線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納(同濟(jì)-第五版)

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一部分 行列式1. 排列的逆序數(shù)2. 行列式按行（列）展開法則3. 行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算行列式的定義 1. 行列式的計(jì)算： (定義法) （降階法）行列式按行（列）展開定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零. (化為三角型行列式)上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積. 若都是方陣（不必同階）,則 例 計(jì)算 解 = 關(guān)于副對(duì)角線： 范德蒙德行列式：例 計(jì)算行列式 型公式： (升階法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不變的方法. (遞推公式

2、法) 對(duì)階行列式找出與或,之間的一種關(guān)系稱為遞推公式，其中 ,等結(jié)構(gòu)相同，再由遞推公式求出的方法稱為遞推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素寫成兩數(shù)和的形式，再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫成兩行列式之和， 使問題簡(jiǎn)化以例計(jì)算. (數(shù)學(xué)歸納法) 2. 對(duì)于階行列式，恒有：，其中為階主子式；3. 證明的方法：、；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組，證明其有非零解；、利用秩，證明；、證明0是其特征值.4. 代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：第二部分 矩陣1. 矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2. 矩陣求逆3. 矩陣的秩的性質(zhì)4. 矩陣方程的求解1. 矩陣的定義 由個(gè)數(shù)排成的行列的表稱為矩陣. 記作：或 同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行

3、數(shù)相等、列數(shù)也相等. 矩陣相等: 兩個(gè)矩陣同型，且對(duì)應(yīng)元素相等. 矩陣運(yùn)算 a. 矩陣加（減）法：兩個(gè)同型矩陣，對(duì)應(yīng)元素相加（減）. b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù)與矩陣的乘積記作 或，規(guī)定為. c. 矩陣與矩陣相乘：設(shè), ,則， 其中 注：矩陣乘法不滿足：交換律、消去律, 即公式不成立. a. 分塊對(duì)角陣相乘：, b. 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量； c. 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量. d. 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘. 方陣的冪的性質(zhì)：， 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置

4、矩陣，記作. a. 對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣: 是對(duì)稱矩陣 .是反對(duì)稱矩陣 . b. 分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣： 伴隨矩陣： ，為中各個(gè)元素的代數(shù)余子式. , . 分塊對(duì)角陣的伴隨矩陣： 矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：（無條件恒成立）2. 逆矩陣的求法 方陣可逆 .伴隨矩陣法 ： 初等變換法 例 求的逆矩陣.解 分塊矩陣的逆矩陣： , 配方法或者待定系數(shù)法 （逆矩陣的定義）例 設(shè)方陣滿足矩陣方程, 證明及都可逆, 并求及. 解 由得, 故可逆, 且. 由也可得或, 故可逆, 且 .3. 行階梯形矩陣 可畫出一條階梯線，線的下方全為；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎

5、線后面的第一個(gè)元素非零. 當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其他元素都是時(shí)， 稱為行最簡(jiǎn)形矩陣4. 初等變換與初等矩陣 對(duì)換變換、倍乘變換、倍加（或消法）變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式()()() 矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系： 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘； 對(duì)施行一次初等變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣乘. 注意： 初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣. 5. 矩陣的秩 關(guān)于矩陣秩的描述： 、，中有階子式不為0，階子式 (存在的話) 全部為0； 、，的階子式全部為0； 、，中存在階子式不為

6、0； 矩陣的秩的性質(zhì)： ; ; 若、可逆，則； 即：可逆矩陣不影響矩陣的秩. 若； 若 等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型. , , 求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6 矩陣方程的解法()：設(shè)法化成 第三部分 線性方程組1. 向量組的線性表示2. 向量組的線性相關(guān)性3. 向量組的秩4. 向量空間5.線性方程組的解的判定6. 線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解） （1）齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系） （2）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）1. 線性表示：對(duì)于給定向量組，若存在一組數(shù)使得， 則稱是的線性組合，或稱稱可由的線性表示.線性表示的判別定理: 可由的線性表示 由個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組構(gòu)成元線性方程：

7、 、有解 、 、（全部按列分塊，其中）； 、（線性表出） 、有解的充要條件：（為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）2. 設(shè)的列向量為,的列向量為， 則 ， 為的解 可由線性表示. 即：的列向量能由的列向量線性表示，為系數(shù)矩陣.同理：的行向量能由的行向量線性表示，為系數(shù)矩陣.即： 3. 線性相關(guān)性 判別方法： 法1 法2法3推論 線性相關(guān)性判別法（歸納） 線性相關(guān)性的性質(zhì) 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交. 單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無關(guān). 部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān). （向量個(gè)數(shù)變動(dòng)） 原向量組無關(guān),接長(zhǎng)向量組無關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān). （向量維數(shù)變

8、動(dòng)） 兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān). 向量組中任一向量都是此向量組的線性組合. 若線性無關(guān)，而線性相關(guān),則可由線性表示,且表示法唯一. 4. 最大無關(guān)組相關(guān)知識(shí)向量組的秩 向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)向量組的秩.記作 矩陣等價(jià) 經(jīng)過有限次初等變換化為. 向量組等價(jià) 和可以相互線性表示. 記作： 矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩. 行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行（列）向量間的線性關(guān)系 向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關(guān).向量組線性無關(guān),且可由線性表示,則. 向量組可由向量組線性表示,且,則

