高三一輪復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)[偏難題]含答案及解析

WORD格式.可編輯 函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 教師用函數(shù)的基本性質(zhì)與函數(shù)的綜合運用是高考對函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重，其中函數(shù)單調(diào)性與奇偶性是高考命題的必考內(nèi)容之一，有具體函數(shù)，還會涉及抽象函數(shù)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)。研究基本性質(zhì)，不可忽略定義域?qū)瘮?shù)性質(zhì)的影響。函數(shù)定義域體現(xiàn)了函數(shù)圖像左右方向的延伸程度，而值域又表現(xiàn)了函數(shù)圖像在上下方向上的延伸程度。對函數(shù)單調(diào)性要深入復(fù)習(xí)，深刻理解單調(diào)性定義，熟練運用單調(diào)性定義證明或判斷一個函數(shù)的單調(diào)性，掌握單調(diào)區(qū)間的求法，掌握單調(diào)性與奇偶性之間的聯(lián)系。掌握單調(diào)性的重要運用，如求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，掌握抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷方法等等。要充分重視運用方程與函數(shù)、等價轉(zhuǎn)換、分類討論及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，運用分離變量方法解決函數(shù)相關(guān)問題，并圍繞函數(shù)單調(diào)性分析解決函數(shù)綜合問題。一、 函數(shù)與反函數(shù)例1（1）已知A=1，2，3，B=4，5，則以A為定義域，B為值域的函數(shù)共有6個解：從A到B建立映射共有23=8個，其中由2個映射的像集是4和5，把這2個映射去掉，其它映射的像集都是4，5，函數(shù)的本質(zhì)是一個數(shù)集到另一個數(shù)集的映射，所以，構(gòu)成以A為定義域，B為值域的不同的函數(shù)共有82=6個，故答案為6（2）、（2012徐匯區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=x21的定義域為D，值域為1，0，1，試確定這樣的集合D最多有9個解：f（x）=x21，f（0）=1，f（1）=0，f（）=1因此，定義域D有：0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，1，0，1，1，共9種情況，故答案為：9（3）（2013上海）對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）=y|y=g（x），xI已知定義域為0，3的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，則x0=2解：因為g（I）=y|y=g（x），xI，f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1），所以對于函數(shù)f（x），當(dāng)x0，1）時，f（x）（2，4，所以方程f（x）x=0即f（x）=x無解；當(dāng)x1，2）時，f（x）0，1），所以方程f（x）x=0即f（x）=x無解；所以當(dāng)x0，2）時方程f（x）x=0即f（x）=x無解，又因為方程f（x）x=0有解x0，且定義域為0，3，故當(dāng)x2，3時，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（，0）1，2（4，+），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案為：2二、 函數(shù)值域及最值求法例2、（1）（2011上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間0，1上的值域為2，5，則f（x） 在區(qū)間0，3上的值域為2，7解：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1） 函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間0，1【正好是一個周期區(qū)間長度】的值域是2，5，令x+1=t，當(dāng)x0，1時，t=x+11，2，此時，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在t1，2時，f（t）1，6（1） 同理，令x+2=t，在當(dāng)x0，1時，t=x+22，3此時，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =x+g（x）+2所以，當(dāng)t2，3時，f（t）0，7（2） 由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間0，3上的值域為2，7故答案為：2，7（2）（2013黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間a，b（0，+），使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，則實數(shù)m的取值范圍是（0，4）解：f（x）=4在（0，+）是增函數(shù)，f（x）在xa，b上值域為f（a），f（b），所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4=ma且4=mb，所以ma24a+1=0且mb24b+1=0，所以mx24x+1=0必須有兩個不相等的正根，故m0，解得0m4實數(shù)m的取值范圍是（0，4）故答案為：（0，4）（3）（2012虹口區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，對于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），則實數(shù)a的取值范圍是2，6解：函數(shù)f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，x11，1時，f（x）的值域就是a2，a+2，要使上述范圍內(nèi)總能找到x2滿足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含a2，a+2，g（x）是一個二次函數(shù)，在1，1上單調(diào)遞減，值域為4，8，因此，解得2a6故答案為：2，6三、 