高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,第一節(jié) 微分中值定理,第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì),第三節(jié) 洛必達(dá)法則,第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì),一.函數(shù)的單調(diào)性,二.函數(shù)的極值,本節(jié)主要內(nèi)容:,三.函數(shù)的最值,四.曲線的凹凸性,五.曲線的漸近線,六.函數(shù)的分析作圖法,一、函數(shù)的單調(diào)性,定理3.2.1（函數(shù)單調(diào)性的判定法）設(shè)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則 （1)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加； （2)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)減少,（1）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,（2）證明不等式，通常是兩項(xiàng)不等式,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)來判斷函數(shù)的性質(zhì)，它包含兩個(gè)

2、典型的問題：,單調(diào)性的應(yīng)用,例1 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性.,y= x3的定義域?yàn)?-,+)；,y =3x2，當(dāng)x (- ,0)和 (0 ,+)時(shí)， y0,由函數(shù)圖像可知函數(shù)在(-,+)上是單調(diào)遞增的,當(dāng)x=0時(shí)， y=0,當(dāng)f(x)在某區(qū)間內(nèi)僅在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，而在其余各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均為正（或負(fù)）時(shí)，f(x)在該區(qū)間仍是單增（或單減）的。,解,例2 討論函數(shù)f(x)=ex-x-1的單調(diào)性.,函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加,當(dāng)x0時(shí)， y0,函數(shù)在(-, 0)上單調(diào)減少,當(dāng)x=0時(shí)， y=0；,y =ex-1，,x=0為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),

3、解,當(dāng)f(x)在定義區(qū)間除去有限個(gè)點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)均存在,那么只要用導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(駐點(diǎn))和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分f(x)的定義域，就能保證在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)。（單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）,當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加,當(dāng)x0時(shí)， y0,函數(shù)在(-, 0)上單調(diào)減少,當(dāng)x=0時(shí)， y不存在.,函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,x=0為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),解,例3 討論函數(shù) 的單調(diào)性.,（1）確定f(x)的定義域； （2）求出函數(shù) 在考察范圍內(nèi)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）； （3）用這些駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)將考察范圍劃分成若干個(gè)子區(qū)間； （4）確定f (

4、x)在各部分區(qū)間的符號(hào)，據(jù)判定定理判定出f (x)的單調(diào)性,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：,例4 求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+1的單調(diào)區(qū)間.,（2） f (x)= 3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ，無不可導(dǎo)點(diǎn),令f (x)=0 ，得 x1=-1,x2=3 ,（3）它們將定義域劃分為三個(gè)子區(qū)間： (-,-1) , (-1,3),(3, +)；,（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,(-,-1),-1,(-1,3),3,(3,+ ),+,0,-,0,+,駐點(diǎn),駐點(diǎn),所以(-,-1和3, +)是單調(diào)增區(qū)間， -1,3是單調(diào)減區(qū)間,解,令f (x)=0 ，得,x2=4/5 ,（3）將定義域分為三

5、個(gè)區(qū)間 (-,0),(0,4/5),(4/5, +)；,（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,(-,0),0,(0,4/5),4/5,(4/5,+ ),+,不存在,-,0,+,不可導(dǎo)點(diǎn),駐點(diǎn),所以(-,0和4/5, +)是單調(diào)增區(qū)間, 0,4/5是單調(diào)減區(qū)間,例5 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.,（2） ,不可導(dǎo)點(diǎn)為x1=0.,解,例6 證明：當(dāng)x0時(shí)，ex1+x ,f (x)= ex-1,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0,令f(x)=ex-1-x ，則f(x)在0,+ )上連續(xù)、可導(dǎo),且,當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加,所以當(dāng)x0時(shí)， ex1+x,利用單調(diào)性證明

6、不等式,證明,又因?yàn)椋?f(0)=0，,所以：當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加,所以x 0,+ ),有f(x)f(0)，即不等式成立.,例7 證明：,令,則,證明,o,x,y,y= (x),M,m,a,b,設(shè)函數(shù) y = (x)在(a b)內(nèi)圖形如下圖:,在1處的函數(shù)值f(1) 比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要小;,而在2處的函數(shù)值f(2)比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要大;,但它們又不是整個(gè)定義區(qū)間上的最小、最大值,為此,我們引入極值與極值點(diǎn)的概念.,二、函數(shù)的極值,定義3.2.1 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某領(lǐng)域N(x0,)內(nèi)有定義， ，都有 （1）f(x)f(x0)成立，則稱f(x0)為函數(shù)f

