第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.ppt

第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）,應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問題基礎(chǔ)之一,在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）,ji,j+fi=0,ij=(ui,j+uj,i)/2,共9個(gè)方程，但需確定的未知函數(shù)共15個(gè)：ui，ij=ji，ij=ji，還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來建立應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系：,ij=ji=fij(kl),從數(shù)學(xué)分析的角度，上述方程是不封閉的，因此沒有唯一的一組解，必須補(bǔ)充六個(gè)方程，將方程組封閉起來,應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,物理方程的一般形式,材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系一般由實(shí)驗(yàn)得到，最早的實(shí)驗(yàn)由虎克（Hooke,R.）的金屬絲拉伸實(shí)驗(yàn)。,一般情況下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈某一函數(shù)關(guān)系，可表示為,ij=ji=fij(kl),當(dāng)式中的自變量：x、y、z、yz、zx、xy為小量時(shí)，可對(duì)其按Taylor級(jí)數(shù)展開，并略去二階以上小量，如第一式，有,這樣可得一線性方程：,同理有其它:,廣義虎克（Hooke）定律的一般形式,式中：包括36個(gè)常數(shù)。,彈性系數(shù)36個(gè)，是材料彈性性質(zhì)的表征。,非均勻材料Cmn是坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)；,均勻材料,彈性性質(zhì)與點(diǎn)的位置無關(guān)，,Cmn是與位置無關(guān)的常數(shù)彈性常數(shù),本構(gòu)關(guān)系材料的變形與所受應(yīng)力之間的關(guān)系；是材料本身所固有的性質(zhì)；本構(gòu)關(guān)系的研究是固體力學(xué)最重要的課題之一。,36個(gè)彈性系數(shù)可以證明，只有21個(gè)常數(shù)獨(dú)立。,彈性應(yīng)變能函數(shù),彈性的定義,由實(shí)驗(yàn)可知當(dāng)加載到A點(diǎn)后卸載，加載與卸載路徑并不完全重合，亦即應(yīng)力與應(yīng)變之間不是單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系。OBACO稱為滯后回線。其所包含的面積稱為滯后面積。,對(duì)大多數(shù)材料來講，當(dāng)應(yīng)力加載幅值較小時(shí)，滯后回線非常窄小，可以認(rèn)為加載與卸載是重合的。因此應(yīng)力與應(yīng)變間可看作是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系。,勻材料的小變形線彈性本構(gòu)關(guān)系,各向同性彈性體假設(shè)物體是均勻、連續(xù)、各向同性的，應(yīng)力和應(yīng)變間的關(guān)系只決定于物體的物理性質(zhì)，應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系與坐標(biāo)的位置和方向無關(guān)。下面所研究的物體僅限于完全彈性體，即當(dāng)物體除去外力后變形完全消失而恢復(fù)原狀，而且應(yīng)力與應(yīng)變間成單值的線性關(guān)系。,線彈性:,廣義胡克定律:,Green,超彈性（Green）,兩個(gè)假設(shè)1、彈性體的響應(yīng)僅依賴于當(dāng)前的狀態(tài)；2、彈性體變形可以用一個(gè)狀態(tài)張量關(guān)系表示。,14,Chapter2.2,晶體,15,Chapter2.2,silicon,晶體,16,Chapter2.2,晶體,三斜單斜正交三角四方六方立方,17,Chapter2.2,長(zhǎng)鏈高分子,一、廣義胡克定律,單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的胡克定律是式中E稱為彈性模量。對(duì)于一種材料在一定溫度下，E是常數(shù)。,楊氏模量,Chapter5.1,在單向拉伸時(shí)，在垂直于力作用線的方向發(fā)生收縮。在彈性極限內(nèi)，橫向相對(duì)縮短和縱向相對(duì)伸長(zhǎng)成正比，因縮短與伸長(zhǎng)的符號(hào)相反，有：,其中是彈性常數(shù)，稱為泊松比。