《能量原理與變分法》PPT課件.ppt

1、2020/11/2,1,西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院 宋亞勤 2013年9-10月,固體力學(xué)非線性數(shù)值方法,2020/11/2,2,第一章彈性力學(xué)簡介 第二節(jié)：能量原理與變分法,1、彈性體形變勢能 2、泛函與變分, 最小勢能原理、里茲（Ritz）法、伽遼金（Galerkin）法,3、位移變分方程,4、應(yīng)力變分方程, 最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理,5、自然變分原理和廣義變分原理,6、彈性力學(xué)修正變分原理,2020/11/2,3,1. 彈性力學(xué)問題的微分提法及其解法：,（1）平衡微分方程,（2）幾何方程,（3）物理方程,（4）邊界條件,應(yīng)力邊界條件；,位移邊界條件；,定解問題,求解

2、方法：,（1）按位移求解,基本方程：,（a）以位移為基本未知量的平衡微分方程;,（2）按應(yīng)力求解,基本方程：,（a）平衡微分方程；,（b）邊界條件。,（b） 相容方程；,（c） 邊界條件。,（a） 歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分方程組；,求解特點(diǎn)：,（b） 難以求得解析解。,從研究微小單元體入手，考察其平衡、變形、材料性質(zhì)，建立基本方程：,（3）混合解法,2020/11/2,4,2. 彈性力學(xué)問題的變分提法及其解法：,基本思想：,在所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；,將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。,彈性力學(xué)中的變分原理, 能量原理,直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立一些泛函的變分方程

3、，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題。,（變分解法也稱能量法）,（a）以位移為基本未知量，,得到最小勢（位）能原理等。,（b）以應(yīng)力為基本未知量，,得到最小余能原理等。,（c）同時(shí)以位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗浚?廣義（約束）變分原理。, 位移法, 力法, 混合法,有限單元法、邊界元法、離散元法 等數(shù)值解法。,求解方法：,里茲（Ritz）法、,伽遼金（Galerkin ）法、,最小二乘法、力矩法等。,2020/11/2,5,3. 彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法：,（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）, 有限差分法；,基本思想：,將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算近似地用差分運(yùn)算代替；,

4、將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。,典型軟件：FLAC,實(shí)質(zhì)：,將變量離散。,（b）對變分方程進(jìn)行數(shù)值求解, 有限單元法、邊界元法、離散元法 等,典型有限元軟件：,ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；,基本思想：,將求解區(qū)域離散，,離散成有限個(gè)小區(qū)域（單元），,在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解，,最后由能量原理,（變分原理）確定其最優(yōu)解。, 將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯笮偷木€性方程組。,2020/11/2,6,1 彈性體的變形能（應(yīng)變能）,1. 變形能的一般表達(dá)式,單向拉伸：,外力所做的功：,由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的變形能（

5、或應(yīng)變能）U：,令：, 單位體積的變形能（應(yīng)變能），,稱為應(yīng)變能密度。,2020/11/2,7,整個(gè)彈性體的應(yīng)變能：,若用張量表示：,應(yīng)變能密度：,整體應(yīng)變能：,由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的次序無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。,假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按比例增加（線彈性），此時(shí)，單元體的應(yīng)變能密度：,2020/11/2,8,2. 應(yīng)變能的應(yīng)力分量表示,在線彈性的情況下，由物理方程：,代入應(yīng)變能密度公式，整理得應(yīng)變能密度的表達(dá)式：,代入應(yīng)變能公式，有：,2020/11/2,9,表明：,彈性體的應(yīng)變能密度對于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量。,3. 應(yīng)變能的應(yīng)變分量表示,用

6、應(yīng)變表示的物理方程：,將應(yīng)變能密度分別對6 個(gè)應(yīng)力分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：,2020/11/2,10,代入應(yīng)變能密度公式，,并整理可得：,將上式對6個(gè)應(yīng)變分量分別求導(dǎo)，再與應(yīng)力表示的物理方程比較，可得：,2020/11/2,11,將幾何方程代入應(yīng)變能的表達(dá)式，得：,彈性體的應(yīng)變能密度對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。,4. 應(yīng)變能的位移分量表示,表明：,2020/11/2,12,2 泛函與變分,（1）函數(shù)與泛函的概念：,函數(shù)：,x 自變量；,y 因變量；,泛函：,x 自變量；,y 為一變函數(shù)，泛函的宗量；,F 為函數(shù) y 的泛函；,例：,U 被稱為形變勢能泛函。,

