若點A，P，D分別與點B，P，C對應，即APDBPC=，=，AP=檢驗：當AP=時，由BP=，AD=2，BC=3，=，又A=B=90，APDBPC因此，點P的位置有三處，即在線段AB距離點A的1、6處20ABC和DEF是兩個等腰直角三角形，A=D=90，DEF的頂點E位于邊BC的中點上（1）如圖1，設DE與AB交于點M，EF與AC交于點N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長線交于點M，EF與AC交于點N，于是，除（1）中的一對相似三角形外，能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論分析：因為此題是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得ECNMEN證明：（1）ABC是等腰直角三角形，MBE=45，BME+MEB=135又DEF是等腰直角三角形，DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC，而MBE=ECN=45，BEMCNE（2）與（1）同理BEMCNE，又BE=EC，則ECN與MEN中有，又ECN=MEN=45，ECNMEN21如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點P沿AB邊從點A開始向B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，那么當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似分析：若以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，有四種情況：APQBAC，此時得AQ：BC=AP：AB；APQBCA，此時得AQ：AB=AP：BC；可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對應成比例線段求出t的值解：以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，當ABCPAQ時，所以，解得：t=6；當ABCQAP時，所以，解得：t=；故當t=6或t=時，以點Q、A、P為頂點的三角形與ABC相似27如圖，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3（1）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比