高三數(shù)學(xué)空間幾何體蘇教知識(shí)精講

高三數(shù)學(xué)空間幾何體蘇教版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：空間幾何體1. 了解：柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體、三視圖與直觀圖、平面及其基本性質(zhì)。2. 理解并會(huì)應(yīng)用平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖。3. 掌握證明關(guān)于“線共點(diǎn)”、“線共面”、“點(diǎn)共線”的方法。4. 會(huì)作幾何體的截面圖。二. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：熟練地畫出幾何體的三視圖以及直觀圖難點(diǎn)：直觀與三視圖的畫法三. 基本知識(shí)結(jié)構(gòu)：四、知識(shí)點(diǎn)歸納：1. 平面的概念：平面是沒有厚薄的，可以無(wú)限延伸，這是平面最基本的屬性。2. 平面的畫法及其表示方法：常用平行四邊形表示平面。通常把平行四邊形的銳角畫成，橫邊畫成鄰邊的兩倍。畫兩個(gè)平面相交時(shí)，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮住的部分畫成虛線或不畫。一般用一個(gè)希臘字母、來(lái)表示，還可用平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)的字母來(lái)表示如平面等。3. 空間圖形是由點(diǎn)、線、面組成的點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形符號(hào)語(yǔ)言文字語(yǔ)言（讀法）點(diǎn)在直線上。點(diǎn)不在直線上。點(diǎn)在平面內(nèi)。點(diǎn)不在平面內(nèi)。直線、交于點(diǎn)。直線在平面內(nèi)。直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。直線與平面交于點(diǎn)。平面、相交于直線。（平面外的直線）表示或4. 平面的基本性質(zhì)公理1 如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。推理模式：。 如圖示：應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面。公理1說(shuō)明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別. 通過(guò)直線的“直”來(lái)刻劃平面的“平”，通過(guò)直線的“無(wú)限延伸”來(lái)描述平面的“無(wú)限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法。 公理2如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線。推理模式：且且唯一。如圖示：應(yīng)用：確定兩相交平面的交線位置；判定點(diǎn)在直線上。公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法。公理3 經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推理模式：不共線存在唯一的平面，使得。應(yīng)用：確定平面；證明兩個(gè)平面重合?！坝星抑挥幸粋€(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說(shuō)明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說(shuō)明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性。在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論證。推論1 經(jīng)過(guò)一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。推理模式：存在唯一的平面，使得，。推論2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。推論3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面。推理模式：存在唯一的平面，使得。5. 平面圖形與空間圖形的概念：如果一個(gè)圖形的所有點(diǎn)都在同一個(gè)平面內(nèi)，則稱這個(gè)圖形為平面圖形，否則稱為空間圖形。6. 空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；7. 公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。推理模式：。8. 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。等角定理的推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩條直線所成的銳角（或直角）相等。9. 空間兩條異面直線的畫法10. 異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線。推理模式：與是異面直線。11. 異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)作直線，所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）。為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上。異面直線所成的角的范圍：。12. 異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直。兩條異面直線 垂直，記作。13. 求異面直線所成角的方法：幾何法：（1）通過(guò)平移，在一條直線上找一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一直線的平行線；（2）找出與一條直線平行且與另一條相交的直線，那么這兩條相交直線所成的角即為所求。向量法：用向量的夾角公式。14. 兩條異面直線的公垂線、距離和兩條異面直線都垂直相交的直線，我們稱之為異面直線的公垂線。理解：因?yàn)閮蓷l異面直線互相垂直時(shí)，它們不一定相交，所以公垂線的定義要注意“相交”的含義。兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線間的距離。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。計(jì)算方法：幾何法；向量法。五. 基礎(chǔ)訓(xùn)練題：1、主視圖與左視圖的高要保持高平齊，主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)長(zhǎng)對(duì)正，俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等。2、在原來(lái)的圖形中，兩條線段平行且相等，則在直觀圖中對(duì)應(yīng)的兩條線段（ A ）A. 平行且相等 B. 平行但不相等 C. 相等但不平行 D. 既不平行也不相等3、下列投影是中心投影的是（ B ）A. 三視圖 B. 人的視覺 C. 斜二測(cè)畫法 D. 人在中午太陽(yáng)光下的投影4、下列投影是平行投影的是（ A ）A. 俯視圖 B. 路燈底下一個(gè)變長(zhǎng)的身影戲 C. 將書法家的真跡用電燈光投影到墻壁上 D. 以一只白熾燈為光源的皮影戲5、已知某幾何體的三視圖如圖所示：主視圖、左視圖相同，則該幾何體的體積 【典型例題】例1. 如下圖，四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC23，DHHA23。求證：EF、GH、BD交于一點(diǎn)。分析：只要證明點(diǎn)E、F、G、H分別所在的直線EG和HF平行，由公理的推論3就可知它們共面在ABD和CBD中，由E、G分別是BC和AB的中點(diǎn)及可得EGAC，HFAC，所以EGHF，直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長(zhǎng)線必相交于一點(diǎn)P，因此，要證三條直線EF、GH、BD交于一點(diǎn)，只要證點(diǎn)P在直線AC上即可。事實(shí)上，由于BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)，由公理2知PBD。證法一：（幾何法）連結(jié)GE、HF，E、G分別為BC、AB的中點(diǎn)，GEAC。又DFFC23，DHHA23，HFAC。GEFH。故G、E、F、H四點(diǎn)共面。又EF與GH不能平行，EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P。則P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCDBD。EF、GH、BD交于一點(diǎn)。證法二：（向量法）由，從而EGFH故G、E、F、H四點(diǎn)共面。又EF與GH不能平行，EF與GH相交，設(shè)交點(diǎn)為P。則P面ABD，P面BCD，而平面ABD平面BCDBD。EF、GH、BD交于一點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：證明線共點(diǎn)，常采用證兩直線的交點(diǎn)在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線。例2. 已知n條互相平行的直線l1，l2，l3，ln分別與直線l相交于點(diǎn)A1，A2，An，求證：l1，l2，l3，ln與l共面分析：證明多條直線（三條或三條以上）共面，先由兩條確定一個(gè)平面，再證其它直線在這個(gè)平面內(nèi)，或者分別由兩條直線確定幾個(gè)平面，再證這些平面重合。證法一：因?yàn)閘1lA1，所以l1與l確定平面，設(shè)lk是與l1平行的直線中的任一條直線，且lklAk，則，Ak。lkl1，設(shè)lk與l1確定平面，則，Ak，因此l1與Ak既在平面內(nèi)又在平面內(nèi)，根據(jù)公理的推論1知過(guò)l1和其外一點(diǎn)的平面有且只有一個(gè)，所以重合，從而由lk的任意性知l1，l2，l3，ln共面證法二：l1l2，l1l3 直線l1和l2及直線l1和l3分別確定一個(gè)平面l1lA1，l2lA2，l3lA3， A1，A2，A2，A3，l，且l，和都是過(guò)相交直線l1和l的平面，而過(guò)兩相交直線的平面有且只有一個(gè)l1，l2，l3，l共面，同理可證l4，l5，ln都在由直線l1和l所確定的平面內(nèi)。例3. 如圖，已知四邊形ABCD中，ABCD，四條邊AB，BC，DC，AD（或其延長(zhǎng)線）分別與平面相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線。證明：ABCD，AB，CD確定一個(gè)平面，易知AB，BC，DC，AD都在內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在上，因而，E，F(xiàn)，G，H必都在平面與的交線上，所以四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線。例4. 如圖，在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水，M，N分別是AA1與C1D1的中點(diǎn)，由于某種原因，在D，M，N三點(diǎn)處各有一個(gè)小洞，為使此容器內(nèi)存水最多，問(wèn)應(yīng)將此容器如何放置？此時(shí)水的上表面的形狀怎樣？解：使過(guò)三點(diǎn)M，N，D的平面成為水平面時(shí)，容器內(nèi)存水最多，至于水表面的形狀，實(shí)質(zhì)上就是過(guò)M，N，D三點(diǎn)所作正方體的截面的形狀。連結(jié)DM并延長(zhǎng)DM交D1A1的延長(zhǎng)線于P，則點(diǎn)P既在截面內(nèi)又在底面A1B1C1D1內(nèi)，連結(jié)PN交A1B1于E，連ME，ND，則過(guò)M，N，D的截面就是四邊形DMEN，易證MEDN且MEDN，因而它是一個(gè)梯形。小結(jié)1. 證明“線共點(diǎn)”的方法，一般是先證兩條直線相交于一點(diǎn)，然后再證其它的直線過(guò)這一點(diǎn)。2. 證明“線共面”的問(wèn)題，一般先由公理3或推論確定一個(gè)平面，再證明其它的直線在這個(gè)平面內(nèi)。3. 證明“點(diǎn)共線”的方法，一般都是通過(guò)證這些點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上來(lái)解決。4. 作幾何體的截面圖時(shí)，常利用平面的性質(zhì)，設(shè)法確定所作截面上的關(guān)鍵點(diǎn)，從而確定截面圖形。例5. A是BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角。