仿真五數(shù)學理

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試仿真試卷(五)數(shù)學理工農醫(yī)類本試卷分第卷（選擇題共60分）和第卷（非選擇題共90分），考試時間為120分鐘，滿分為150分.第卷(選擇題共60分)注意事項：1.答第卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試題卷上.3.考試結束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式:如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互獨立，那么P（AB）=P（A）P（B）如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=Cknpk(1p)nk球的表面積公式S=4R2,其中R表示球的半徑球的體積公式V=R3,其中R表示球的半徑一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.設全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,3,4,集合B=2,3,5,那么(UA)( UB)等于A.B.4C.1,3D.2,5解析: (UA)(UB)=2,51,4=.答案: A2.若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是2,3,則y=f(2x1)的定義域為A.0,B.1,4C.5,5D.3,7解析: x2,3,x+11,4.令12x14,解得x0,.答案: A3.設i、j分別是平面直角坐標系內x軸、y軸正方向上的單位向量,且=4i+2j,=3i+4j,則ABC的面積等于A.15B.10C.7.5D.5解析: 如圖,A(0,0)、B(4,2)、C(3,4),延長CB交x軸于D,則D(5,0).SABC=SACDSABD=5(42)=5(平方單位).4.二項式(x)n的展開式中含有x4的項,則n的一個可能取值是A.1B.3C.6D.10解析:通項Tr+1=(-1)rx-(n-r)(x)r=(-1)r(r=0,1,n).又-n=4,rn,nN*,當n=6時,r=40(i=1,2,3,),若a1=b1,a11=b11,則A.a6=b6B.a6b6C.a6b6或a60,q1,b1b6.a6=b6.答案: B6.函數(shù)f(x)=cos2()+sin2(+ )1是A.最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為2的奇函數(shù)D.最小正周期為2的偶函數(shù)解析: f(x)=cos2()+sin2(+)1=cos(x)cos(x+)=sinx, f(x)=sin(x)=sinx=f(x),是奇函數(shù),最小正周期T=2.答案: C7.空間四邊形四條邊所在的直線中,互相垂直的直線最多有A.2對B.3對C.4對D.5對解析: 如下圖,AB平面BCD,CDBC,此時垂直直線對數(shù)最多,為3對,即AB與BC,AB與CD,BC與CD.(注:AB與BD不符合題目要求)答案: B8.設F1、F2是雙曲線y2=1的兩個焦點,P在雙曲線上,當PF1F2的面積為1時,、的值為A.0B.1C. D.2解析: =b2cot=1,(0,),cot=1,=90.=0.答案: A9.下表是某市7個縣級行政管理區(qū)人口數(shù)與土地面積:行政區(qū)代號x1x2x3x4x5x6x7人口（萬）63.4659.44103.2338.1121.676.466.61面積(萬 km2)0.330.200.450.150.070.020.02經(jīng)統(tǒng)計比較可知,其中人口密度(人口/面積)最大的行政區(qū)是A.x2B.x3C.x5D.x7解析: xi區(qū)的人口密度為ai(i=1,2,7),a1=192.30,a2=297.20,a3=229.40,a4=254.07,a5=309.57,a6=323.00,a7=330.50.答案: D10.若M是ABC的重心,則下列向量中與共線的是A.+B.+C.+D.3+解析: 延長AM至D交BC于E,使AE=ED,AD=3AM.又ABCD為平行四邊形,3+=+=.答案: D11.將有編號的7個球全部投入到甲、乙兩個盒子中,每個盒子至少投入2個球,那么互不相同的投入方法共有_種.A.252B.112C.70D.56解析: 7個球投入兩個盒中有27種投法,其中一個盒空的投法有2種,一盒中僅有一個的投法有=14種,符合題意的方法有27214=112(種).