湖南長(zhǎng)沙望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪講座復(fù)習(xí)求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)白箬中學(xué)高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用高考要求 函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 重難點(diǎn)歸納 (1)求函數(shù)的值域此類問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法 配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等 無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域 (2)函數(shù)的綜合性題目此類問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目 此類問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力 在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng) (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題此類問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力 典型題例示范講解 例1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那么為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最??？命題意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問(wèn)題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí) 錯(cuò)解分析 證明S()在區(qū)間上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決 技巧與方法 本題屬于應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決 解 設(shè)畫面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得 S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即=1)時(shí)S取得最小值 此時(shí)高 x=88 cm,寬 x=88=55 cm 如果，可設(shè)10,S(1)S(2)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 命題意圖 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問(wèn)題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 知識(shí)依托 本題主要通過(guò)求f(x)的最值問(wèn)題來(lái)求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想 錯(cuò)解分析 考生不易考慮把求a的取值范圍的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決 技巧與方法 解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時(shí)，f(x)=x+2 f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間1，+上， f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時(shí)，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 例3設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)證明 當(dāng)mM時(shí)，f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mM (2)當(dāng)mM時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 (3)求證 對(duì)每個(gè)mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1 (1)證明 先將f(x)變形 f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時(shí)，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽 反之，若f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 設(shè)u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時(shí)，f(x)最小 而u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時(shí)，u取最小值為m+,此時(shí)f(2m)=log3(m+)為最小值 (3)證明 當(dāng)mM時(shí)，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立 log3(m+)log33=1 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 函數(shù)y=x2+ (x)的值域是( )A(,B,+C,+D(,2 函數(shù)y=x+的值域是( )A (,1B (,1C RD 1,+3 一批貨物隨17列貨車從A市以V千米/小時(shí)勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米，為了安全，兩列貨車間距離不得小于()2千米 ，那么這批物資全部運(yùn)到B市，最快需要_小時(shí)(不計(jì)貨車的車身長(zhǎng)) 4 設(shè)x1、x2為方程4x24mx+m+2=0的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m=_時(shí)，x12+x22有最小值_ 5 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品時(shí)，固定成本為5000元，而每生產(chǎn)100臺(tái)產(chǎn)品時(shí)直接消耗成本要增加2500元，市場(chǎng)對(duì)此商品年需求量為500臺(tái)，銷售的收入函數(shù)為R(x)=5xx2(萬(wàn)元)(0x5),其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量(單位 百臺(tái))(1)把利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量的函數(shù)； (2)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)所得的利潤(rùn)最大？(3)年產(chǎn)量多少時(shí)，企業(yè)才不虧本？6 已知函數(shù)f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1(1)若f(x)的定義域?yàn)?,+)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域?yàn)?,+),求實(shí)數(shù)a的取值范圍 參考答案 1 解析 m1=x2在(,）上是減函數(shù)，m2=在(,）上是減函數(shù)，y=x2+在x(,)上為減函數(shù),y=x2+ (x)的值域?yàn)椋?答案 B2令=t(t0), y=+t= (t1)2+11值域?yàn)?,1 答案 A3 解析 t=+16()2/V=+2=8 答案 84 解析 由韋達(dá)定理知 x1+x2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)22x1x2=m2=(m)2, 又x1,x2為實(shí)根，0 m1或m2，y=(m)2在區(qū)間(,1）上是減函數(shù)，在2，+上是增函數(shù)，又拋物線y開(kāi)口向上且以m=為對(duì)稱軸 故m=1時(shí)， ymin= 答案 1 5 解 (1）利潤(rùn)y是指生產(chǎn)數(shù)量x的產(chǎn)品售出后的總收入R(x)與其總成本C(x)之差，由題意，當(dāng)x5時(shí)，產(chǎn)品能全部售出，當(dāng)x5時(shí)，只能銷售500臺(tái)，所以y=(2）在0x5時(shí)，y=x2+4 75x0 5,當(dāng)x=4 75(百臺(tái)）時(shí)，ymax=10 78125(萬(wàn)元），當(dāng)x5(百臺(tái)）時(shí)，y120 255=10 75(萬(wàn)元），所以當(dāng)生產(chǎn)475臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大 (3）要使企業(yè)不虧本，即要求解得5x4 750 1(百臺(tái)）或5x48(百臺(tái)）時(shí)，即企業(yè)年產(chǎn)量在10臺(tái)到4800臺(tái)之間時(shí)，企業(yè)不虧本 6 解 (1）依題意(a21）x2+(a+1)x+10對(duì)一切xR恒成立，當(dāng)a210時(shí)，其充要條