函數(shù)單調(diào)性與奇偶性例3、（1）（2013資陽一模）已知函數(shù)若f（2m+1）f（m22），則實數(shù)m的取值范圍是（1，3）解：x1時，函數(shù)y=x2+2x+1=（x1）2+2，在（，1上單調(diào)遞增；x1時，函數(shù)y=x3+1在（1，+）上單調(diào)遞增，又x1時，x2+2x+12，x1時，x3+12，函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)增，2m+1m22，m22m30，1m3，故答案為：（1，3）（2）已知是R上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是 （1，3）解：是R上的增函數(shù)，a（1，3）故答案為：（1，3）（3）（2012上海）已知y=f（x）是奇函數(shù)，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（1）=3解：由題意y=f（x）是奇函數(shù)，g（x）=f（x）+2g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，又g（1）=11+g（1）=4，解得g（1）=3，故答案為3（4）f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過（1，3），g（x）=f（x1），則f（2012）+f（2013）=3解：由f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)，得f（x）=f（x），g（x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），所以f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故f（x）是周期為4的周期函數(shù)，所以f（2012）=f（4503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=3，故答案為：3四、 函數(shù)的周期性例4、（1）已知奇函數(shù)滿足的值為 。解：（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（x2）=f（x）對一切xR都成立，又當(dāng)x1，1時，f（x）=x3，則下列四個命題：函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；當(dāng)x1，3時，f（x）=（2x）3； 函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱；函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對稱其中正確的命題是 解：函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（x）=f（x），f（x2）=f（x）對一切xR都成立，f（x4）=f（x），函數(shù)y=f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故正確當(dāng)x1，3時，x21，1，f（x2）=（x2）3=f（x），f（x）=（2x）3，故正確f（x2）=f（x），f（1+x）=f（1x），函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=1對稱，故正確當(dāng)x1，3時，f（x）=（2x）3，f（2）=0，f（x2）=f（x），f（x2）=f（x）=f（x）=f（x2），f（x+2）=f（x2），函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于（2，0）對稱故正確的命題有 ，故答案選 （2）若f（n）為n2+1（nN*）的各位數(shù)字之和，如 142+1=197，1+9+7=17則f（14）=17，記f1（n）=f（n），f2（n）=ff1（n），fk+1（n）=ffk（n）kN*，則f2010（8）=8解：f1（8）=f（8）=64+1=656+5=11，f2（8）=ff1（8）=f（11）=121+1=122=1+2+2=5f3（8）=ff2（8）=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=ff3（8）=f（8）所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案為：8五、 函數(shù)圖像的對稱性例5、（1）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于直線 對稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對稱。解：圖像關(guān)于直線 對稱，函數(shù)圖像關(guān)于直線 對稱。