,泊松比,Chapter5.1,先考慮在各正應(yīng)力作用下沿x軸的相對(duì)伸長(zhǎng)，它由三部分組成，即,線彈性疊加原理,Chapter5.1,其中是由于x的作用所產(chǎn)生的相對(duì)伸長(zhǎng),是由于y的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短,是由于z的作用所產(chǎn)生的相對(duì)縮短,Chapter5.1,將上述三個(gè)應(yīng)變相加，即得在x、y、z同時(shí)作用下在x軸方向的應(yīng)變,同理可得到在y軸和z軸方向的應(yīng)變,Chapter5.1,根據(jù)實(shí)驗(yàn)可知，xy只引起xy坐標(biāo)面內(nèi)的剪應(yīng)變xy，而不引起xz、yz，于是可得,同理,Chapter5.1,于是，得到各向同性材料的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系：,廣義胡克定律,Chapter5.1,楊氏模量，泊松比和剪切模量之間的關(guān)系為,將彈性本構(gòu)關(guān)系寫成指標(biāo)形式為,Chapter5.1,Chapter5.1,如用應(yīng)變第一不變量代替三個(gè)正應(yīng)變之和，用應(yīng)力第一不變量表示三個(gè)正應(yīng)力之和，則,其中稱為體積模量。,Chapter5.1,令,則,Chapter5.1,彈性關(guān)系的常規(guī)形式為,其中G和稱為拉梅常數(shù)。,Chapter5.1,將應(yīng)力和應(yīng)變張量分解成球量和偏量，得,由于偏量和球量相互獨(dú)立，所以有,第一式說明彈性體的體積變化是由平均應(yīng)力0引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)K稱為體積模量。(體積變化),第二式說明彈性體的形狀畸變是由應(yīng)力偏量引起的，相應(yīng)的彈性常數(shù)是剪切模量G的二倍。(形狀變化),常用的三套彈性常數(shù),對(duì)于給定的工程材料，可以用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)定E和；用薄壁筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測(cè)定G；用靜水壓試驗(yàn)來測(cè)定K。實(shí)驗(yàn)表明，在這三種加載情況下物體的變形總是和加載方向一致的(即外力總在物體變形上做正功)，所以,Chapter5.1,故要上式成立必要求：,即,若設(shè)0.5，則體積模量K，稱為不可壓縮材料，相應(yīng)的剪切模量為,對(duì)實(shí)際工程材料的測(cè)定值，一般都在的范圍內(nèi)。,各向同性本構(gòu)關(guān)系,對(duì)于各向同性材料，正應(yīng)力在對(duì)應(yīng)方向上只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力在對(duì)應(yīng)方向上只引起剪應(yīng)變，它們是互不耦合的。,各向異性本構(gòu)關(guān)系,Chapter5.2,對(duì)于各向異性材料的一般情況，任何一個(gè)應(yīng)力分量都可能引起任何一個(gè)應(yīng)變分量的變化。廣義胡克定律的一般形式是：,C是四階剛度（彈性）張量。,D是四階柔度張量。,確定線彈性材料常數(shù)的歷史過程,Chapter5.1,由于應(yīng)力應(yīng)變都是二階張量，且上式對(duì)任意的kl均成立，所以根據(jù)商判則Cijkl是一個(gè)四階張量，稱彈性張量，共有81個(gè)分量。彈性張量的Voigt對(duì)稱性,Chapter5.1,下節(jié)中將證明,第一節(jié)熱力學(xué)基本定律與彈性體應(yīng)變能(函數(shù)),熱力學(xué)基本定律與狀態(tài)函數(shù),物體任意部分的能量包括宏觀動(dòng)能量和內(nèi)能,微觀的角度，物體的內(nèi)能無非是物體內(nèi)部所有分子的動(dòng)能和勢(shì)能,式中N為分子總數(shù)，mi、vi分別是第i個(gè)分子的質(zhì)量與速度。,是第i個(gè)分子與第j個(gè)分子相互作用的勢(shì)能,在疊加,時(shí)，,計(jì)算了兩次，因此要乘上,右端第一項(xiàng)，其宏觀表現(xiàn)即是物體的溫度，因此較容易度量。右端第二項(xiàng)，往往在宏觀上不表現(xiàn)出來，因此測(cè)量和計(jì)算是很困難的。,物體內(nèi)每個(gè)分子的動(dòng)能和物體整體的動(dòng)能是兩個(gè)概念，物體還可以有宏觀勢(shì)能，比如重力場(chǎng)中物體的重力勢(shì)能。,熱力學(xué)中有兩類變量,一類與過程相關(guān)，比如物體吸收(或放出)的熱量，不僅與物體自身溫度有關(guān)，也與環(huán)境溫度有關(guān)，只有當(dāng)系統(tǒng)與環(huán)境之間存在溫差時(shí)，才有可能與外界交換熱量。這類量不是物體固有的量，不能反映物體的狀態(tài)。,物體的固有量可以反映物體的狀態(tài)，這類變量稱為狀態(tài)變量或狀態(tài)函數(shù)。