【分層練習】《圓內接正多邊形》（北師大）.doc

圓內接正多邊形分層練習安徽省無為縣劉渡中心學校 丁浩勇 基礎題1正多邊形的中心角與該正多邊形一個內角的關系是（）A互余 B互補 C互余或互補 D不能確定2正三角形的高、外接圓半徑、邊心距之比為（）A3：2：1 B4：3：2 C4：2：1 D6：4：33正六邊形的邊心距是，則它的邊長是（）A1 B2 C2 D34如圖，O的一條弦AB垂直平分半徑OC，且AB=2，則這個圓的內接正十二邊形的面積為（）A6 B6 C12 D125正八邊形的中心角等于度6如圖，要擰開一個邊長為a=6cm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為 7如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，若四邊形BCFG的面積是12cm2，則正八邊形的面積為cm28如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，AC、GC是兩條對角線，則ACG=9如圖，正三角形ABC內接于O，若AB=2cm，求O的半徑10如圖，點G，H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC，CD上的點，且BG=CH，AG交BH于點P（1）求證：ABGBCH；（2）求APH的度數 能力題1如圖，由7個形狀，大小完全相同的正六邊形組成的網格，正六邊形的頂點稱為格點，已知每個正六邊形的邊長為1，ABC的頂點都在格點上，則ABC的面積是（）A B2 C D32若一個正多邊形的中心角等于其內角，則這個正多邊形的邊數為（）A3 B4 C5 D63古代數學家祖沖之和他的兒子根據劉徽的“割圓術”（用圓內接正多邊形的周長代替圓周長），來計算圓周率的近似值他從正六邊形算起，一直算到正24576邊形，將圓周率精確到小數后七位，在世界上領先一千多年根據這個辦法，由圓內接正六邊形算得的圓周率的近似值是（）A2.9 B3 C3.1 D3.144如果正n邊形的中心角為2，邊長為5，那么它的邊心距為 （用銳角的三角比表示）5如圖，AB，AC分別為O的內接正六邊形，內接正方形的一邊，BC是圓內接n邊形的一邊，則n等于6如圖，P、Q分別是O的內接正五邊形的邊AB、BC上的點，BP=CQ，則POQ=7如圖，O半徑為4cm，其內接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，連接PB，QE，PE，BQ設運動時間為t（s）（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；（2）填空：當t=s時，四邊形PBQE為菱形；當t=s時，四邊形PBQE為矩形8（1）如圖1，在圓內接正六邊形ABCDEF中，半徑OC=4，求正六邊形的邊長（2）如圖2，在ABC中，AB=13，BC=10，BC邊上的中線AD=12求證：AB=AC 提升題1如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC、AD、CE，CE交AD于點F，連接BF，下列說法不正確的是（）ACDF的周長等于AD+CD BFC平分BFDCAC2+BF2=4CD2 DDE2=EFCE2如圖，有一圓內接正八邊形ABCDEFGH，若ADE的面積為10，則正八邊形ABCDEFGH的面積為何（）A40 B50 C60 D80【答案】A3小剛在紙上畫了一個面積為6分米2的正六邊形，然后連接相隔一點的兩點得到如圖所示的對稱圖案，他發(fā)現中間也出現了一個正六邊形，則中間的正六邊形的面積是分米24閱讀下面材料：對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋例如：圖中的三角形被一個圓覆蓋，中的四邊形被兩個圓所覆蓋已知長寬分別為2cm，1cm的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，則r的最小值是cm5如圖正方形ABCD內接于O，E為CD任意一點，連接DE、AE（1）求AED的度數（2）如圖2，過點B作BFDE交O于點F，連接AF，AF=1，AE=4，求DE的長度6教材的課題學習要求同學們用一張正三角形紙片折疊成正六邊形，小明同學按照如下步驟折疊：請你根據小明同學的折疊方法，回答以下問題：（1）如果設正三角形ABC的邊長為a，那么CO=（用含a的式子表示）；（2）根據折疊性質可以知道CDE的形狀為 三角形；（3）請同學們利用（1）、（2）的結論，證明六邊形KHGFED是一個六邊形答案和解析 基礎題1【答案】B解：設正多邊形的邊數為n，則正多邊形的中心角為，正多邊形的一個外角等于，所以正多邊形的中心角等于正多邊形的一個外角，而正多邊形的一個外角與該正多邊形相鄰的一個內角的互補，所以正多邊形的中心角與該正多邊形一個內角互補2【答案】A解：如圖，ABC是等邊三角形，AD是高點O是其外接圓的圓心，由等邊三角形的三線合一得點O在AD上，并且點O還是它的內切圓的圓心ADBC，1=4=30，BO=2OD，而OA=OB，AD=3OD，AD：OA：OD=3：2：13【答案】B解：正六邊形的邊心距為，OB=，AB=OA，OA2=AB2+OB2，OA2=（OA）2+（）2，解得OA=24【答案】C解：如圖，連接OA；取的中點D，連接AD、CD、OD；過點D作DEOC于點E；OF=OA，且OFA=90，OAF=30，AOC=60，AOD=COD=30；圓的內接正十二邊形的中心角=30，AD、DC為該圓的內接正十二邊形的兩邊；OCAB，且AB=2，AF=；在AOF中，由勾股定理得：；在ODE中，EOD=30，DE=OD=1，這個圓的內接正十