高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1.3 全稱量詞與存在量詞 對量詞命題的否定的分類解析與疑點詮釋素材 北師大版選修2-1（通用）

對量詞命題的否定的分類解析與疑點詮釋一.知識梳理1.全稱命題、存在性命題的否定一般地，全稱命題P： xM,有P（x）成立；其否定命題P為：$xM,使P（x）不成立。存在性命題P：$xM，使P（x）成立；其否定命題P為： xM,有P（x）不成立。用符號語言表示：P:M, p(x）否定為 P: $M, P（x）P:$M, p(x）否定為 P: M, P（x）在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.關(guān)鍵量詞的否定詞語是一定是都是大于小于且詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語必有一個至少有n個至多有一個所有x成立所有x不成立詞語的否定一個也沒有至多有n-1個至少有兩個存在一個x不成立存在有一個成立二. 命題的否定形式的分類解析與疑點詮釋1. 全稱命題的否定例1.寫出下列全稱命題的否定：（1）p：xR，x2x+10；（2） 任何實數(shù)x都是方程5x-12=0的根。（3） 對任意實數(shù)x，存在實數(shù)y，使x+y0.（4） 有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)。（5）$ xR，x2x+10；解：（1）的否定：xR，x2x+10；（2）的否定：存在實數(shù)x不是方程5x-12=0的根。（3）的否定：存在實數(shù)x,對所有實數(shù)y，有x+y0。（4）的否定：所有的質(zhì)數(shù)都不是奇數(shù)。（5）的否定：xR，x2x+10.說明:解題中會遇到省略了“所有，任何，任意”等量詞的簡化形式，如“若x3，則x29”。在求解中極易誤當(dāng)為簡單命題處理；這種情形下時應(yīng)先將命題寫成完整形式，再依據(jù)法則來寫出其否定形式.2. “若P則q” 的形式的否定例2.寫出下列命題的否定。（1） 若x24 則x2.。（2） 若m0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。（3） 可以被5整除的整數(shù)，末位是0。（4） 被8整除的數(shù)能被4整除。（5） 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。 解（1）否定：存在實數(shù)，雖然滿足4，但2?；蛘哒f：存在小于或等于2的數(shù)，滿足4。（完整表達為對任意的實數(shù)x, 若x24 則x2）（2）否定：雖然實數(shù)m0,但存在一個，使+ -m=0無實數(shù)根。（原意表達：對任意實數(shù)m,若m0,則x2+x-m=0有實數(shù)根。）（3）否定：存在一個可以被5整除的整數(shù)，其末位不是0。（4）否定：存在一個數(shù)能被8整除，但不能被4整除.(原意表達為所有能被8整除的數(shù)都能被4整除)（5）否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）3. 命題的否定與否命題的區(qū)別與釋疑例3.寫出下列命題的非命題與否命題，并判斷其真假性。（1）p：若xy,則5x5y；（2）p：若x2+x2,則x2-x2；（3）p：正方形的四條邊相等；（4）p：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+b0有非空實解集，則a2-4b0。解：（1） P：若 xy，則5x5y； 假命題否命題：若xy，則5x5y；真命題（2） P：若x2+x2，則x2-x2；真命題否命題：若x2+x2，則x2-x2）；假命題。（3） P：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等；假命題。否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命題。（4） P：存在兩個實數(shù)a,b，雖然滿足x2+ax+b0有非空實解集，但使a2-4b0。假命題。否命題：已知a,b為實數(shù)，若x2+ax+b0沒有非空實解集，則a2-4b0。真命題。說明：命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：1 任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。2命題的否定（非）是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假