,一、狀態(tài)變量或狀態(tài)函數(shù),物體的內(nèi)能是狀態(tài)函數(shù)與狀態(tài)改變的路徑無關(guān)。,證明:,熱力學(xué)第一定律,物體總能量的變化等于外力對(duì)物體所做的功和物體吸收的熱量。,如在過程中，物體的宏觀動(dòng)能不變化，則內(nèi)能的增量，即是物體總能量的變化，可以表示為,(4-1),式中A是初態(tài)，B是終態(tài)，UA和UB分別是狀態(tài)A和狀態(tài)B的內(nèi)能，q是流入物體的熱量，W是外力對(duì)系統(tǒng)所做的功。上式就是這種特殊情況下的能量守恒定律。,考慮物體由兩條不同的路徑從狀態(tài)A變到狀態(tài)B，,經(jīng)由路徑I，物體內(nèi)能的變化為,經(jīng)由路徑II，物體內(nèi)能的變化為,考慮物體的封閉循環(huán)，即物體沿路徑I由狀態(tài)A變到狀態(tài)B，再沿路徑II由狀態(tài)B變回狀態(tài)A。,在這個(gè)過程中物體內(nèi)能的變化為,如果內(nèi)能的變化與路徑有關(guān),這樣在這個(gè)封閉循環(huán)中,另一方面，在這樣一個(gè)封閉循環(huán)中，物體的初態(tài)與終態(tài)都是A，則按能量守恒方程(4-1),式,如果,就表明當(dāng)物體回到原來的狀態(tài)時(shí)，內(nèi)能有增加或減小，這違背了以(4-1)式表示的熱力學(xué)第一定律,在封閉循環(huán)中,表明從狀態(tài)A到狀態(tài)B，物體內(nèi)能的變化與路徑無關(guān)，即物體的內(nèi)能U是狀態(tài)函數(shù)。,凡是與路徑無關(guān)的函數(shù)都滿足沿閉路上的積分為零的條件,(4-2),按照狀態(tài)函數(shù)的意義，還可以知道狀態(tài)函數(shù)存在全微分,二、彈性應(yīng)變能函數(shù),在外力作用下物體一定發(fā)生位移(剛體運(yùn)動(dòng)、變形，兩者兼而有之，或者有其一)，并從一個(gè)平衡態(tài)變到新的平衡態(tài)，在這個(gè)過程中，外力(體力和面力)對(duì)物體做功(如果是純熱力學(xué)過程，則外力不做功，但物體與外界有熱量交換)。同時(shí)，物體的宏觀動(dòng)能和內(nèi)能也發(fā)生相應(yīng)的變化。,熱力學(xué)第一定律,在平衡態(tài)變化過程中，物體總能量的增加等于外力對(duì)物體施加的功和接受的熱量之和。,(4-3),式中K是物體的宏觀動(dòng)能，U是內(nèi)能，A是外力的功，Q是接受的熱量。K和U是狀態(tài)函數(shù)，它們的改變與路徑無關(guān)，存在全微分，因此用“”表示它們的變化，A和Q的變化不僅與狀態(tài)有關(guān)，還與過程有關(guān)，因此用“D”表示它們的變化，以示區(qū)別。,一般實(shí)際問題中,從物體中取出一個(gè)微元體，計(jì)算它在平衡狀態(tài)變化過程中各種量的變化,微元體的體積為V，表面積為S。,位移為,位移速度,加速度,物體所受體力為,面力為,若過程變化的時(shí)間,極小，則在平衡狀態(tài)變化過程中，,和面力,不變,可以認(rèn)為體力,單位時(shí)間內(nèi)外力對(duì)物體所做的功為,(4-4),A1是體力的功,A2是面力的功,(4-5a),(4-5b),由邊界面力公式,彈性體包含區(qū)域,速度分量,單位體積的體力,單位體積的面力,彈性體表面,奧高公式:,曲面積分與三重積分的關(guān)系,曲面S所圍的區(qū)域?yàn)閂，S的外法線方向余弦為,則有：,按Gauss公式，前式變?yōu)?重新整理上式,(4-6),迭加(4-5a)和(4-6)得到外力的功為,(4-7),若物體的密度為,，物體單位體積的宏觀動(dòng)能為,，則利用運(yùn)動(dòng)(平,衡)方程，(4-7)可寫為,(4-9),另一方面，物體的宏觀動(dòng)能為,在,時(shí)間內(nèi)物體宏觀動(dòng)能的改變?yōu)?(4-10),對(duì)比(4-9)和(4-10)，可得,(4-11),從(4-3)式可導(dǎo)出,即,(4-12),如果是絕熱過程，則,相當(dāng)于物體極快地由一個(gè)平衡態(tài)，變化到另一個(gè)平衡態(tài)，因此來不及吸收和釋放熱量,此時(shí)對(duì)比(4-11)和(4-12)，可得,(4-13),如果是等溫過程,相當(dāng)于物體平衡狀態(tài)的變化極慢，如果單位體積中的內(nèi)能是v1，則在全部的體積內(nèi)內(nèi)能為,(4-14),對(duì)比(4-13)和(4-14)，可得,(4-15),也是空間點(diǎn)的函數(shù)，若固定空間點(diǎn)不變，則在dt時(shí)間內(nèi)，內(nèi)能的變化(注意：不是變化率)為,(4-16),內(nèi)能也是狀態(tài)函數(shù)與路徑無關(guān)，因此將v1對(duì)時(shí)間積分，從t0時(shí)刻積分到t時(shí)刻，其積分值只與初態(tài)和終態(tài)有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。