第五節(jié)-角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理

1、 第五章 角動(dòng)量角動(dòng)量守恒定理本章結(jié)構(gòu)框圖 學(xué)習(xí)指導(dǎo)本章概念和內(nèi)容是中學(xué)沒有接觸過的，是大學(xué)物理教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。許多同學(xué)容易將平動(dòng)問題與轉(zhuǎn)動(dòng)問題中的概念和規(guī)律混淆，例如兩種沖擊擺問題。建議采用類比方法，對(duì)質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、動(dòng)量與角動(dòng)量、力與力矩、沖量與角沖量、平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、運(yùn)動(dòng)學(xué)的線量和角量、動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒一一加以比較。本章的重點(diǎn)是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題，注意定軸條件下，各種規(guī)律都應(yīng)該用標(biāo)量式表示。還請(qǐng)注意動(dòng)量守恒在天體問題、粒子問題中的應(yīng)用。基本要求 1. 理解質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量概念。2. 理解定軸剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量概念，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。3. 理解力矩的物

2、理意義, 會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算。4. 掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律，熟練進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。5. 理解角沖量（沖量矩）概念，掌握質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量定理，熟練進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。 6. 掌握角動(dòng)量守恒的條件，熟練應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律求解有關(guān)問題。內(nèi)容提要1. 基本概念剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：是描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的物理量。定義為剛體上每個(gè)質(zhì)元（質(zhì)點(diǎn)、線元、面元、體積元）的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離平方之積的總和。即：I的大小與剛體總質(zhì)量、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛體的角動(dòng)量：角動(dòng)量也稱動(dòng)量矩，它量度物體的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)量，描述物體繞參考點(diǎn)（軸）旋轉(zhuǎn)傾向的強(qiáng)弱。表5.1對(duì)質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、定軸剛

3、體的角動(dòng)量進(jìn)行了比較。表5.1 質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系和定軸剛體的角動(dòng)量力矩：力的作用點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的位矢與力的矢積叫做力對(duì)該參考點(diǎn)的力矩（圖5.1）：即： 大小： （力力臂）方向：垂直于決定的平面， 其指向由右手定則確定。對(duì)于力矩的概念應(yīng)該注意明確以下問題：區(qū)分力對(duì)參考點(diǎn)的力矩和力對(duì)定軸的力矩：力對(duì)某軸的力矩是力對(duì)軸上任意一點(diǎn)的力矩在該軸上的投影。例如：某力對(duì)x、y、z軸的力矩就是該力對(duì)原點(diǎn)的力矩在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影： 由上可知：力對(duì)參考點(diǎn)的力矩是矢量，而力對(duì)定軸的力矩是代數(shù)量。明確質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力矩的矢量和恒為零：由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，作用力和反作用力等大、反向、在同一直線上，所以對(duì)任何參考點(diǎn)內(nèi)力矩的矢量和恒

4、為零。當(dāng)然，對(duì)任意軸，內(nèi)力矩的代數(shù)和也恒為零。明確質(zhì)點(diǎn)系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩：合外力矩為各外力對(duì)同一參考點(diǎn)的力矩的矢量和，即：。由于一般情況下，各外力的作用點(diǎn)的位矢各不相同，所以不能先求合力 ，再求合力的力矩。但是存在特例：在求重力矩時(shí)，可以把系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受重力平移到質(zhì)心C，先求出其合力，再由得到重力的合力矩。由此還可以得到：作用于系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，合外力矩不一定為零（圖5.2）；系統(tǒng)的合外力矩為零時(shí)，其合外力也不一定為零（圖5.3）。明確有心力對(duì)其力心的力矩恒為零：力的作用線始終通過某定點(diǎn)的力稱為有心力。該定點(diǎn)稱為力心。顯然，有心力對(duì)其力心的力臂為零。所以，有心力對(duì)其力心的力

5、矩恒為零。力矩的角沖量（沖量矩）：見表5.2表5.2 力矩的角沖量2. 基本規(guī)律 角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的微分、積分形式如表5.3所示。請(qǐng)注意剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律不過是質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理在定軸方向上的分量式而已。表5.3 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理 角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受對(duì)某參考點(diǎn)（軸）的合外力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)（軸）的總角動(dòng)量不隨時(shí)間變化（表5.4）。角動(dòng)量守恒定律反映了空間的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性（見第7章），是自然界普遍適用的基本定律之一，在生活、技術(shù)及科學(xué)研究中有非常廣泛的應(yīng)用。表5.4 角動(dòng)量守恒定律重點(diǎn)與難點(diǎn) 1. 重點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)系和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定義。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

