山東省德州市高級中學2020學年高二數(shù)學下學期期末質量檢測試題 理（含解析）

山東省德州市高級中學2020學年高二數(shù)學下學期期末質量檢測試題 理（含解析）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 用反證法證明命題“設，為實數(shù)，則方程至少有一個實根”時，要做的假設是（ ）A. 方程沒有實根 B. 方程至多有一個實根C. 方程至多有兩個實根 D. 方程恰好有兩個實根【答案】A【解析】反證法證明問題時，反設實際是命題的否定，用反證法證明命題“設為實數(shù),則方程至少有一個實根”時，要做的假設是：方程沒有實根。本題選擇A選項.2. 設是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)的共軛復數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 , 故選D.3. ，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，本題選擇B選項.4. 已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）A. B. 4 C. D. 2【答案】D【解析】由正態(tài)分布的性質可知：，結合題意可得：，則.本題選擇D選項.點睛：關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法熟記P(X)，P(2X2)，P(30時，有兩個根，排除C.所以圖象A正確，本題選擇A選項.11. 已知6件不同產品中有2件是次品，現(xiàn)對它們依次進行測試，直至找出所有次品為止.若恰在第4次測試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是（ ）A. 24 B. 72 C. 96 D. 360【答案】C【解析】根據(jù)題意，若恰在第4次測試后，就找出了所有次品，需要分2種情況討論：、2件次品一件在前3次測試中找到,另一件在第四次找到,有種情況，、前4次沒有一次發(fā)現(xiàn)次品,即前4次都是正品,第四次測試后剩下2件就是次品,有種情況，則不同測試方法數(shù)72+24=96種；本題選擇C選項.點睛：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎并貫穿始終(1)分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類(2)分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，步與步之間的方法“相互獨立，分步完成”12. 已知為定義在上的單調遞增函數(shù)，是其導函數(shù)，若對任意總有，則下列大小關系一定正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令，則，.由，得f(x)2020f(x)0，故g(x)0,g(x)在R遞增，故，即，即，本題選擇A選項.第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 曲線與所圍成的封閉圖形的面積為_【答案】【解析】試題分析：曲線，的交點為，所求封閉圖形面積為.考點：曲邊梯形面積.14. 設某種機械設備能夠連續(xù)正常工作10000小時的概率為0.85，能夠連續(xù)正常工作15000小時的概率為0.75，現(xiàn)有一臺連續(xù)工作了10000小時的這種機械，它能夠連續(xù)正常工作到15000小時的概率是_【答案】【解析】設“某種機械設備能夠連續(xù)正常工作10000小時”為事件A，“某種機械設備能夠連續(xù)正常工作15000小時”為事件B，P(A)=0.85,P(AB)=0.75，現(xiàn)有一臺連續(xù)工作10000小時的這種機械，它能夠連續(xù)正常工作15000小時的概率：.15. 若 （），則 的值為_【答案】【解析】,令x=0,可得a0=1；再令,可得：，16. 如果對定義在區(qū)間上的函數(shù)，對區(qū)間內任意兩個不相等的實數(shù)，都有 ，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“函數(shù)”.給出下列函數(shù)及函數(shù)對應的區(qū)間，（）；，；，；，.以上函數(shù)為區(qū)間上的“函數(shù)”的序號是_（寫出所有正確的序號）【答案】【解析】對于任意給定的不等實數(shù)x1，x2，不等式恒成立，不等式等價為（x1-x2）f（x1）-f（x2）0恒成立，即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，,，函數(shù)遞增，函數(shù)遞增，顯然函數(shù)在（-，-2）遞增，在（-2，1）遞減，函數(shù)遞減，故答案為：點睛：應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性比用函數(shù)單調性的定義要方便，但應注意f(x)0（或f(x)0）僅是f(x)在某個區(qū)間上遞增（或遞減）的充分條件。在區(qū)間（a,b）內可導的函數(shù)f(x)在（a,b）上遞增（或遞減）的充要條件應是f(x)0或f(x)0恒成立，且f(x)在（a,b）的任意子區(qū)間內都不恒等于0。這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內個別點x0處有f(x0)=0.三、解答題 （本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17. 已知復數(shù)（）.（）若，求；（）取什么值時，是純虛數(shù).【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)由題意得到關于實數(shù)a的方程組，求解方程組可得;(2)z為純虛數(shù)，則實部為0，虛部不為零，據(jù)此可得.試題解析：(1)，解得，所以.(2)，解得，所以.18. 已知函數(shù)（）.（）當時，求在上的值域；（）若函數(shù)有三個不同的零點，求的取值范圍.【答案】(1) 值域為；(2) 當且僅當時，有三個不同零點【解析】試題分析：(1)首先對函數(shù)求導，然后結合函數(shù)的單調性求得函數(shù)的最值可得函數(shù)在上的值域是;(2)首先利用導函數(shù)的性質可得原函數(shù)在上單調遞減，在，上單調遞增，據(jù)此得到關于實數(shù)b的不等式組，求解不等式可得的取值范圍是.