(此處是與積分的時(shí)間歷程無關(guān))，如果還有初始狀態(tài)下內(nèi)能V1=0，則有,(4-17),(4-18),(4-18)給出了應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系，具有(4-18)這樣性質(zhì)的函數(shù)V1稱為應(yīng)變能量函數(shù)，簡(jiǎn)稱應(yīng)變能,由(4-18)式確定的應(yīng)力叫廣義應(yīng)力，(4-18)式也稱格林公式,格林公式,V1表示為了克服物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)變形，應(yīng)力分量在應(yīng)變分量上的功，當(dāng)外力去除后，該能量被釋放出來，使物體恢復(fù)原來的形狀,等溫過程,熱力學(xué)第二定律,機(jī)械能總是可以轉(zhuǎn)化為熱能，但如果沒有功的消耗，熱能不會(huì)自動(dòng)地從較冷的物體流向較熱的物體。熱力學(xué)第二定律也可以定量地表示為,(4-19),式中S叫做熵，T是絕對(duì)溫標(biāo),在等溫狀態(tài),(4-20),等溫過程相當(dāng)于外力十分緩慢地施加于物體上，使得物體的平衡狀態(tài)十分緩慢地由一種狀態(tài)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)。,從(4-12)式和上式，可以得到,(4-21),內(nèi)能V1是狀態(tài)函數(shù)，按熱力學(xué)，熵S也是狀態(tài)函數(shù)，而T=const，因此V1-TS是狀態(tài)函數(shù)，同時(shí)由(4-11)式知道,因此，從上式和(4-21)式可得,(4-22),按同樣的推導(dǎo)過程，也可以證明在等溫條件下應(yīng)變能函數(shù)V1/的存在，且廣義應(yīng)力為,(4-23),(4-18)和(4-23)是6個(gè)應(yīng)力分量與6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系，對(duì)彈性體而言，這就是所需要的6個(gè)補(bǔ)充方程。一般而言，這6個(gè)方程是非線性的。,不受變形大小，和材料性能的限制,第二節(jié)線性彈性物質(zhì)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,一、各向異性彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(廣義虎克定律),(4-18)，(4-23)是從熱力學(xué)第一定律和第二定律導(dǎo)出的，除了等溫和絕熱的條件外，沒有其它的限制，因此可以適用于大變形、非均勻和絕對(duì)各向異性。,一共是6個(gè)式子，展開后為,以未變形的狀態(tài)為參考狀態(tài)，進(jìn)行Taylor展開,(4-23),1）根據(jù)自然狀態(tài)假設(shè),ij=0時(shí)ij=0,2）小變形情況下（），可略去高階微小量，則：,=c,Eijkl或Cijkl共有81個(gè)元素（四階張量常數(shù)）,小變形假設(shè)，各個(gè)應(yīng)變分量都遠(yuǎn)小于1，即,，因此可將(4-23)在,處展開，可以得到，,用x、y、z展開,(4-24),式中,是應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)的初始應(yīng)力。由于無初應(yīng)力假設(shè),，式中,處的導(dǎo)數(shù)值，是常量，因此(4-24)可寫為,是在,(4-25),同理:,由,由,由于已經(jīng)假設(shè)位移和應(yīng)變有三階以上的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此二階交叉導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，這樣從(4-18)式可得到,可得到,按類似的方法還可以得到,(4-26),這表明(4-25)式中的36個(gè)系數(shù)是對(duì)稱的，因此在(4-25)中，只有21個(gè)參數(shù)是獨(dú)立的。在條件(4-26)下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是絕對(duì)各向異性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(或廣義虎克定律)。,(4-25),用矩陣表示：,(4-27),如果彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的,(4-28),(4-29),(4-29)是實(shí)的齊次二次多項(xiàng)式，按照線性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)(4-29)式是一個(gè)二次型，若記這個(gè)二次型為,，,則,=,，用矩陣表示為,(4-30),記為：,從(4-29)、(4-30)、(4-27)和(4-18)可以看出,(4-31a),因此,(4-