（1）證明：用反證法假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線。（2）解：取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角在RtEGF中，求得FEG45，即異面直線EF與BD所成的角為45。點(diǎn)評(píng)：證明兩條直線是異面直線常用反證法；求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為90；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作（找）證算”注意，異面直線所成角的范圍是（0，。例6. 長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，已知ABa，BCb，AA1c，且ab，求：（1）下列異面直線之間的距離：AB與CC1；AB與A1C1；AB與B1C。（2）異面直線D1B與AC所成角的余弦值。（1）解：BC為異面直線AB與CC1的公垂線段，故AB與CC1的距離為b。AA1為異面直線AB與A1C1的公垂線段，故AB與A1C1的距離為c。過(guò)B作BEB1C，垂足為E，則BE為異面直線AB與B1C的公垂線，BE，即AB與B1C的距離為。（2）解法一：連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)F，連結(jié)OF、AF，則OFD1B，AOF就是異面直線D1B與AC所成的角。AO，OF BD1，AF，在AOF中，cosAOF。解法二：如下圖，在原長(zhǎng)方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的長(zhǎng)方體，連結(jié)BG、D1G，則ACBG，D1BG（或其補(bǔ)角）為D1B與AC所成的角。BD1，BG，D1G，在D1BG中，cosD1BG，故所求的余弦值為。解法三：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出坐標(biāo)，用向量的夾角公式計(jì)算。例7. 設(shè)異面直線a與b所成的角為50，O為空間一定點(diǎn)，試討論，過(guò)點(diǎn)O與a、b所成的角都是（090）的直線l有且僅有幾條?解：過(guò)點(diǎn)O作a1a，b1b，則相交直線a1、b1確定一平面a1與b1夾角為50或130，設(shè)直線OA與a1、b1均為角，作AB面于點(diǎn)B，BCa1于點(diǎn)C，BDb1于點(diǎn)D，記AOB1，BOC2（225或65），則有coscos1cos2因?yàn)?190，所以0coscos2。當(dāng)225時(shí)，由0coscos25，得2590；當(dāng)265時(shí)，由0coscos65，得6590。故當(dāng)25時(shí)，直線l不存在；當(dāng)25時(shí)，直線l有且僅有1條；當(dāng)2565時(shí)，直線l有且僅有2條；當(dāng)65時(shí)，直線l有且僅有3條；當(dāng)65或 D. BC，tan tan，又、（0，。故選C。如圖所示，過(guò)空間一點(diǎn)O分別作a，b，則構(gòu)成角或70。所求直線即為過(guò)點(diǎn)O且與都成60角的直線。當(dāng)110，將兩對(duì)對(duì)頂角的平分線繞O點(diǎn)分別在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，總能得到與 都成60角的直線兩條。當(dāng)70時(shí)，同理。故過(guò)點(diǎn) O與a，b都成60角的直線有4條，從而選D。過(guò)點(diǎn)O分別作a，b，則過(guò)點(diǎn)O有三條直線與，a，b所成角都為60，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)O有三條直線與 所成角都為60，如圖所示，則60，120，此時(shí)過(guò)點(diǎn) O有三條直線與所成角都為60。其中一條正是角的平分線。如果它是棱錐，則是七棱錐，有14條棱，8個(gè)面如果它是棱柱，則是四棱柱，有12條棱，6個(gè)面。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，考查空間想象和轉(zhuǎn)化能力，以及周密地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。小結(jié)1. 本節(jié)重點(diǎn)問(wèn)題是證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)以及求異面直線所成的角。2. 證明三點(diǎn)均在兩個(gè)平面的交線上，可以推證三點(diǎn)共線；求異面直線所成的角，一般先取一個(gè)特殊點(diǎn)作它們的平行線，作出所求的角或其補(bǔ)角，再解三角形?！灸M試題】1. 下列四個(gè)條件中，能確定一個(gè)平面的條件是（ ）A. 空間任意三點(diǎn)， B. 空間兩條直線C. 兩條平行線， D. 一條直線和一個(gè)點(diǎn)2. 兩個(gè)平面重合的條件是（ ）A. 空間只有三個(gè)公共點(diǎn)， B. 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)C. 有一條公共直線， D. 有兩條公共直線3. 若3個(gè)平面將空間分成n部分，則n的值為（ ）A. 4 B. 4或6C. 4或6或7 D. 4或6或7或84. 空間四點(diǎn)中，如果其中任意三點(diǎn)都不共線，那么經(jīng)過(guò)其中三點(diǎn)的平面有（ ）A. 必定有4個(gè) B. 4個(gè)或1個(gè)C. 3個(gè)或1個(gè) D. 1個(gè)或3個(gè)或4個(gè)5. 下列命題：（ ） 若點(diǎn)A，B，CAB，則C； 若l，b，c，bcA，則Al； 兩兩相交的三條直線必在同一平面內(nèi)； 任意三點(diǎn)不共線的四點(diǎn)必共面。 其中真命題的個(gè)數(shù)有（ ）A. 0個(gè)B. 1個(gè)， C. 2個(gè)D. 3個(gè)6. 一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是 。7. 已知ABC的平面直觀圖ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原三角形ABC的面積為 。8. 如圖，表示一個(gè)正方體表面的一種展開圖，圖中的四條線AB、CD、EF和GH在原正方體中異面的有 對(duì)。 9. 已知兩異面直線a、b所成的角為，直線l分別與a、b所成的角