（2）設(shè)則1006解：若a+b=1，則f（a）+f（b）=1，所以=f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=1+1+1=1006故答案為：1006（3）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，則下列命題中：若f（x2）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；若f（x+2）=f（x2），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)y=f（2+x）與函數(shù)y=f（2x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；函數(shù)y=f（x2）與函數(shù)y=f（2x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱其中正確的命題序號是解：不正確因為f（x2）的圖象是由f（x）的圖象向右平移兩個單位而得到，結(jié)合f（x2）是偶函數(shù)知，f（x）的圖象關(guān)于x=2對稱，由f（x+2）=f（x2）變形得f（x+8）=f（x）是周期函數(shù)不能得出函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，故不正確不正確，因為函數(shù)y=f（2+x）是由f（x）向左平移2個單位，函數(shù)y=f（2x）的圖象是由f（x）的圖象向右平移2個單位，故兩函數(shù)的圖象仍然關(guān)于原點對稱如圖所示，正確故答案為：六、函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例6、（2013上海春季）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）b 是奇函數(shù)”（1）將函數(shù)g（x）=x33x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標(biāo)；（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關(guān)于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）b 是偶函數(shù)”判斷該命題的真假如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題（不必證明）解：（1）平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=（x+1）33（x+1）2+2，整理得y=x33x，由于函數(shù)y=x33x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)是（1，2）（2）設(shè)h（x）= 的對稱中心為P（a，b），由題設(shè)知函數(shù)h（x+a）b是奇函數(shù)設(shè)f（x）=h（x+a）b則f（x）=b，即f（x）=由不等式的解集關(guān)于原點對稱，得a=2此時f（x）=b，x（2，2）任取x（2，2），由f（x）+f（x）=0，得b=1，所以函數(shù)h（x）= 圖象對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）（3）此命題是假命題舉反例說明：函數(shù)f（x）=x的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖象，但是對任意實數(shù)a和b，函數(shù)y=f（x+a）b，即y=x+ab總不是偶函數(shù)修改后的真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f（x+a）是偶函數(shù)”例7、已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b為實數(shù)，a0，xR，F(xiàn)（x）=，（1）若f（1）=0，且函數(shù)f（x）的值域為0，+），求F（x）的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，當(dāng)x1，1時，g（x）=f（x）+kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)mn0，m+n0，a0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）是否大于0解：（1）依題意，有，解得，f（x）=x2+2x+1，（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，函數(shù)g（x）的對稱軸x=，g（x）在區(qū)間1，1上是單調(diào)函數(shù)，解得 k0，或k4實數(shù)k的取值范圍為（，40，+），（3）f（x）=ax2+bx+1為偶函數(shù)，b=0，即f（x）=ax2+1（a0），mn0，m+n0，a0，不妨設(shè)n0m，則有0nm，mn0，m+n0F（m）+F（n）=am2+1an21=a（m+n）（mn），F(xiàn)（m）+F（n）0例8、（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范圍；（2）若g（x）是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0x1時，g（x）=f（x），求函數(shù)y=g（x）（x1，2）的反函數(shù)解：（1）由解得：1x1由0lg（22x）lg（x+1）=lg1得：110，x+10，x+122x10x+10，由得：（2）當(dāng)x1，2時，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由單調(diào)性可知y0，lg2，又x=310y，所求反函數(shù)是y=310x，x0，lg2例9、（2012盧灣區(qū)二模）對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若有常數(shù)M，使得對任意的x1D，存在唯一的x2D滿足等式，則稱M為函數(shù)y=f （x）的“均值”（1）判斷1是否為函數(shù)f（x）=2x+1（1x1）的“均值”，請說明理由；（2）若函數(shù)f（x）=ax22x（1x2，a為常數(shù)）存在“均值”，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，且其值域為區(qū)間I試探究函數(shù)f（x）的“均值”情況（是否存在、個數(shù)、大小等）與區(qū)間I之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論（不必證明）解：（1）對任意的x11，1，有x11，1，當(dāng)且僅當(dāng)x2=x1時，有，故存在唯一x21，1，滿足，所以1是函數(shù)f（x）=2x+1（1x1）的“均值”（2）當(dāng)a=0時，f（x）=2x（1x2）存在“均值”，且“均值”為3；當(dāng)a0時，由f（x）=ax22x（1x2）存在均值，可知對任意的x1，都有唯一的x2與之對應(yīng)，從而有f（x）=ax22x（1x2）單調(diào)，故有或，解得a1或a0或，綜上，a的取值范圍是或a1（3）當(dāng)I=（a，b）或a，b時，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”這時函數(shù)f（x）的“均值”為；當(dāng)I為（，+）時，函數(shù)f（x）存在無數(shù)多個“均值”這時任意實數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；當(dāng)I=（a，+）或（，a）或a，+）或（，a或a，b）或（a，b時，函數(shù)f（x）不存在“均值”當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，b）、a，b其中之一時，函數(shù)f（x）存在唯一的“均值”這時函數(shù)f（x）的“均值”為；當(dāng)且僅當(dāng)I為（，+）時，函數(shù)f（x）存在無數(shù)多個“均值”這時任意實數(shù)均為函數(shù)f（x）的“均值”；當(dāng)且僅當(dāng)I形如（a，+）、（，a）、a，+）、（，a、a，b）、（a，b其中之一時，函數(shù)f（x）不存在“均值”例10、已知函數(shù)y=f（x），xR滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的實常數(shù)（1）若當(dāng)0x1時，f（x）=x（1x），求函數(shù)y=f（x），x0，1的值域；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)y=f（x），xn，n+1），nN的解析式；（3）若當(dāng)0x1時，f（x）=3x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請說明理由解：（1），（2）當(dāng)nxn+1（n0，nZ）時，fn（x）=afn1（x1）=a2fn1（x2）anf1（xn），fn（x）=an（xn）（n+1x）（3）當(dāng)nxn+1（n0，nZ）時，fn（x）=afn1（x1）=a2fn1（x2）anf1（xn），fn（x）=an3xn；顯然fn（x）=an3xn，xn，n+1，n0，nZ當(dāng)a0時是增函數(shù)，此時fn（x）an，3an，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間0，+）上是單調(diào)增函數(shù)，則必有an+13an，解得：a3；顯然當(dāng)a0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間0，+）上不是單調(diào)函數(shù)；所以a3七、實戰(zhàn)演練一填空題1、（2009上海）將函數(shù)（x0，6）的圖象繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角（0），得到曲線C若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線C都是一個函數(shù)的圖象，則的最大值為arctan解：先畫出函數(shù)（x0，6）的圖象，這是一個圓弧，圓心為M（3，2），由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角大于MAB時，曲線C都不是一個函數(shù)的圖象，MAB=arctan，故答案為：arctan2、（2013上海）對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）=y|y=g（x），xI已知定義域為0，3的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，則x0=2解：因為g（I）=y|y=g（x），xI，f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1），所以對于函數(shù)f（x），當(dāng)x0，1）時，f（x）（2，4，所以方程f（x）x=0即f（x）=x無解；當(dāng)x1，2）時，f（x）0，1），所以方程f（x）x=0即f（x）=x無解；所以當(dāng)x0，2）時方程f（x）x=0即f（x）=x無解，又因為方程f（x）x=0有解x0，且定義域為0，3，故當(dāng)x2，3時，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（，0）1，2（4，+），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案為：23、（2008湖南）設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f1（x），且函數(shù)y=xf（x）的圖象過點（1，2），則函數(shù)y=f1（x）x的圖象一定過點（1，2）解析：由函數(shù)y=xf（x）的圖象過點（1，2）得：f（1）=1，即函數(shù)y=f（x）過點（1，1），則其反函數(shù)過點（1，1），所以函數(shù)y=f1（x）x的圖象一定過點（1，2）3、（2011上海）設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間0，1上的值域為2，5，則f（x） 在區(qū)間0，3上的值域為2，7解：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1） ，函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間0，1【正好是一個周期區(qū)間長度】的值域是2，5，令x+1=t，當(dāng)x0，1時，t=x+11，2，此時，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在t1，2時，f（t）1，6（1） 同理，令x+2=t，在當(dāng)x0，1時，t=x+22，3，此時，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =x+g（x）+2，所以，當(dāng)t2，3時，f（t）0，7（2） 