試題解析：(1)當時，.當時，故函數(shù)在上單調遞減；當時，故函數(shù)在上單調遞增.由，.在上的值域為；(2)由(1)可知，由得，由得或.所以在上單調遞減，在，上單調遞增；所以，所以當且，即時，使得，由的單調性知，當且僅當時，有三個不同零點.19. 在一次抽樣調查中測得樣本的6組數(shù)據(jù)，得到一個變量關于的回歸方程模型，其對應的數(shù)值如下表：2345673.002.482.081.861.481.10（）請用相關系數(shù)加以說明與之間存在線性相關關系（當時，說明與之間具有線性相關關系）；（）根據(jù)（）的判斷結果，建立關于的回歸方程并預測當時，對應的值為多少（精確到0.01）.附參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，相關系數(shù)公式為：參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1) 與之間存在線性相關關系；(2) 與的線性回歸方程是；代入回歸方程得0.38【解析】試題分析：(1)由題意求得；，說明與之間存在線性相關關系；(2)結合所給數(shù)據(jù)可求得回歸方程為,.據(jù)此預測當時，對應的值為.試題解析：(1)由題意，計算，且，.；，說明與之間存在線性相關關系；(2).與的線性回歸方程為.將代入回歸方程得.點睛：一是回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義二是根據(jù)回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值20. 近幾年來，我國許多地區(qū)經常出現(xiàn)干旱現(xiàn)象，為抗旱經常要進行人工降雨.現(xiàn)由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為，后2天均為，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨.（）求至少有一天需要人工降雨的概率；（）求不需要人工降雨的天數(shù)的分布列和期望.【答案】(1) 至少有1天需要人工降雨的概率是；(2) 3.1 【解析】(1)5天全不需要人工降雨的概率是P1=()3()2=,故至少有1天需要人工降雨的概率是1-P1=1-=.(2)x的取值是0,1,2,3,4,5,由(1)知5天不需要人工降雨的概率是:P(x=5)=P1=,4天不需要人工降雨的概率是:P(x=4)=()3+()3()2=,3天不需要人工降雨的概率是:P(x=3)=()3()2+()3()()+()3()2=,2天不需要人工降雨的概率是:P(x=2)=()3()2+()3()()+()3()2=,1天不需要人工降雨的概率是:P(x=1)=()3()2+()3()()=,0天不需要人工降雨的概率是:P(x=0)=()3()2=,故不需要人工降雨的天數(shù)x的分布列是:x012345P不需要人工降雨的天數(shù)x的期望是:E(x)=0+1+2+3+4+5=3.1.【方法技巧】求離散型隨機變量均值與方差的基本方法(1)定義法:已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差,可直接按定義(公式)求解.(2)性質法:已知隨機變量的均值與方差,求的線性函數(shù)=a+b的均值與方差,可直接利用均值、方差的性質求解.(3)公式法:如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布,二項分布等),可直接利用它們的均值、方差公式求解.21. 已知函數(shù)，.（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1) 當時，的單調遞增區(qū)間為，無減區(qū)間.當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2) 整數(shù)的最小值為2.【解析】試題分析：(1)首先對函數(shù)求導，然后對參數(shù)分類討論可得當時，的單調遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為;(2)將原問題轉化為在上恒成立，考查函數(shù)的性質可得整數(shù)的最小值是2.試題解析：(1)，函數(shù)的定義域為.當時，則在上單調遞增，當時，令，則或(舍負)，當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，當時，的單調遞增區(qū)間為，無減區(qū)間，當時，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)解法一：由得，原命題等價于在上恒成立，令，則，令，則在上單調遞增，由，存在唯一，使，.當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，時，又，則，由，所以.故整數(shù)的最小值為2.解法二：得，令，時，在上單調遞減，該情況不成立.時，當時，單調遞減；當時，單調遞增，恒成立，即.令，顯然為單調遞減函數(shù).由，且，當時，恒有成立，故整數(shù)的最小值為2.綜合可得，整數(shù)的最小值為2.點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù) (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結合思想的應用請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分22. 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（）求直角坐標系下曲線與曲線的方程；（）設為曲線上的動點，求點到上點的距離的最大值，并求此時點的坐標.【答案】(1) 曲線在直角坐標系下的方程為：；曲線在直角坐標系下的方程為：.(2) 的最大值為，此時點的坐標為.【解析】試題分析：(1)將極坐標、參數(shù)方程轉化可得直角坐標系下曲線與曲線的方程分別為,;(2)利用點到直線距離公式結合三角函數(shù)的性質可得點到上點的距離的最大值是,此時點的坐標是.試題解析：(1)由曲線，可得，兩式兩邊平方相加得：.即曲線在直角坐標系下的方程為.由曲線，即，所以，即曲線在直角坐標系下的方程為.(2)由(1)知橢圓與直線無公共點，橢圓上的點到直線的距離為，當即時，