幾何分布的定義以及期望與方差的證明.doc

1、幾何分布的定義以及期望與方差幾何分布（Geometric distribution）是離散型概率分布。其中一種定義為：在n次伯努利試驗(yàn)中，試驗(yàn)k次才得到第一次成功的機(jī)率。詳細(xì)的說(shuō)，是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。公式：它分兩種情況：1. 得到1次成功而進(jìn)行，n次伯努利實(shí)驗(yàn)，n的概率分布，取值范圍為1，2，3，.;2. m = n-1次失敗，第n次成功，m的概率分布，取值范圍為0，1，2，3，.由兩種不同情況而得出的期望和方差如下：, ;, 。概率為p的事件A，以X記A首次發(fā)生所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，則X的分布列：， 具有這種分布列的隨機(jī)變量X，稱為服從參數(shù)p的幾何分布，記為XGeo(p)。幾

2、何分布的期望 ，方差 。高中數(shù)學(xué)教科書新版第三冊(cè)（選修II）比原來(lái)的修訂本新增加隨機(jī)變量的幾何分布，但書中只給出了結(jié)論：（1），（2），而未加以證明。本文給出證明，并用于解題。（1）由，知下面用倍差法（也稱為錯(cuò)位相減法）求上式括號(hào)內(nèi)的值。記兩式相減，得由，知，則，故從而也可用無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式（見(jiàn)教科書91頁(yè)閱讀材料），推導(dǎo)如下：記相減，則還可用導(dǎo)數(shù)公式，推導(dǎo)如下：上式中令，則得（2）為簡(jiǎn)化運(yùn)算，利用性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)（該性質(zhì)的證明，可見(jiàn)本刊6頁(yè)）?？梢?jiàn)關(guān)鍵是求。對(duì)于上式括號(hào)中的式子，利用導(dǎo)數(shù)，關(guān)于q求導(dǎo)：，并用倍差法求和，有則，因此利用上述兩個(gè)結(jié)論，可以簡(jiǎn)化幾何分布一類的計(jì)算問(wèn)題。例1. 一個(gè)口

3、袋內(nèi)裝有5個(gè)白球和2個(gè)黑球，現(xiàn)從中每次摸取一個(gè)球，取出黑球就放回，取出白球則停止摸球。求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解：每次從袋內(nèi)取出白球的概率，取出黑球的概率。的取值為1，2，3，有無(wú)窮多個(gè)。我們用表示前k1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此?？梢?jiàn)服從幾何分布。所以例2. 某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p（0p1）。他有10發(fā)子彈，現(xiàn)對(duì)某一目標(biāo)連續(xù)射擊，每次打一發(fā)子彈，直到擊中目標(biāo)，或子彈打光為止。求他擊中目標(biāo)的期望。解：射手射擊次數(shù)的可能取值為1，2，9，10。若，則表明他前次均沒(méi)擊中目標(biāo)，而第k次擊中目標(biāo)；若k10，則表明他前9次都沒(méi)擊中目標(biāo)，而第10次可能擊中也可能沒(méi)擊中目標(biāo)。因此的分布列為用倍差法，可求得所以說(shuō)明：本例的試驗(yàn)是有限次的，并且，不符合幾何分布的概率特征