6、定律及應(yīng)用。 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理及應(yīng)用。 角動(dòng)量守恒定律及應(yīng)用 2. 難點(diǎn) 區(qū)別動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理。 區(qū)別動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律的條件，并能綜合運(yùn)用。 動(dòng)量及動(dòng)量定理、角動(dòng)量及角動(dòng)量定理是否與參考系的選擇有關(guān)。 1. 動(dòng)量及動(dòng)量定理，角動(dòng)量與角動(dòng)量定理是否與參考系選擇有關(guān)？ 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量 ，角動(dòng)量 ，由于 v 和 r 都是相對(duì)量，與參考系的選擇有關(guān)，所以，動(dòng)量和角動(dòng)量應(yīng)與參考系的選擇有關(guān)。 動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理只適用于慣性系，對(duì)于非慣性系，該兩定理不成立。 2. 區(qū)別動(dòng)量定理與角動(dòng)量定理 動(dòng)量定理表示質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量改變與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的合力的時(shí)間累積 - 沖量相對(duì)應(yīng)；角動(dòng)量定理表

7、示質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的改變與質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩的矢量和的時(shí)間累積 - 角沖量相對(duì)應(yīng)。兩者是不同的概念。例如：有力作用下的質(zhì)點(diǎn)系（太陽(yáng)地球系統(tǒng)），地球在太陽(yáng)引力作用下，動(dòng)量不斷發(fā)生變化，但角動(dòng)量卻始終不變，因引力通過力心（太陽(yáng)），對(duì)力心的力矩始終為零。 3. 動(dòng)量和角動(dòng)量守恒的條件 質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量將保持不變。質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某一參考點(diǎn)或參考軸的合外力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該參考點(diǎn)或參考軸的角動(dòng)量保持不變。在實(shí)際問題中要認(rèn)真區(qū)別兩個(gè)守恒定律成立的條件。許多情況下，系統(tǒng)對(duì)某一參考點(diǎn)的力矩矢量和為零時(shí)，系統(tǒng)所受外力不一定為零。即系統(tǒng)角動(dòng)量守恒時(shí)，動(dòng)量不一定守恒

8、。反之，系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，合外力矩不一定為零，即系統(tǒng)動(dòng)量守恒時(shí)，角動(dòng)量不一定是守恒。（參看教材P.91【例2】）。 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系而言，內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，大小相等方向相反，作用在同一直線上，因此，內(nèi)力的矢量和及內(nèi)力對(duì)某一參考點(diǎn)或參考軸的力矩的矢量和始終為零，因此，內(nèi)力不改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量。 例1 水分子的形狀如圖5-2所示。從光譜分析得知水分子對(duì) AA軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 ，對(duì)BB軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 。試由此數(shù)據(jù)和各原子的質(zhì)量求出氫和氧原子間的距離 d 和夾角 。假設(shè)各原子都可當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處理。解： 由圖可得 此二式相加，可得 上二式相比，可得例2 一質(zhì)量 m = 2200kg 的汽車以

9、 的速度沿一平直公路開行。求汽車對(duì)公路一側(cè)距公路 d = 50m 的一點(diǎn)的角動(dòng)量是多大？對(duì)公路上任一點(diǎn)的角動(dòng)量又是多大？解： 如圖5-3所示，汽車對(duì)公路一側(cè)距公路d = 50m的一點(diǎn)P1的角動(dòng)量的大小為汽車對(duì)公路上任一點(diǎn) P2的角動(dòng)量的大小為例3 兩個(gè)質(zhì)量均為m 的質(zhì)點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為 2a、質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕桿相聯(lián)，構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)組。如圖5-4所示，兩質(zhì)點(diǎn)繞固定軸 OZ以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線通過桿的中點(diǎn)O與桿的夾角為 ，求質(zhì)點(diǎn)組對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量大小及方向。解: 設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)A、B在圖示的位置，它們對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量的大小相等、方向相同（與OA和 mv 組成的平面垂直）。角動(dòng)量的大小為例4 如圖5-5所

10、示，轉(zhuǎn)軸平行的兩飛輪和，半徑分別為R1、R2。對(duì)各自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1、J2。輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 ，輪不轉(zhuǎn)動(dòng)。移動(dòng)輪使兩輪緣互相接觸。兩軸仍保持平行，由于摩擦，兩輪的轉(zhuǎn)速會(huì)變化。問轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定后，兩輪的角速度各為多少？ 辨析: 首先分析系統(tǒng)所受的外力，再看這些外力對(duì)定軸的合外力矩是否為零，如果為零應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律，否則應(yīng)用角動(dòng)量定理。 解： 輪、輪接觸時(shí)，輪受到重力m1g，軸給輪的力T1，以及摩擦力f 1，輪施加的正壓力N1；軸受到重力m2g，軸給輪的力T2，以及摩擦力f 2、輪施加的正壓力N2，以及外加力F。f1和f2大小相等、方向相反，對(duì)輪和輪組成的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，f1和f2是一對(duì)內(nèi)力，它們的