由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間0，3上的值域為2，7故答案為：2，74、（2011閘北區(qū)二模）設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，若函數(shù)f（x）+g（x）的值域為1，3），則f（x）g（x）的值域為（3，1解：由f（x）是R上的奇函數(shù)，g（x）是R上的偶函數(shù)，得到f（x）=f（x），g（x）=g（x），1f（x）+g（x）3，且f（x）和g（x）的定義域都為R，把x換為x得：1f（x）+g（x）3，變形得：1f（x）+g（x）3，即3f（x）g（x）1，則f（x）g（x）的值域為（3，1故答案為：（3，15、在直角坐標(biāo)系中，如果兩點A（a，b），B（a，b）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，那么稱A，B為函數(shù)f（x）的一組關(guān)于原點的中心對稱點（A，B與B，A看作一組）函數(shù)g（x）=關(guān)于原點的中心對稱點的組數(shù)為2解：由題意可知g（x）=sin，x0，則函數(shù)g（x）=sin，x0，關(guān)于原點對稱的函數(shù)為h（x）=sin，x0，則坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)h（x）=sin，x0，g（x）=log4（x+1），x0的圖象如題，由圖象可知，兩個圖象的交點個數(shù)有2個，所以函數(shù)g（x）=關(guān)于原點的中心對稱點的組數(shù)為2組故答案為：26（2013上海）設(shè)a為實常數(shù)，y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=9x+7若f（x）a+1對一切x0成立，則a的取值范圍為解：因為y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x=0時，f（x）=0；當(dāng)x0時，則x0，所以f（x）=9x+7，因為y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（x）=9x+7；因為f（x）a+1對一切x0成立，所以當(dāng)x=0時，0a+1成立，所以a1；當(dāng)x0時，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因為9x+72=6|a|7，所以6|a|7a+1，解得，所以故答案為7（2012上海）若f（x）=為奇函數(shù)，則實數(shù)m=2解：f（x）=為奇函數(shù)，f（1）=f（1）即m1=3（1+m）m=2故答案為：28（2012上海）已知函數(shù)f（x）=e|xa|（a為常數(shù)）若f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是（，1解：因為函數(shù)f（x）=e|xa|（a為常數(shù)）若f（x）在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有t=|xa|在區(qū)間1，+）上是增函數(shù)，又t=|xa|在區(qū)間a，+）上是增函數(shù)，所以1，+）a，+），故有a1，故答案為（，19（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（1）=1解：由題意，y=f（x）+x2是奇函數(shù)，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3，所以g（1）=f（1）+2=3+2=1，故答案為110（2013四川）已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x24x，那么，不等式f（x+2）5的解集是（7，3）解：因為f（x）為偶函數(shù)，所以f（|x+2|）=f（x+2），則f（x+2）5可化為f（|x+2|）5，即|x+2|24|x+2|5，（|x+2|+1）（|x+2|5）0，所以|x+2|5，解得7x3，所以不等式f（x+2）5的解集是（7，3）故答案為：（7，3）11（2013黃浦區(qū)二模）已知，若存在區(qū)間，使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，則實數(shù)m的取值范圍是（0，4解：因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為區(qū)間，由y|y=f（x），xa，b=ma，mb，則，即說明方程有兩個大于實數(shù)根由得：零，則t（0，3）則m=t2+4t=（t2）2+4由t（0，3），所以m（0，4所以使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb的實數(shù)m的取值范圍是（0，4故答案為（0，412f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)且過（1，3），g（x）=f（x1），則f（2012）+f（2013）=3解：由f（x）為R上的偶函數(shù)，g（x）為R上的奇函數(shù)，得f（x）=f（x），g（x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），所以f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故f（x）是周期為4的周期函數(shù)，所以f（2012）=f（4503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=3，故答案為：313設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別為Df，Dg，且DfDg若對于任意xDf，都有g(shù)（x）=f（x），則稱函數(shù)g（x）為f（x）在Dg上的一個延拓函數(shù)設(shè)f（x）=x2+2x，x（，0，g（x）為f（x）在R上的一個延拓函數(shù)，且g（x）是偶函數(shù)，則g（x）=x22|x|解：由題意可得當(dāng)x0時，g（x）=f（x）=x2+2x，由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)可得，g（x）=g（x），當(dāng)x0時，則x0，g（x）=x22x，則g（x）=x22xg（x）=x22|x|，故答案為：x22|x|14（2013普陀區(qū)一模）已知函數(shù)，設(shè)ab0，若f（a）=f（b），則bf（a）的取值范圍是解：由函數(shù)，作出其圖象如圖，因為函數(shù)f（x）在0，1）和1，+）上都是單調(diào)函數(shù)，所以，若滿足ab0，時f（a）=f（b），必有b0，1），a1，+），由圖可知，使f（a）=f（b）的b，1），f（a），2）由不等式的可乘積性得：bf（a），2）故答案為，2）15 