7、(x)的極小值 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),注： 1、極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是自變量的值； 2、函數(shù)的極值概念具有局部性；在小范圍內(nèi)比較，該點(diǎn)的函數(shù)值較大或較小，而不是在整個(gè)定義域上最大或最小，所以函數(shù)的極大值不一定比極小值大； 3、函數(shù)極值點(diǎn)必出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，而不在區(qū)間的端點(diǎn)。,f(x)的極小值點(diǎn):,f(x)的極大值點(diǎn):,定理3.2.2（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn) x0處取得極值，那么函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為零，即 f (x0) =0,極值的必要條件,1、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn).,從而有幾何意義: 可導(dǎo)函數(shù)的圖

8、形在極值點(diǎn)處的切線是 與 x 軸平行的 (羅爾定理) .,2、對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來說, 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).,即曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定有極值. 如,o,x,y,則x =0 為 f (x) = x3 的駐點(diǎn).,如圖：x =0 不是f (x) = x3 的極值點(diǎn).,說明：,3、對(duì)于函數(shù)y = |x| , 我們已知 x = 0 是函數(shù)的連續(xù)不 可導(dǎo)點(diǎn). 但x = 0是函數(shù)的極小值點(diǎn). 如圖.,o,x,y=|x|,實(shí)際上, 連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn). 因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)處取得極值.,定理3.2.3（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ f (x0)可以不存在

9、），x為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)， （1）當(dāng)x0 ，當(dāng)xx0時(shí)f (x)x0時(shí)f (x)0 ，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值； （3）當(dāng)xx0時(shí)f (x)的符號(hào)相同，則f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值,極值的充分條件,(是極值點(diǎn)情形),(不是極值點(diǎn)情形),定理3.2.4（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo)，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則 （1）當(dāng)f (x0) 0時(shí)，函 f(x)在點(diǎn)x0 處取得極小值,注： 1、第一充分條件適用于駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，而第二充分條件只能對(duì)駐點(diǎn)判定； 2、當(dāng)f (x0) =0時(shí)，無法判定 f(x)在點(diǎn)x0處是否有極值,（1）確定函數(shù)f(x)

10、的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；,（2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f (x)；求出函數(shù) f(x)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的點(diǎn)；,（3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并求出相應(yīng)的極值,求極值的方法：,例8 求函數(shù) 的極值,（3）列表,（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,(-,-2),0,(-2,-4/5),-4/5,(1,+ ),+,極大值 0,-,0,+,所以f(x)在x=0處取得極大值為0，在x=-4/5 處取得極小值為-8.4,（2） ,無不可導(dǎo)點(diǎn),令f (x)=0 ，得,0,

11、極小值 -8.4,(-4/5，1),+,1,0,無極值,解,例9 求函數(shù) 的極值,令f (x)=0 ，得,（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,所以f(x)在x=-1處取得極大值為17，在x=3 處取得極小值為-47,（2） ,無不可導(dǎo)點(diǎn),（3）,因?yàn)?解,定義3.2.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，則稱f(x1)為函數(shù) f(x)的最大值， x1為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)； （2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的最小值，x2為函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn) 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值，使函數(shù)取得

12、最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn),三、函數(shù)的最值,1. 最值是一個(gè)整體概念，在某一范圍內(nèi)，最值若存在，只能是唯一的；,2. 最值點(diǎn)可以是 I 內(nèi)部的點(diǎn)，也可以是端點(diǎn)；,3. 如果最值點(diǎn)不是I 的端點(diǎn)，那么它必定是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn),4. 當(dāng)函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極大（小）值就是函數(shù)的最大（?。┲?,說明：,（2）求出函數(shù) f (x)在內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的點(diǎn)；,（3）計(jì)算函數(shù)f (x)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處及端點(diǎn)a，b處的函數(shù)值；,（4）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最大值，最小者的即為函數(shù)的最小值,（1）確定函數(shù)f(x)的