11、力矩和不會(huì)改變系統(tǒng)的總角動(dòng)量。輪、輪系統(tǒng)受到的外力T1、T2、m1g和m2g，它們對(duì)O1軸或者O2軸的合外力矩皆不為零，這個(gè)系統(tǒng)對(duì)O1或者O2的角動(dòng)量都不守恒。所以應(yīng)對(duì)輪、輪分別運(yùn)用角動(dòng)量定理。對(duì)輪，設(shè)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正向（1） 對(duì)輪，設(shè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正負(fù)（2） 聯(lián)立（1）、（2）兩式可得（3） 轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)，兩輪緣的線速度相等，即（4） 聯(lián)立（3）、（4）解得例5 唱機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞過盤心的固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，唱片放上后將受轉(zhuǎn)盤的摩擦力作用隨轉(zhuǎn)盤移動(dòng)。設(shè)唱片可以看成是半徑為R的圓盤，唱片質(zhì)量為m，唱片與轉(zhuǎn)盤之間摩擦系數(shù)為，求唱片剛放上去時(shí)受到的摩擦力矩 Mf 和唱片由放上去到具有角速度 所需的時(shí)間t1。 解：

12、 唱片之所以轉(zhuǎn)動(dòng)是因受到轉(zhuǎn)盤施加的力矩的作用，也就是摩擦力矩，它是唱片的動(dòng)力矩。 在唱片上選為半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，如圖5-6所示。它受的動(dòng)力矩為 上式中， 是唱片的密度。 整塊唱片受的摩擦力矩為 視唱片為剛體，據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 分離變量有 積分上式 例6 如圖5-7所示，兩物體質(zhì)量分別為m1和m2，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？ 設(shè)繩子和滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，滑動(dòng)軸受的摩擦力忽略不計(jì)。 解： 對(duì)m1，由牛頓第二定律對(duì)m2，由牛頓第二定律 對(duì)滑輪，用轉(zhuǎn)動(dòng)定律 又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，設(shè)繩在滑輪上不打滑 聯(lián)立解以

13、上諸方程，可得 例7 如圖5-8所示。兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和R2，質(zhì)量分別為M1和M2。二者都可視為均勻圓柱體而且同軸固結(jié)在一起，可以繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩輪上各繞以細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量是m1和m2的兩個(gè)物體。求在重力作用下，m2下落時(shí)輪的角加速度。解： 如圖示，由牛頓第二定律 對(duì)m1： 對(duì)m2： 對(duì)整個(gè)輪，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律 又由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系聯(lián)立解以上諸式，即可得 例8 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對(duì)稱軸OO轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)大小圓柱體的半徑分別為 R 和 r，質(zhì)量分別為 M 和 m，繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體 m1 和物體 m2 相連，m1 和 m2 分別掛在圓柱體的兩側(cè)，如

14、圖5-9（a）所示。設(shè) R = 0.20m，r = 0.10m，m = 4kg，M = 10kg，m1= m2= 2kg，且開始時(shí)m1、m2離地均為h = 2m，求： 圖5-9(a)（1）柱體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角加速度；（2）兩側(cè)細(xì)繩的張力；（3）m1經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間著地？ （4）設(shè)m1與地面作完全非彈性碰撞，m1著地后柱體的轉(zhuǎn)速如何變化？ 解： 設(shè)a1、a2分別為m1、m2的加速度， 為柱體角加速度，方向如圖5-9(b)所示。 （1）m1、m2的平動(dòng)方程和柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)方程如下：式中： ; ; ; ； 聯(lián)立（1）、（2）、（3）式，解得角加速度為 代入數(shù)據(jù)后得 （2） 由(1)式得 由(2)式得 （3）設(shè)m1著