9、兩向量組等價(jià)； 任一向量組和它的極大無關(guān)組等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià). 向量組的極大無關(guān)組不唯一，但極大無關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定. 若兩個(gè)線性無關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等. 設(shè)是矩陣,若，的行向量線性無關(guān)；5. 線性方程組理論線性方程組的矩陣式 向量式 其中 （1）解得判別定理（2）線性方程組解的性質(zhì)： (3) 判斷是的基礎(chǔ)解系的條件： 線性無關(guān)； 都是的解； .(4) 求非齊次線性方程組Ax = b的通解的步驟 例 求下述方程組的解 解 ,由于，知線性方程組有無窮多解. 原方程組等價(jià)于方程組,令 求得等價(jià)方程組對(duì)應(yīng)的奇次方程組的基礎(chǔ)解系 求特解: 令，得 故特解為

10、所以方程組的通解為 ，（為任意常數(shù)）.（5）其他性質(zhì) 一個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不唯一. 若是的一個(gè)解，是的一個(gè)解線性無關(guān) 與同解（列向量個(gè)數(shù)相同）, 且有結(jié)果： 它們的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等； 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系. 矩陣與的行向量組等價(jià)齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）； 矩陣與的列向量組等價(jià)（右乘可逆矩陣）.第四部分 方陣的特征值及特征向量1. 施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算3. 矩陣的相似對(duì)角化，尤其是對(duì)稱陣的相似對(duì)角化1. 標(biāo)準(zhǔn)正交基 個(gè)維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1. 向量與的內(nèi)積 . 記為： 向量的

11、長(zhǎng)度 是單位向量 . 即長(zhǎng)度為的向量.2. 內(nèi)積的性質(zhì)： 正定性： 對(duì)稱性： 線性性： 3. 設(shè)A是一個(gè)n階方陣, 若存在數(shù)和n維非零列向量, 使得 ， 則稱是方陣A的一個(gè)特征值，為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的一個(gè)特征向量. 的特征矩陣 （或）. 的特征多項(xiàng)式 （或）. 是矩陣的特征多項(xiàng)式 ，稱為矩陣的跡. 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的各元素. 若,則為的特征值,且的基礎(chǔ)解系即為屬于的線性無關(guān)的特征向量. 一定可分解為=、,從而的特征值 為：, . 為各行的公比，為各列的公比. 若的全部特征值，是多項(xiàng)式,則: 若滿足的任何一個(gè)特征值必滿足的全部特征值為；. 與有相同的特征值，但

12、特征向量不一定相同.4. 特征值與特征向量的求法 (1) 寫出矩陣A的特征方程，求出特征值. (2) 根據(jù)得到 A 對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量. 設(shè)的基礎(chǔ)解系為 其中. 則A 對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為 其中為任意不全為零的數(shù). 例 求的特征值和全部特征向量. 解 第一步：寫出矩陣A的特征方程，求出特征值. 解得特征值為第二步：對(duì)每個(gè)特征值代數(shù)齊次線性方程組，求其非零解,即對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量.當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,系數(shù)矩陣得基礎(chǔ)解系:，故對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為.當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為,系數(shù)矩陣得基礎(chǔ)解系:，.故對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為 ， 其中不全為零.5. 與相似 （為

13、可逆矩陣） 與正交相似 （為正交矩陣） 可以相似對(duì)角化 與對(duì)角陣相似.（稱是的相似標(biāo)準(zhǔn)形）6. 相似矩陣的性質(zhì)： ,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.是關(guān)于的特征向量,是關(guān)于的特征向量. 從而同時(shí)可逆或不可逆 若與相似, 則的多項(xiàng)式與的多項(xiàng)式相似.7. 矩陣對(duì)角化的判定方法 n 階矩陣A可對(duì)角化 (即相似于對(duì)角陣) 的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 這時(shí),為的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為的特征值. 設(shè)為對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)的特征向量,則有：. 可相似對(duì)角化，其中為的重?cái)?shù)恰有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. ：當(dāng)為的重的特征值時(shí)，可相似對(duì)角化的重?cái)?shù)基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù). 若階

14、矩陣有個(gè)互異的特征值可相似對(duì)角化.8. 實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量； 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交； ：對(duì)于普通方陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)； 一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量. 若有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 與對(duì)角矩陣合同，即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似有相同的特征值.9. 正交矩陣 正交矩陣的性質(zhì)： ； ； 正交陣的行列式等于1或-1； 是正交陣,則，也是正交陣； 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； 的行（列）向量都是單位正交向量組.10. 例 實(shí)對(duì)稱陣，求

15、正交陣，使得為對(duì)角陣. 解 所以A的特征值為，當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為當(dāng)時(shí)，解，得基礎(chǔ)解系為令令，則11. 施密特正交規(guī)范化 線性無關(guān), 單位化： 技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交，再把第二個(gè)解向量代入方程，確定其自由變量. 第四部分 二次型1. 二次型及其矩陣形式2. 二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式3. 正定矩陣的判定1. 二次型 其中為對(duì)稱矩陣， 與合同 . （） 正慣性指數(shù) 二次型的規(guī)范形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù) 負(fù)慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)符號(hào)差 (為二次型的秩) 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：與等價(jià) 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：2. 經(jīng)過 化為標(biāo)準(zhǔn)形. 正交變換法 配方法（1）若二次型含有的平方項(xiàng)，則先把含有的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行， 直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;（2） 若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 (), 則先作可逆線性變換 , 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按(1)中方法配方. 初等變換法3. 正定二次型 不全為零，.正定矩陣 正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.4. 為正定二次型（之一成立）： （1） ，； （2）的特征值全大于； （3）的正慣性指數(shù)為； （4