7、2020/11/2,13,（2）微分 變分,設(shè)函數(shù)：,當(dāng)自變量 x 有一增量：,函數(shù) y 也有一增量：,dx 與 dy分別稱為自變量 x 與函數(shù) y 的 微分。,設(shè)泛函：,函數(shù) y 有一增量：,泛函 U 也有一增量：,泛函的增量 U 等稱為變分。, 微分問題,研究自變函數(shù)的增量與泛函的增量 間關(guān)系稱為變分問題。,是函數(shù)取極值的必要條件。,是泛函取極值的必要條件。,2020/11/2,14,例如：,（1）壓桿穩(wěn)定問題,尋求壓桿形變勢能 U 達(dá)到最大值時(shí)的壓力 P 值。,（2）最速降線問題,球從位置1下落至位置2，所需時(shí)間為T，, 泛函的變分問題,2020/11/2,15,（3）變分及其性質(zhì),定義

8、：,泛函,增量：,函數(shù),連續(xù)性：,稱函數(shù) y 在 x0 點(diǎn)連續(xù)。,當(dāng),有,稱泛函 U 在 y0 (x) 處零階接近。,當(dāng),有,稱泛函 U 在 y0 (x) 處一階接近。,當(dāng),有,稱泛函 U 在 y0 (x) 處二階接近。,2020/11/2,16,（4）變分的運(yùn)算,變分與微分運(yùn)算：,變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換。,變分與積分運(yùn)算：,變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。,2020/11/2,17,泛函的變分：,一階變分：,二階變分：,2020/11/2,18,一階變分：,二階變分：, 二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值還是極小值。,2020/11/2,19,建立：彈性體的形變勢能與位移間變分的關(guān)系, 位移

9、變分方程,設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。,邊界：,位移場：,應(yīng)力場：,滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件。, 稱為真實(shí)解,3 位移變分方程,應(yīng)變場：,2020/11/2,20,任給彈性體一微小的位移變化：,滿足條件：位移邊界條件。,考察彈性體的能量變化:（若可能位移為真實(shí)位移）,由能量守恒原理：,彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少。,（在沒有溫度改變、動(dòng)能改變的情況下）,設(shè)：, 表示彈性變形勢能的增量；, 表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢能的減少。,則有：,可能的位移狀態(tài)：, 稱為位移的變分，或虛位移， 對于的應(yīng)變叫虛應(yīng)變，滿足幾何方程。,2020/11/

10、2,21,體力：,面力：, 外力,代入前式：,表明：,物體應(yīng)變能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功。,稱為位移變分方程，也稱 Lagrange 變分方程。,外力的虛功：, 外力的虛功,表示：,實(shí)際外力在虛位移上所做的虛功,2020/11/2,22,內(nèi)力的虛功：,由于:,兩邊求變分:,將 U1 視為應(yīng)變分量的函數(shù),而:,2020/11/2,23,將上式代入位移變分方程，有,虛位移方程或虛功方程,表明：,如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移發(fā)生過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。,虛功方程 是有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理的基礎(chǔ)。,表示：,實(shí)際應(yīng)

11、力在虛應(yīng)變上所做的虛功, 內(nèi)力的虛功,2020/11/2,24,最小勢能原理, 也是位移變分方程的一個(gè)應(yīng)用,位移變分方程：,由于虛位移為微小的、滿足位移邊界條件的（通常稱為基本邊界條件），所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。,于是，有：,若初始狀態(tài)為零勢能狀態(tài)，并用 V 表示外力勢能，則根據(jù)能量守恒，外力勢能等于外力在實(shí)際位移上所做的功的相反值，則,代入前式，有：,外力在實(shí)際位移上做的功,2020/11/2,25,其中：, 應(yīng)變能能與外力勢能的總和，,稱為系統(tǒng)的總勢能,表明：,在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的變分為零。,平衡狀態(tài)