13、考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；,求最值的方法（一）：,例10 求函數(shù) 在區(qū)間0,4 上的最值.,（3）計(jì)算得f(-1)=32,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57,（1）考察區(qū)間為0,4 ；,所以f(x)在區(qū)間 0,4上的最大值是f(4)=57 ,最小值是 f(2)=5 ,（2） ,無不可導(dǎo)點(diǎn),令f (x)=0 ，得,解,（1）當(dāng)f (x0) 是極大值時(shí)， f (x0) 就是區(qū)間I上的最大值；,（2）當(dāng)f (x0) 是極小值時(shí)， f (x0) 就是區(qū)間I上的最小值.,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點(diǎn)x0，又x0是f(x)的極值點(diǎn)，則,（,）,（,）

14、,求最值的方法（二）：,xR,有,令 f (x)=0有唯一駐點(diǎn),假設(shè),例11 證明：xR,有,又,所以函數(shù)f(x)在x=1/2 處取得極小值，即最小值,因而xR,有f(x)0即,證明,在實(shí)際問題中,往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到.這時(shí),如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有唯一駐點(diǎn)x0,那么,可以斷定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必討論f(x0)是否為極值).,求最值的方法（三）：,例12 要做一個(gè)容積為V的有蓋圓柱形水桶，問半徑r與桶高h(yuǎn)如何確定，可使所用材料最??？,假設(shè)水桶表面積為S，則,容積,要使所用材料最省，就要使水

15、桶表面積最小,解,令S(r)=0,得唯一的駐點(diǎn),此時(shí)h=2r0 ，所以當(dāng)半徑r為 ，桶高h(yuǎn)為 時(shí)，可使所用材料最省,(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；,(2)根據(jù)實(shí)際問題確定函數(shù)的定義域；,(3) 求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_區(qū)間且駐點(diǎn)只有一個(gè)，則該駐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值就是所求. 如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.,實(shí)際問題求最值,曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個(gè)更深入的概念.,例如：,四、曲線的凹凸性,（1）,（2）,曲線(1)上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點(diǎn)位于曲線相

16、應(yīng)點(diǎn)的下面，即曲線在弦之上；曲線(2)則相反，曲線在弦之下.,幾何解釋,定義3.2.3 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù) 如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1 x2 恒有 那么稱f(x)在a,b上的圖形是凹的（記為“”）；如果恒有 那么稱f(x)在a,b上的圖形是凸的（記為“ ”）；,(1)觀察切線與曲線的位置關(guān)系.,(1) 凹曲線位于其任一點(diǎn)切線的上方；凸曲線位于其任一點(diǎn)切線的下方,(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.,(2) 凹切線斜率單調(diào)遞增；凸切線斜率單調(diào)遞減,觀察與思考,定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn),如果(x0, f(x0)是拐點(diǎn)且f (x0)存在, 問f (x0)

17、=？ 如何找可能的拐點(diǎn)？ 如何確定曲線yf(x)的拐點(diǎn)？,o,x,y,y= (x),a,A,B,b,c,C,討論,(1)在拐點(diǎn)(x0, f(x0)處f (x0)=0或f (x0)不存在. (2)只有f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn). (3) 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號(hào), 則(x0, f(x0)是拐點(diǎn).,(2)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn), 從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示. 這與駐點(diǎn)及極值點(diǎn)的表示方法不一樣.,(1)拐點(diǎn)一定是f (x)=0或不存在的點(diǎn)，但是f (x)=0或不存在的點(diǎn)不一定都是拐點(diǎn).,結(jié)論,注意,定理3.2.5 設(shè)f(x)

18、在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的,曲線凹凸性判定定理,若曲線y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)， f (x0)=0或不存在， f (x)在x0兩側(cè)異號(hào)，則點(diǎn)(x0, f(x0)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn),(1)確定函數(shù)的定義域； (2)在定義域內(nèi)求 f (x)=0的點(diǎn)和f (x)不存在的點(diǎn)； (3)用上述點(diǎn)劃分定義域，并列表判別函數(shù)的凹凸性,拐點(diǎn)的判定：,求曲線凹向區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：,f (x) 沒有為0的點(diǎn)，但是x=4時(shí)， f (x)不存在，,例13 討論曲線 的凹向區(qū)間與拐點(diǎn),x,f (x),f (x),(-,4),4,(4 ,+),+,-,不存在,拐點(diǎn)(4,2),（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；,解,定義3.2.5 若曲線L上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與一條定直線C的距離趨于零,則稱直線 C為曲線L的漸近線當(dāng)C垂直于x軸時(shí),稱C為