答案: B12.函數(shù)f(x)的定義域為D,若滿足f(x)在D內是單調函數(shù),存在a,bD,使f(x)在a,b上的值域為a,b,那么y=f(x)叫做閉函數(shù),現(xiàn)有f(x)=+k是閉函數(shù),那么k的取值范圍是A.(,+)B.,+)C.,)D.(,2解析: f(x)=+k=x有兩不等實根.x2(2k+1)x+k22=0(),故解得k(,2.答案: D普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試仿真試卷數(shù)學理工農醫(yī)類(五)第卷（非選擇題共90分）注意事項：1.第卷共6頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷上.2.答卷前將密封線內的項目填寫清楚.二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分.將答案填在題中橫線上)13.如下是一個容量為200的樣本的頻率分布直方圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)填空:(1)樣本數(shù)據(jù)落在范圍5,9)的頻率為_;(2)樣本數(shù)據(jù)落在范圍9,13)的頻數(shù)為_.解析: 頻率=0.08(95)=0.32;頻數(shù)=0.09(139)200=72.答案: 0.327214.設a、bR,nN*且a+2i=,則=_.解析: a+2i=,所以3a+2+(6a)i=1+bi,=1.答案: 115.動點P在拋物線y=x2+1上運動,則動點P和兩定點A(1,0)、B(0,1)所成的PAB的重心的軌跡方程是_.解析: 設重心(x,y),此時P(x0,y0),則P在拋物線上,3y+1=(3x+1)2+1.整理得y=3x2+2x+.答案: y=3x2+2x+16.正四面體ABCD中,S為AD的中點(如圖),Q為BC上異于中點和端點的任一點,則SOD在四個面上的射影可能是_. 解析: 在平面ABC上射影為,在平面BCD上射影為.答案: 三、解答題（本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.(本小題滿分12分)在ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,當a2b2+c2,且=時,求cosAsinA的值.解:由a20,A為銳角.=cosAsinA=sin2A,sin2A=.sin2A=.6分sin2A+cos2A=1,2sinAcosA=,(cosAsinA)2=1=.cosAsinA=.12分18.(本小題滿分12分)已知a0,函數(shù)f(x)=,x(0,+).設0x1,記曲線y=f(x)在點M(x1,f(x1)處的切線為l.(1)求l的方程.(2)設l與x軸的交點為(x2,0),證明:0x2;若x1,則x1x2.(1)解:求f(x)的導數(shù):f(x)=,由此得切線l的方程y()=(xx1).5分(2)證明:依題意,切線方程中令y=0,x2=x1(1ax1)+x1=x1(2ax1).其中0x1.由0x10及x2=a(x1)2+.故0x2,當且僅當x1=時,x2=.8分當x1時,ax1x1,且由x2.綜上x1x2.12分19.(本小題滿分12分)如下圖所示,四棱錐PABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,點M在線段PB上,PB與平面ABC成30角.(1)若PB=4PM,求證:CM平面PAD;(2)求證:平面PAB平面PAD;(3)若點M到平面PAD的距離是,問點M位于線段PB上哪一位置?解法一:(1)在AB上取一點E,使得AE=1,則CEAD.又AB=4AE,PB=4PM,EMPA.平面PAD平面MEC.MC平面PAD.4分(2)分別取PA和AD的中點F、G,連結BF、FG、BG.PB與平面ABC成30角,PBC=30.PB=4,PB=AB.BFAP.又FG=DP=,AB面PBC,ABPB,BF=2.在直角梯形ABCD中,計算得BG=.FG2+BF2=BG2,BFFG,BF平面PAD.面PAB面PAD.8分(3)過點M在平面PAB內作MNPA,點M到面PAD的距離即為點N到面PAD的距離.再過點N作NOPA,由面PAB面PAD,NO即為點N到面PAD的距離.NO=.NOBF,點N為AB的中點.點M為PB的中點.或直接作MNPA于點N,MN=.又MNBF,N為PF的中點.點M為PB的中點.12分解法二:(1)以C為原點,CD、CB、CP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,PC平面ABCD,PBC=30.