高等數(shù)學(xué)大一上學(xué)期期末考試匯編（含解答）

1、高等數(shù)學(xué)大一上學(xué)期期末考試匯編（含解答） 高等數(shù)學(xué)大一上學(xué)期期末考試匯編（含解答） 一、填空題（每小題3分，共18分） 1）設(shè)f?x?連續(xù)，則df?x?dx?f?x?dx；f?x?dx?f?x?c。 2）sinx的帶皮亞諾余項的n階麥克勞林公式為： x3x5sinx?x?3!5!n?1xn?cos?xn?2n!。 1?3）曲線y?xln?e?,?x?0?的漸近線方程為： x?y?x?1e。 4）設(shè)y?2x2?x，在x?1處，當(dāng)?x?0.01時，對應(yīng)有dy?0.03。 d?x2?5）?1?t2dt?dx?0?2x1?x4。 ijk6）設(shè)a?1,2,2?,b?2,?1,2?，則a?b?122?6,

2、6,?3?。 2?12二、計算下列各題（每小題4分，共20分） ?111）求極限lim?22n?4n?4?4n?1? 224n?n?111解：原式?lim?n?k?1nn1?k?4?n?2?10x?dx?arcsin? 2?06?4?x21x?tanx x?0x2sinxx?tanx1?sec2x?tan2x1?lim?lim?解：原式?lim x?0x?0x?0x33x23x232）求極限lim3）求極限lim?12n?0xn1?x2dx xn1?1?n，由定積分的比較性質(zhì)有 解：因為當(dāng)x?0,?時，有0?2?1?x22 0?12n?0120xn1?x2dx?1 2n?1由夾逼準(zhǔn)則可得lim

3、?xn1?x2dx?0 1?xarctan2x?04）設(shè)函數(shù)f?x?，討論f?x?在點x?0處的連續(xù)性。 x?x?0?012x2解：當(dāng)x?0時，f?x?arctan2? x1?x4f?x?f?0?1?limarctan2? 當(dāng)x?0時，f?0?limx?0x?0x?0x2?12x2?因為limf?x?lim?arctan2?f?0? 4?x?0x?0x1?x?2所以f?x?在點x?0處的連續(xù)。 三、解答下列各題（每小題5分，共15分） 1）已知?edt?0yt2sinx0cos2tdt?0，求 dy。 dxcos2sinx?cosxey2解：方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 ey?cossinx?cosx

4、?0?y?2）設(shè)g?x?sni2xf?xy22 其中f?x?在點x?0處連續(xù)，問g?x?在x?0處是否可導(dǎo)？?， 如果可導(dǎo)，求出g?0?。 解：因為limx?0g?x?g?0?x?0?limx?0?sin2x?f?x?2limfxx?0?x?2f?0? 所以g?x?在x?0處可導(dǎo)，且g?0?2f?0?。 ?d2y?x?a?t?sint?3）設(shè)函數(shù)y?y?x?由參數(shù)方程?所確定，求2。 dx?y?a?1?cost?解： dyasintt?cot dxa?1?cost?2t?1ttcot?csc2?csc2?2dy2?2?2 ?22dxa?1?cost?a?1?cost?2a?1?cost?四、計

5、算下列各題（每小題5分，共10分） 1）計算?dx?x2?1?32 解：設(shè)x?tant ?dx?x2?1?32se2ctx?3dt?costdt?sin?tc?sect1?x2 c?2）計算 ?sinx?lntanxdx cosx2secxdx?cosxlntanx?cscxdx tanx解：原式?cosxlntanx?cosxlntanx?lncscx?cotx?c 五、（每小題5分，共20分） 1）在下列兩個積分 ?0e?xcos2xdx2,?2?e?xcos2xdx 2中確定哪個積分值大，并說明理由。 解：設(shè)x?t? ?2?e?xcos2xdx?e?t?cos2?t?dt?e?x?cos

6、2xdx 2?2?200當(dāng)x?0,?時，因為e?xcos2x?e2?x?2cos2x，由定積分的比較性質(zhì)得 2）計算?1?0e?xcos2xdx?e?xcos2xdx ?22?2x2?1?sinx?1?1?x12?1dx ?2sint?解：原式?2?dx?2?2costdt?2?2?cost?cos2t?dt?2?1? 001?cost04?1?1?x2x23）計算?1lnxdx ee解：原式?1?lnxdx?lnxdx?xlnx?x?1?xlnx?x?1 e1e1e1e ?2?2 e?04）設(shè)a?0，求?e?axsinxdx。 ?1a1?解：原式?e?ax? cosx?sinx?2221?a

7、?1?a?01?a?六、解答下列各題（每小題6分，共12分） 1）求由曲線y?x2,x?2和y?0所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。 ?x4?3解：v?2?xdx?8? 0?2?0222）求心形線r?a?1?cos?的全長。 解：?a?1?cos?22?asin?d?2a?cosd?2a?2sin?8a ?22?22?七、證明題（共5分） 設(shè)f?x?是在區(qū)間?a,b?上的連續(xù)函數(shù)，g?x?是在區(qū)間?a,b?上的不變號的可積函數(shù)，證明至少存在一點?a,b?使得 ?baf?x?g?x?dx?f?g?x?dx ab證明：無妨設(shè)g?x?0，因為f?x?是在區(qū)間?a,b?上的連續(xù)函數(shù)，由最

8、大值和最小值定理可得，f?x?在區(qū)間?a,b?上有最大值m和最小值m，所以 mg?x?f?x?g?x?mg?x?由定積分的比較性質(zhì)有 m?g?x?dx?f?x?g?x?dx?m?g?x?dxaaabbbx?a,b? f?x?g?x?dx? m?m?g?x?dxabab 由介值定理可得至少存在一點?a,b?使得 f?bb?f?x?g?x?dx ?g?x?dxabab即?f?x?g?x?dx?f?g?x?dx。 aa 高數(shù)期末考試 一、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分） 1. 已知cosx是f(x)的一個原函數(shù),x則?f(x)?cosxdx?x . ?22?n?12. nlim?n(c

9、os2n?cosn?cos2n?)? . 12?x2arcsinx?13. 11?x2dx?2 . 二、單項選擇題 (本大題有4小題, 每小題4分, 共16分) 設(shè)?(x)?1?x4. 1?x，?(x)?3?33x，則當(dāng)x?1時（）. （a）?(x)與?(x)是同階無窮小，但不是等價無窮小； （b）?(x)與?(x)是等價無窮??； （c）?(x)是比?(x)高階的無窮?。?（d）?(x)是比?(x)高階的 無窮小. 5. 設(shè)f(x)?cosx(x?sinx),則在x?0處有(). （a）f?(0)?2 （b）f?(0)?1（c）f?(0)?0 （d）f(x)不可導(dǎo). 6. 若 f(x)?x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在區(qū)間上(?1,1)二階可導(dǎo)且 f?(x)?0，則（ ）. （a）函數(shù)f(x)必在x?0處取得極大值； （b）函數(shù)f(x)必在x?0處取得極小值； （c）函數(shù)f(x)在x?0處沒有極值，但點(0,f(0)為曲線y?f(x)的拐點； （d）函數(shù)f(x)在x?0處沒有極值，點(0,f(0)也不是曲線y?f(x)的拐點。 17. 設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且 f(