12、：,（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；,（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；,（3）隨遇平衡狀態(tài)；,穩(wěn)定平衡,不穩(wěn)定平衡,隨遇平衡, 勢能取極小值, 勢能取極大值, 不定,最小勢能原理：,在給定的外力作用下，滿足幾何方程和位移邊界條件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能取最小值。,2020/11/2,26,實(shí)際存在的位移應(yīng)滿足：,（1）位移邊界條件；,（2）平衡方程（位移形式）；,（3）應(yīng)力邊界條件。,（1）位移邊界條件；（基 本邊界條件）,（2）最小勢能原理。,因而，有：,（1）平衡方程（位移形式）；,（2）應(yīng)力邊界條件。（自然邊界 條 件）,（可互相導(dǎo)出）,最小勢能原理,伽遼金變分方程,由虛位移方程的建立知

13、道虛位移滿足位移邊界條件，若還滿足應(yīng)力邊界條件時(shí)，彈性體的位移變分應(yīng)滿足的方程。,將虛應(yīng)變用虛位移表示：,將其代入虛位移方程：,2020/11/2,27,2020/11/2,28,同理，可得到其余各項(xiàng)的結(jié)果：,將其代入虛位移方程，有：,2020/11/2,29, 伽遼金（Galerkin）變分方程,表明：,當(dāng)所取位移分量同時(shí)滿足位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)，,其位移變分需滿足的方程。,2020/11/2,30,1. 里茲（Ritz）法,基本思想：,設(shè)定位移函數(shù)的表達(dá)形式，使其滿足位移邊界條件，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即得位移解。,設(shè)取位移的表達(dá)式如下：,其中：,

14、為互不相關(guān)的 3m 個(gè)系數(shù)；,為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：,為位移邊界上為零的設(shè)定函數(shù),顯然，上述函數(shù)滿足位移邊界條件。,此時(shí)，位移的變分,只能由系數(shù) Am、,Bm、 Cm的變分來實(shí)現(xiàn)。,與變分無關(guān)。,位移變分法：,2020/11/2,31,（a）,位移的變分：,形變勢能的變分：,（b）,將式（a）、（b）代入位移變分方程，有：,2020/11/2,32,將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：,完全任意，且互相獨(dú)立，,要使上式成立，則須有：,2020/11/2,33, Ritz 法方程,或稱 Rayleigh- Ritz 法方程,說明：,（1）,由 U 的位移表達(dá)式可知，,U 是系數(shù),的二次函數(shù)，,因

15、而，上式為各系數(shù)的線性方程 組。,互不相關(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。,（2）,求出了系數(shù),就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等,（3）,在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件。,2020/11/2,34,2. 伽遼金（Galerkin）法,設(shè)取位移的表達(dá)式如下：,同時(shí)滿足：,（1）位移邊界條件；,（2）應(yīng)力邊界條件；,位移的變分：,將其代入伽遼金變分方程：,得到：,2020/11/2,35,完全任意，且互相獨(dú)立，,要使上式成立，則須有：,2020/11/2,36,將物理方程和幾何方程代入，有, 伽遼金（Galerkin）法方程,說明：,（1）,與 Ritz 法類似，得 3m 階的線性方程

16、組，可求出3m個(gè)系數(shù)。,（2）,伽遼金（Galerkin）法與 Ritz 法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時(shí)，前者要求同時(shí)滿足應(yīng)力、位移邊界條件，而后者只要求滿足位移邊界條件。,2020/11/2,37,（1）位移變分方程,（2）虛位移方程,位移變分方程小結(jié)：,也稱 Lagrange 變分方程：,（3）最小勢能原理,說明：,（1）只要求：虛位移滿足位移邊界條件；,（2）對虛位移方程，也適用各種材料的物理方程。,如：塑性材料、非線性彈性材料等。,2020/11/2,38,（4）伽遼金（Galerkin）變分方程,要求：可能（虛）位移滿足：,（1）位移邊界條件；,（2）應(yīng)力邊界條件。,2020/11/2,

