一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)隨機(jī)變量X的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X的分布求出Y的分布？,下面進(jìn)行討論.,一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)仍是一個(gè)隨機(jī)變量。,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：當(dāng)X取值1，2，5時(shí)，Y取對(duì)應(yīng)值5，7，13，,而且X取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.,故,如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.,一般，若X是離散型r.v，X的概率函數(shù)為,則Y=X2的概率函數(shù)為：,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布,解：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，,FY(y)=PYy=P(2X+8y),=PX=FX(),于是Y的密度函數(shù),故,注意到0x4時(shí)，,即8y0時(shí),注意到Y(jié)=X20，故當(dāng)y0時(shí)，,解：設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和，,若,則Y=X2的概率密度為：,從上述兩例中可以看到，在求P(Yy)的過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從g(X)y中解出X,從而得到與g(X)y等價(jià)的X的不等式.,用代替X2y,這樣做是為了利用已知的X的分布，從而求出相應(yīng)的概率.,這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法.,例4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當(dāng)y0時(shí),當(dāng)y1時(shí),故,解：注意到,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）,解：當(dāng)0y1時(shí),例4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求Y=sinX的概率密度.,當(dāng)0y1時(shí),解：,=P(0Xarcsiny)+P(-arcsinyX）,而,求導(dǎo)得:,下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度.,其中，,此定理的證明與前面的解題思路類似.,x=h(y)是y=g(x)的反函數(shù),定理設(shè)X是一個(gè)取值于區(qū)間a,b，具有概率密度f(wàn)(x)的連續(xù)型r.v,又設(shè)y=g(x)處處可導(dǎo)，且對(duì)于任意x,恒有或恒有，則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型r.v，它的概率密度為,下面我們用這個(gè)定理來(lái)解一個(gè)例題.,例5設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在區(qū)間(0,1)上,函數(shù)lnx0,于是y在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù),由前述定理得,注意取絕對(duì)值,已知X在(0,1)上服從均勻分布，,代入的表達(dá)式中,得,即Y服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布.,對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X)的分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件g(X)y轉(zhuǎn)化為X在一定范