15、地時(shí)間為t，則 （4）m1 著地后靜止，這一側(cè)繩子松開。柱體繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，因只受另一側(cè)繩子拉力的阻力矩，柱體轉(zhuǎn)速將減小，m2減速上升。 討論: 如果只求柱體轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度，可將柱體、m1、m2選做一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)受的合外力矩 ，則加速度 本題第二問還要求兩側(cè)細(xì)繩的張力，故采用本解法是必要的，即分別討論柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)、m1和 m2 的平動(dòng)。 例9 一輕繩繞過一質(zhì)量可以不計(jì)且軸光滑的滑輪，質(zhì)量皆為m 的甲、乙二人分別抓住繩的兩端從同一高度靜止開始加速上爬，如圖5-10所示。 （1）二人是否同時(shí)達(dá)到頂點(diǎn)？以甲、乙二人為系統(tǒng)，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)的動(dòng)量是否守恒？機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)對(duì)滑輪軸的角動(dòng)量是否守恒？ （2）當(dāng)甲

16、相對(duì)繩的運(yùn)動(dòng)速度u是乙相對(duì)繩的速度2倍時(shí)，甲、乙二人的速度各是多少？ 解： （1）甲、乙二人受力情況相同，皆受繩的張力T，重力mg，二人的運(yùn)動(dòng)相同，因?yàn)?所以二人的加速度相同，二人的速度為因初速度v0 = 0，二人在任一時(shí)刻的速度相同，上升的高度相同，所以同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。 以二人為系統(tǒng)，因二人是加速上升，所受合外力2(T-mg) 0，故系統(tǒng)的動(dòng)量不守恒。以人和地球?yàn)橄到y(tǒng)，張力T對(duì)系統(tǒng)做功，因而系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。顯然人在上升中機(jī)械能在樣加。但甲、乙二人相對(duì)滑輪軸的合外力矩（M = TR -TR + mgR-mgR）等于零，系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量守恒。 （2）設(shè)甲的速度 、乙的速度為 ，從解（1）知二人

17、的速度相等，即 ，這個(gè)結(jié)果也可用角動(dòng)量守恒得到，因 故 設(shè)繩子的牽連速度為v0，設(shè)滑輪左側(cè)繩子的v0向下，那么滑輪右側(cè)的v0一定向上，根據(jù)速度合成定理 所以 則 討論:由于人用力上爬時(shí)，人對(duì)繩子的拉力可能改變，因此繩對(duì)人的拉力也可能改變，但甲、乙二人受力情況總是相同，因此同一時(shí)刻甲、乙二人的加速度和速度皆相同，二人總是同時(shí)到達(dá)頂點(diǎn)。例10 哈雷慧星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是一個(gè)橢圓。它離太陽(yáng)最近的距離是 ，此時(shí)它的速率是 。它離太陽(yáng)最遠(yuǎn)時(shí)的速率是 ，這時(shí)它離太陽(yáng)的距離 r2 是多少？解：慧星運(yùn)行受的引力指向太陽(yáng)，所以它對(duì)太陽(yáng)的角動(dòng)量守恒，它在走過離太陽(yáng)最近或最遠(yuǎn)的地點(diǎn)時(shí)，速度的方向均與對(duì)太陽(yáng)的徑矢方向

18、垂直，所以角動(dòng)量守恒給出由此得例11 太陽(yáng)的熱核燃料耗盡時(shí)，它將急速塌縮成半徑等于地球半徑的一顆白矮星。如果不計(jì)算質(zhì)量散失，那時(shí)太陽(yáng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期將變?yōu)槎嗌?？太?yáng)和白矮星均按均勻球體計(jì)算，目前太陽(yáng)的自轉(zhuǎn)周期按26d計(jì)。解：由太陽(yáng)的自轉(zhuǎn)角動(dòng)量守恒可得= 3.1(min)例12 一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度 旋轉(zhuǎn)著的飛輪，某瞬時(shí)有一質(zhì)量為 m 的碎片從飛輪飛出。假設(shè)碎片脫離圓盤時(shí)的瞬時(shí)速度方向正好豎直向上，如圖5-11所示。求余下圓盤的角速度、角動(dòng)量。 解：破裂瞬間，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得余下圓盤角速度不變。 余下圓盤的角動(dòng)量例13 赤道上有一高樓，樓高h(yuǎn)（圖5-12）。由于地

19、球自轉(zhuǎn)，樓頂和樓根對(duì)地心參考系都有線速度。 （1）證明：樓頂和樓根的線速度之差為 ，其中 為地球自轉(zhuǎn)角速度。 （2）證明：一物體由樓頂自由下落時(shí)，由于地球自轉(zhuǎn)的影響，著地點(diǎn)將在樓根東側(cè)約 處。這就是落體偏東現(xiàn)象。計(jì)算 h = 30m 時(shí)，著地點(diǎn)偏東的距離。（此結(jié)果利用了物體下落時(shí)“水平”速度不變這一近似處理。實(shí)際上物體下落時(shí)應(yīng)該是地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。利用這一點(diǎn)，并取樓高對(duì)地球半徑之比的一級(jí)近似，則可得更有為準(zhǔn)確的結(jié)果 。） 證：（1）樓頂?shù)木€速度為 樓根的線速度為 。二者之差 。 （2）將樓所在處的地面局部視為向東以速度 平移，則落體下落時(shí)間為 而著地時(shí)偏東的距離為 以 代入上式可得