17、39,4 應(yīng)力變分方程,余能密度,（1）單向應(yīng)力狀態(tài),設(shè)：, 一般的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,形變勢能：,0,0, 單位體積的形變勢能,余能密度：, 單位體積的形變余能,對線彈性體，顯然有：,應(yīng)變能密度等于余能密度,表明：余能密度在數(shù)值上等于圖中矩形面積減去 U1 后余下的面積。,一般情形：, 單位體積的形變勢能, 單位體積的形變余能,2020/11/2,40,（2）三向應(yīng)力狀態(tài),對線彈性體，有：,彈性體余能：,對線彈性體：,物體余能常用應(yīng)力表示：,2020/11/2,41,（3）余能的變分,對照余能密度的表達(dá)式，有：,2020/11/2,42,若將上式中應(yīng)變分量利用幾何方程表示成位移形式，有：,代入余能

18、的變分表達(dá)式，有：,2020/11/2,43,應(yīng)力變分方程,設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡狀態(tài)。其應(yīng)力和位移分別為：, 實(shí)際的應(yīng)力和位移,建立：物體余能的變分與應(yīng)力變分之間的關(guān)系。,（1）應(yīng)力的變分,假設(shè)：作用于物體的體力不變，而應(yīng)力分量發(fā)生如下變分：, 常稱為虛應(yīng)力,變化后應(yīng)力狀態(tài)：,（2）應(yīng)力變分方程（假定可能應(yīng)力是問題的解）,都滿足平衡方程,并作用于同樣的體力，,將其分別代入平衡微分方程，并進(jìn)行比較，應(yīng)有：,此應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡方程以及應(yīng)力邊界條件（基本邊界條件）.,2020/11/2,44,（a）,張量表示,在位移給定的邊界上，,由于應(yīng)力的變分（增量）將引起一個(gè)允許表面力：,由邊

19、界上應(yīng)力與邊界面法向余弦關(guān)系，在位移給定邊界上，應(yīng)有：,（b）,張量表示,在應(yīng)力邊界上，滿足無外力的邊界條件：,（c）,張量表示,2020/11/2,45,由余能的變分：,利用奧-高公式，將上式每一項(xiàng)作變換，如：,將其代入余能的變分，并整理有：,2020/11/2,46,得到：,上式表明：,由于應(yīng)力的變分，余能的變分等于允許表面力的變分在實(shí)際位移上所做的功（虛功）。, 應(yīng)力變分方程，,也稱Castigliano變分方程。,2020/11/2,47,說明：,（1）,要求應(yīng)力的變分滿足：,平衡微分方程；,應(yīng)力邊界條件；,（2）,由應(yīng)力變分方程：,可得；右邊的積分僅當(dāng)在給定非零位移的邊界上才不為零；

20、而在應(yīng)力邊界和固定位移邊界均為零。,（3）,實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)滿足：,（1）平衡方程；,（2）相容方程；,（3）應(yīng)力邊界條件；,（4）位移邊界條件。,（1）平衡方程；,（2）應(yīng)力邊界條件；,（3）應(yīng)力變分方程,可見：,應(yīng)力變分方程,（1）相容方程；,（2）位移邊界條件。,特別當(dāng)位移邊界為固定邊界時(shí)，,應(yīng)力變分方程等價(jià)于相容方程，且有：,2020/11/2,48,最小余能原理,將應(yīng)力變分方程：,改寫為：,（c）,在要積分的邊界上，位移是給定的，其變分恒為零，上式可寫為,（d）,式中：,U * 為形變余能；, 外力余能；, 總余能；,于是式（d）可寫成：,（d）,2020/11/2,49,上式表明：,在滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的各組應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)使彈性體的總余能成為極值。如果考慮二階變分，可以證明該極值為極小值。, 最小余能原理,最小余能原理：是應(yīng)力變分方程的一個(gè)應(yīng)用，等價(jià)于彈性體的相容方程與位移邊界條件。,說明：,應(yīng)力變分方程或最小余能原理，僅限于單連體問題。,對于多連體問題，還需考慮位移單值條件，而在應(yīng)力變分方程中考慮位移單值是非常復(fù)雜的問題。,2020/11/2,50,1. 應(yīng)力分量的設(shè)定, 以應(yīng)力為未知量的近似解法,滿足平衡微分方程；,應(yīng)力分量設(shè)定的要求：,滿足應(yīng)力邊界條件。,帕普考維奇應(yīng)力分量設(shè)定：,其中：,（1）A