幾種經(jīng)典常見圓錐曲線問題[1]

精品文檔幾種常見圓錐曲線問題 一、圓錐曲線概念、性質(zhì)類問題例1.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是 （ ） 分析：本題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)，即橢圓、雙曲線焦點(diǎn)求法和雙曲線漸近線方程求法.由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上，橢圓焦點(diǎn)，雙曲線焦點(diǎn)，又雙曲線漸近線為.代入，得，選D.例2設(shè)，則二次曲線x2cot-y2tan=1的離心率的取值范圍為 （ ） 分析：本題主要考察三角函數(shù)和二次曲線的基本知識以及基本的推理計(jì)算技能.有一定的綜合性，涉及的知識面比較大.解一：因?yàn)?，所以cot0，tan0，方程所表示的二次曲線是雙曲線，離心率必然大于1.從而排除A、B、C，得D.解二：依題設(shè)知二次曲線是雙曲線，半實(shí)軸長a和半虛軸長b分別為，.所以半焦距，離心率為，因?yàn)?，所以e的取值范圍為，選D.二、直線和圓錐曲線關(guān)系類問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn).主要涉及弦長、弦中點(diǎn)、對稱、參量的取值范圍、求曲線方程等問題.解題中要充分重視韋達(dá)定理和判別式的應(yīng)用，解題的主要規(guī)律可以概括為“聯(lián)立方程求交點(diǎn)，韋達(dá)定理求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.例3橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn). （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)（），過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.(I)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為 由已知得 解得 所以橢圓的方程為，離心率 (II)解： 由(I)可得設(shè)直線PQ的方程為由方程組 得 依題意 得 設(shè) 則 由直線PQ的方程得 于是 由得從而所以直線PQ的方程為 或(III)證明：由已知得方程組 注意解得 因故 而所以 例4已知雙曲線G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓相切過點(diǎn)作斜率為的直線，使得和交于兩點(diǎn)，和軸交于點(diǎn)，并且點(diǎn)在線段上，又滿足（）求雙曲線的漸近線的方程；（）求雙曲線的方程；（）橢圓的中心在原點(diǎn)，它的短軸是的實(shí)軸如果中垂直于的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程講解：（）設(shè)雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（）由（）可設(shè)雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（）由題可設(shè)橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點(diǎn)評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標(biāo)軸上（也即化線段的關(guān)系為橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）之間的關(guān)系）是常用的簡化問題的手段；有關(guān)弦中點(diǎn)的問題，常常用到“設(shè)而不求”的方法；判別式和韋達(dá)定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）三、與圓錐曲線有關(guān)的軌跡類問題解析幾何主要研究兩大類問題：一是根據(jù)題設(shè)條件，求出表示平面曲線的方程；二是通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).解答軌跡問題時，若能充分挖掘幾何關(guān)系，則往往可以簡化解題過程例5如圖，P是拋物線C：y=x2上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.（）若直線l與過點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程；（）若直線l不過原點(diǎn)且與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，試求的取值范圍.本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力.解：（）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x10，y10，y20.由y=x2， 得y=x.過點(diǎn)P的切線的斜率k切= x1，直線l的斜率kl=，直線l的方程為yx12= (xx1)，方法一：聯(lián)立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中點(diǎn) x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，則x0=kl=-，x1=，將上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為y=x2+1(x0).（）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k0，b0，則T(0，b).分別過P、Q作PPx軸，QQy軸，垂足分別為P、Q，則. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，則 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.當(dāng)b0時，=b=+22；當(dāng)b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.當(dāng)b0時，可取一切正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.方法三：由P、Q、T三點(diǎn)共線得kTQ=KTP，即=.則x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正數(shù)，的取值范圍是（2，+）.下面是探究型的存在性問題：例6直線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.（I）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（II）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.本小題主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系，及其綜合應(yīng)用能力.解：（）將直線依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故（）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由式得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c,0）.則由FAFB得：整