已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意xR，都有f（x+3）f（x）+3和f（x+2）f（x）+2，若f（998）=1002，則f（2012）=2016解：由f（x+3）f（x）+3，得f（x+6）f（x+3）+3f（x）+6；由f（x+2）f（x）+2，得f（x+6）f（x+4）+2f（x+2）+4f（x）+6，所以f（x）+6f（x+6）f（x）+6，即f（x+6）=f（x）+6所以f（2012）=f（998+1696）=f（998+1686）+6=f（998+1676）+12=f（998）+1696=1002+1014=2016故答案為：201616（2010西城區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D若存在非零實數(shù)l使得對于任意xM有x+lD，且f（x+l）f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)，如果定義域是1，+）的函數(shù)f（x）=x2為1，+）上的m高調(diào)函數(shù)求實數(shù)m的取值范圍解：在1，+）上的任意x（設(shè)x=x+m）有y1恒成立，則x+m1恒成立，即m1x恒成立對于x1，+），當(dāng)x=1時1x最大為0，所以有m0又因為f（x+m）f（x），即（x+m）2x2在x1，+）上恒成立，化簡得m2+2mx0，又因為m0，所以m+2x0即m2x恒成立，當(dāng)x=1時2x最大為2，所以m2，綜上可知m217定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（m+n2）=f（m）+2f（n）2，其中m，nR，且f（1）0則f（2013）=4024f（1）2 +f（1）解：由題意知，f（2013）=f（2012+12）=f（2012）+2f（1）2，f（2012）=f（2011）+2f（1）2，f（2011）=f（2010）+2f（1）2，f（2010）=f（2009）+2f（1）2，f（2）=f（1）+2f（1）2，故有f（2013）=f（1）+2f（1）22012=4024f（1）2+f（1）故答案為 4024f（1）2 +f（1）18（2013浙江模擬）定義域為a，b的函數(shù)y=f（x）圖象的兩個端點為A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點，其中x=a+（1）ba，b，已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)f（x）在a，b上“k階線性近似”若函數(shù)在1，2上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為（）解：由題意，M、N橫坐標(biāo)相等，恒成立即k恒大于等于，則k的最大值，所以本題即求的最大值由N在AB線段上，得A（1，0），B（2，），AB方程y=（x1），由圖象可知，MN=y1y2=x（x1）=（+）（均值不等式），故實數(shù)k的取值范圍為二解答題19（2012交大附中）若函數(shù)f（x）定義域為R，滿足對任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），則稱f（x）為“V形函數(shù)”；若函數(shù)g（x）定義域為R，g（x）恒大于0，且對任意x1，x2R，有l(wèi)gg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），則稱g（x）為“對數(shù)V形函數(shù)”（1）當(dāng)f（x）=x2時，判斷f（x）是否為V形函數(shù)，并說明理由；（2）當(dāng)g（x）=x2+2時，證明：g（x）是對數(shù)V形函數(shù)；（3）若f（x）是V形函數(shù)，且滿足對任意xR，有f（x）2，問f（x）是否為對數(shù)V形函數(shù)？證明你的結(jié)論（1）解：f（x1+x2）f（x1）+f（x2）=（x1+x2）2（+）=2x1x2x1，x2R，2x1x2符號不定，當(dāng)2x1x20時，f（x）是V形函數(shù)；當(dāng)2x1x20時，f（x）不是V形函數(shù)；（2）證明：假設(shè)對任意x1，x2R，有l(wèi)gg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），則lgg（x1+x2）lgg（x1）lgg（x2）=lg（x1+x2）2+2lg（x12+2）lg（x22+2）0，（x1+x2）2+2（x12+2）（x22+2），x12x22+（x1x2）2+20，顯然成立，假設(shè)正確，g（x）是對數(shù)V形函數(shù)；（3）解：f（x）是對數(shù)V形函數(shù)證明：f（x）是V形函數(shù)，對任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），對任意xR，有f（x）2，+1，0f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2），f（x1+x2）f（x1）f（x2），lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），f（x）是對數(shù)V形函數(shù)20（2012楊浦區(qū)一模）若函數(shù)y=f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）f（ax）=b恒成立，則稱y=f（x）為“函數(shù)”（1）判斷下列函數(shù)，是否為“函數(shù)”，并說明理由；f（x）=x3 f（x）=2x（2）已知函數(shù)f（x）=tanx是一個“