|PC|=2,|BC|=2,|PB|=4.D(1,0,0)、B(0,2,0)、A(4,2,0)、P(0,0,2).PB=4PM,M(0, ),=(0, ),=(1,0,2),=(3,2,0).設=x+y (x、yR),則(0, )=x(1,0,2)+y(3,2,0),=+.、共面.C平面PAD,CM平面PAD.4分(2)作BEPA于E,PB=AB=4,E為PA的中點.E(2, ,1), =(2,1).=(2,1)、(3,2,0)=0,BEDA.又BEPA,BE面PAD.面PAB面PAD.8分(3)設=(0,2,2)=(0,2,2),BE面PAD,平面PAD的法向量n=(2,1),點M到平面PAD的距離d=.= (負的舍去),即點M為線段PB的中點.12分說明:本題主要考查空間線面關系和四棱錐等基礎知識,考查空間想象能力和推理運算能力.20.(本小題滿分12分)用2n個相同的元件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2,如果各元件是否能正常工作是獨立的,每個元件能正常工作的概率為r.(1)當n=2時,分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率;(2)當n2時,求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率,并比較哪一個系統(tǒng)正常工作的概率大.解:(1)n=2,N1系統(tǒng)正常工作的概率:P=1(1r2)2=2r2r4.2分N2系統(tǒng)正常工作的概率:P=1(1r)22=r44r3+4r2.4分(2)n2,nN*,N1系統(tǒng)正常工作的概率:P1=1(1rn)2=2rnr2n,N2系統(tǒng)正常工作的概率:P2=1(1r)2n=(2rr2)n.6分當n2,nN*時,P1P2,即2rnr2n0,P2P1,命題成立.假設當n=k(k2且kN*)時命題成立,即(2rr2)k2rkr2k,則當n=k+1時,(2rr2)k+1(2rk+1r2k+2)(2rkr2k)(2rr2)(2rk+1r2k+2)=2r2k+22r2k+1+2rk+12rk+2=2(1r)(rk+1r2k+1),r(0,1),1r0.又0k+10.2(1r)(rk+1r2k+1)0.P2P1.故當n=k+1時命題亦成立.綜上所述,對于一切n2,nN*,均有(2rr2)n2rnr2n成立.故P2P1.從而可知,N2系統(tǒng)正常工作的概率大.12分21.(本小題滿分12分)已知雙曲線C:=1(a0,b0),B是右頂點,F是右焦點,點A在x軸正半軸上,且滿足|,|,|成等比數(shù)列,過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l,垂足為P.(1)求證:=;(2)若l與雙曲線C的左、右兩支分別相交于點D、E,求雙曲線C的離心率e的取值范圍.(1)證明:由題得B(a,0)、F(c,0)(c=,|=|2.故|=.A(,0).雙曲線一、三象限漸近線l:y=x,故l:y=(xc).聯(lián)立l、l的方程解得其交點P的坐標為(,).=, =.=,命題得證.6分(2)解:設D(x1,y1)、E(x2,y2),聯(lián)立l與C的方程消去y得(b4a4)x22a4cxa4c2a2b4=0.由題設條件l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點D、E,可得方程組由得ba0,此時恒成立.故(,+),即e(,+).綜上,雙曲線C的離心率的范圍為(,+).12分22.(本小題滿分14分)已知數(shù)列f(n)的前n項和為Sn,若Sn+f(n)=(n2+3n2).(1)設f(n)=ng(n),求g(1),g(2),g(3).(2)是否存在g(n)使得對于一切正整數(shù)n,都有f(n)=ng(n)成立?論證你的結論.(3)設數(shù)列b1=f(1),bn=f(n)f(n1)1(n2),求(b1+b2+b3+bn).解:Sn=(n2+3n2)f(n),Sn+1=(n+1)2+3(n+1)2f(n+1).得2f(n+1)f(n)=n+2.(1)由得2n+1f(n+1)=nf(n),2g(n+1)=g(n),g(1)=1f(1)=1S1.g(1)= .g(n)=()n,g(1)=,g(2)=,g(3)=.4分(2)存在g(n)=滿足題意,f(n)=ng(n).現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明如下:當n=1時,f(1)=g(1),f(1)=1g(1),命題成立.假設當n=k(kN*)時命題成立