20、 例14 地球的自轉(zhuǎn)軸與它繞太陽(yáng)的軌道平面的垂線間的夾角是23.5o（圖5-13）。由于太陽(yáng)和月亮對(duì)地球的引力產(chǎn)生力矩，地球的自轉(zhuǎn)軸繞軌道平面的垂線旋進(jìn)，旋進(jìn)一周需時(shí)間約26000a。已知地球繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。求地球自旋角動(dòng)量矢量變化率的大小，即 ，并求太陽(yáng)和月亮對(duì)地球的合力矩多大？ 解：太陽(yáng)和月亮對(duì)地球的合力矩的大小為 例15 一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓環(huán)型細(xì)管，正繞豎直光滑固定軸 OO自由轉(zhuǎn)動(dòng)。管是剛性的，環(huán)半徑為R 。一質(zhì)量為 m 的小球靜止于管內(nèi)最高點(diǎn)A處，如圖5-14所示。由于微小擾動(dòng)，小球向下滑動(dòng)，試判決小球在管內(nèi)下滑過程中，下列三種說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由。 （a）地球、環(huán)管與小球系

21、統(tǒng)的機(jī)械能不守恒。（b）小球的動(dòng)量不守恒。 （c）小球?qū)O軸的角動(dòng)量守恒。 辨析 （a）不正確。對(duì)小球、環(huán)管、地球系統(tǒng)，外力為零，外力的功當(dāng)然為零，環(huán)管與小球間的正壓力 N 和 N是一對(duì)非保守內(nèi)力。在小球下滑過程中，小球受管壁的壓力N（與管壁垂直）始終與小球相對(duì)管壁的速度方向（與管壁相切）垂直，所以這一對(duì)內(nèi)力做功之和為零，而且與參考系的選擇無(wú)關(guān)。系統(tǒng)中只有保守內(nèi)力（重力）做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 （b）正確。小球在下滑過程中始終受到管壁的壓力和重力，而此二力的方向不同，所以合力不為零，使得小球的動(dòng)量不斷變化。 （c）不正確。小球在下滑過程中受重力和管壁的壓力，重力和OO軸平行，重力的軸向力矩

22、恒為零，但管壁對(duì)小球的壓力方向不通過OO軸，對(duì)OO軸有力矩，所以小球?qū)O的角動(dòng)量在變化，角動(dòng)量不守恒。例如小球在位置 A 對(duì)OO軸的角動(dòng)量為零，在 B 處小球有垂直于環(huán)半徑的水平分速度，它對(duì)OO軸的角動(dòng)量不再是零，到達(dá)最低點(diǎn)C 時(shí)，對(duì)OO軸的角動(dòng)量又等于零。 運(yùn)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題轉(zhuǎn)動(dòng)定律描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的瞬時(shí)關(guān)系，常常用來(lái)求解角加速度，一般步驟為：1) 隔離物體：即明確研究對(duì)象。2) 具體分析：分析所選定的定軸剛體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，畫出受力圖。3) 選定坐標(biāo)：在慣性系中建立一維坐標(biāo)，即在轉(zhuǎn)軸上選擇正方向。4) 建立方程：用轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出定軸剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程。5) 要特別注意方程中的力矩、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量必須對(duì)同一軸而言。還要注意此方程是標(biāo)量式，式中各量均為代數(shù)量，與所選正方向同向的力矩和角速度為正，反之為負(fù)。6) 求解討論：求解方程，理解和討論結(jié)果的物理意義。請(qǐng)注意常常與轉(zhuǎn)動(dòng)定律相聯(lián)系的綜合性問題： 與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題相聯(lián)系。 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)相聯(lián)系（例如滑輪兩邊懸掛物體）。處理方法仍然是隔離法，對(duì)定軸剛體用轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程，對(duì)平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)用牛頓第二定律列方程，二者之間用角量與線量的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，求解方程組。運(yùn)用角動(dòng)量定理或角動(dòng)量守恒定律解題因?yàn)閷?duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，其總動(dòng)量往往并無(wú)實(shí)際意義（例如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)滑輪的總動(dòng)量為零），所以只能用角動(dòng)量對(duì)其整體機(jī)械運(yùn)動(dòng)量