幾種經典常見圓錐曲線問題[1]

精品文檔幾種常見圓錐曲線問題 一、圓錐曲線概念、性質類問題例1.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點，那么雙曲線的漸近線方程是 （ ） 分析：本題主要考查圓錐曲線的幾何性質，即橢圓、雙曲線焦點求法和雙曲線漸近線方程求法.由雙曲線方程判斷出公共焦點在x軸上，橢圓焦點，雙曲線焦點，又雙曲線漸近線為.代入，得，選D.例2設，則二次曲線x2cot-y2tan=1的離心率的取值范圍為 （ ） 分析：本題主要考察三角函數和二次曲線的基本知識以及基本的推理計算技能.有一定的綜合性，涉及的知識面比較大.解一：因為，所以cot0，tan0，方程所表示的二次曲線是雙曲線，離心率必然大于1.從而排除A、B、C，得D.解二：依題設知二次曲線是雙曲線，半實軸長a和半虛軸長b分別為，.所以半焦距，離心率為，因為，所以e的取值范圍為，選D.二、直線和圓錐曲線關系類問題直線與圓錐曲線的位置關系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高檔題、壓軸題出現.主要涉及弦長、弦中點、對稱、參量的取值范圍、求曲線方程等問題.解題中要充分重視韋達定理和判別式的應用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯立方程求交點，韋達定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.例3橢圓的中心是原點O，它的短軸長為，相應于焦點F（c，0）（）的準線與x軸相交于點A，|OF|=2|FA|，過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點. （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設（），過點P且平行于準線的直線與橢圓相交于另一點M，證明.本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.(I)解：由題意，可設橢圓的方程為 由已知得 解得 所以橢圓的方程為，離心率 (II)解： 由(I)可得設直線PQ的方程為由方程組 得 依題意 得 設 則 由直線PQ的方程得 于是 由得從而所以直線PQ的方程為 或(III)證明：由已知得方程組 注意解得 因故 而所以 例4已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓相切過點作斜率為的直線，使得和交于兩點，和軸交于點，并且點在線段上，又滿足（）求雙曲線的漸近線的方程；（）求雙曲線的方程；（）橢圓的中心在原點，它的短軸是的實軸如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，求橢圓的方程講解：（）設雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（）由（）可設雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（）由題可設橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡設弦的兩個端點分別為，的中點為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內的部分又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標軸上（也即化線段的關系為橫坐標（或縱坐標）之間的關系）是常用的簡化問題的手段；有關弦中點的問題，常常用到“設而不求”的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）三、與圓錐曲線有關的軌跡類問題解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據題設條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義，性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關系，則往往可以簡化解題過程例5如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.（）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；（）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：（）設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.過點P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中點 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中點M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當b0時，=b=+22；當b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.當b0時，可取一切正數，的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正數，的取值范圍是（2，+）.下面是探究型的存在性問題：例6直線的右支交于不同的兩點A、B.（I）求實數k的取值范圍；（II）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.本小題主要考查直線、雙曲線的方程和性質，曲線與方程的關系，及其綜合應用能力.解：（）將直線依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故（）設A、B兩點的坐標分別為、，則由式得假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F（c,0）.則由FAFB得：整