二邊形的面積為125【答案】45解：正八邊形的中心角等于3608=456【答案】6cm解：設正多邊形的中心是O，其一邊是AB，AOB=BOC=60，OA=OB=AB=OC=BC，四邊形ABCO是菱形，AB=6cm，AOB=60，cosBAC=，AM=6=3（cm），OA=OC，且AOB=BOC，AM=MC=AC，AC=2AM=6（cm）7【答案】24解：連接HE，AD，在正八邊形ABCDEFGH中，可得：HEBG于點M，ADBG于點N，正八邊形每個內角為：=135，HGM=45，MH=MG，設MH=MG=x，則HG=AH=AB=GF=x，BGGF=2（+1）x2=12，四邊形ABGH面積=（AH+BG）HM=（+1）x2=6，正八邊形的面積為：62+12=24（cm2）8【答案】45解：設正八邊形ABCDEFGH的外接圓為O；正八邊形ABCDEFGH的各邊相等，圓周長，的度數為=90，圓周角ACG=9解：過點O作ODBC于點D，連接BO，正三角形ABC內接于O，點O即是三角形內心也是外心，OBD=30，BD=CD=BC=AB=，cos30=，解得：BO=2，即O的半徑為2cm10（1）證明：在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，ABC=C=120，在ABG與BCH中，ABGBCH；（2）解：由（1）知：ABGBCH，BAG=HBC，BPG=ABG=120，APH=BPG=120 能力題1【答案】B解：延長AB，然后作出過點C與格點所在的直線，一定交于格點E正六邊形的邊長為1，則半徑是1，則CE=4，中間間隔一個頂點的兩個頂點之間的距離是，則BCE的邊EC上的高是，ACE邊EC上的高是，則SABC=SAECSBEC=4（）=22【答案】B解：360n=故這個正多邊形的邊數為43【答案】B解：由題意n=6時，=34【答案】解：如圖所示：正n邊形的中心角為2，邊長為5，邊心距OD=5【答案】12解：連接AO，BO，COAB、AC分別為O的內接正六邊形、內接正方形的一邊，AOB=60，AOC=90，BOC=30，n=126【答案】72解：連接OA、OB、OC，五邊形ABCDE是O的內接正五邊形，AOB=BOC=72，OA=OB，OB=OC，OBA=OCB=54，在OBP和OCQ中，OBPOCQ，BOP=COQ，AOB=AOP+BOP，BOC=BOQ+QOC，BOP=QOC，POQ=BOP+BOQ，BOC=BOQ+QOC，POQ=BOC=727（1）證明：正六邊形ABCDEF內接于O，AB=BC=CD=DE=EF=FA，A=ABC=C=D=DEF=F，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，AP=DQ=t，PF=QC=4t，在ABP和DEQ中，ABPDEQ（SAS），BP=EQ，同理可證PE=QB，四邊形PEQB是平行四邊形（2）解：當PA=PF，QC=QD時，四邊形PBEQ是菱形時，此時t=2s當t=0時，EPF=PEF=30，BPE=12030=90，此時四邊形PBQE是矩形當t=4時，同法可知BPE=90，此時四邊形PBQE是矩形綜上所述，t=0s或4s時，四邊形PBQE是矩形8（1）解：連接OD，如圖所示：六邊形ABCDEF是圓O的內接正六邊形，O=60，OC=OD，OCD是等邊三角形，CD=OC=4，即正六邊形的邊長為4；（2）證明：AD是ABC的中線，BD=CD=BC=5，AB=13，AD=12，BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，ABD是直角三角形，ADBC，又BD=CD，AB=AC 提升題1【答案】B解：五邊形ABCDE是正五邊形，AB=BC=CD=DE=AE，BACE，ADBC，ACDE，AC=AD=CE，四邊形ABCF是菱形，CF=AF，CDF的周長等于CF+DF+CD，即CDF的周長等于AD+CD，故A選項正確；四邊形ABCF是菱形，ACBF，設AC與BF交于點O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，AC2+BF2=4CD2故C選項正確；由正五邊形的性質得，ADECDE，DCE=EDF，CDEDFE，DE2=EFCE，故D選項正確2【答案】A解：取AE中點I，則點I為圓的圓心，圓內接正八邊形ABCDEFGH是由8個與IDE全等的三角形構成易得IDE的面積為5，則圓內接正八邊形ABCDEFGH為85=403【答案】2解：設O是原正六邊形的中心，連接AO，FO，MO，設FO與AE交于點Q，AO與BE交于P，一個面積為6分米2的正六邊形，連接相隔一點的兩頂點得到如圖所示的對稱圖案，AOF=360=60，SAOF=6=1（分米2），OAF是等邊三角形，AB=AF，OABF，AP=OP，AM=OM，同理：OFAE，OQ=FQ，OM=FM，點M是AOF的外心，SOAM=SAOF=（分米2），SOPM=SOAM=（分米2），中間的正六邊形的面積是：12SOPM=2（分米2）4【答案】解：如圖：矩形ABCD中AB=1，BC=2，則覆蓋ABCD的兩個圓與矩形交于E、F兩點，由對稱性知E、F分別是AD和BC的中點，則四邊形ABFE、EFCD是兩個邊長為1的正方形，所以圓的半徑r=，兩圓心距=15解：（1）如圖1中，連接OA、OD四邊形ABCD是正方形，AOD=90，AED=AOD=45（2）如圖2中，連接CF、CE、CA，作DHAE于HBFDE，ABCD，ABF=CDE，CFA=AEC=90，DEC=AFB=135，CD=AB，CDEABF，AF=CE=1，AC=，AD=AC=，DHE=90，HDE=HED=45，DH=HE，設DH=EH=x，在RtADH中，AD2=AH2+DH