初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(jí)(上冊(cè)) 第一章 證明(二)等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形，其中一個(gè)銳角等于30，這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形。如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有：勾股定理：（注意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一個(gè)內(nèi)角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）垂直平分線是垂直于一條線段并且平分這條線段的直線

2、。（注意著重號(hào)的意義）線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。acbo圖1圖2oacbdef三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（如圖1所示，ao=bo=co）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心。(如圖2所示，od=oe=of)第二章 一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為

3、（a、b、c為常數(shù)，a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把（a、b、c為常數(shù)，a0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù)；b為一次項(xiàng)系數(shù)；c為常數(shù)項(xiàng)。解一元二次方程的方法：配方法 公式法 （注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式）分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成的形式；兩邊開(kāi)方求其根。根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac=

4、0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。如果一元二次方程的兩根分別為x1、x2，則有：。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對(duì)稱式的值，特別注意以下公式： 其他能用或表達(dá)的代數(shù)式。（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構(gòu)造一元二次方程：（4）已知兩數(shù)x1、x2的和與積，求此兩數(shù)的問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程 的根在利用方程來(lái)解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問(wèn)題為x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮）；尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量

5、關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。處理問(wèn)題的過(guò)程可以進(jìn)一步概括為： 第三章 證明（三）平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等。這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊

6、形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

7、。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。平行四邊形菱形矩形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€互相垂直平分）一內(nèi)角為直角一鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€相等）鵬翔教圖3兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一條腰和底垂直的梯形叫

8、做直角梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章 視圖與投影三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線框一定不在一

9、個(gè)平面上。在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小的平面體（或曲面體）。在畫視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分輪廓線通常畫成虛線。物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。太陽(yáng)光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。點(diǎn)在一個(gè)

10、平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度；線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。第五章 反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，（k為常數(shù)，k0）叫做反比例函數(shù)，即y是x的反比例函數(shù)。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）反比例函數(shù)的等價(jià)形式：y是x的反比例函數(shù) 變量y與x成反比例，比例系數(shù)為k.判斷

11、兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個(gè)變量的乘積是否為定值。（通常第二種方法更適用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線反比例函數(shù)的畫法的注意事項(xiàng)：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的；選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；畫圖注意其美觀性（對(duì)稱性、延伸特征）。反比例函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)k0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k0）或向左（h0）或向下（k0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大。若a0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a0 拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)； =0 拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)； 0 拋物

12、線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；當(dāng)0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡(jiǎn)后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)o叫做圓心；線段oa叫做半徑；以點(diǎn)o為圓心的圓，記作o，讀作“圓o” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一

13、確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則 點(diǎn)在圓上 d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) dr;點(diǎn)在圓外 dr.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二. 圓的對(duì)稱性: 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣弧：?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“”表示，以cd為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧cd”或“弧cd”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧

14、叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果

15、具備： 過(guò)圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)??；平分弦所對(duì)的劣弧。 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:1. 1的弧的概念: 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí),每一份的角都是1的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1弧.2. 圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成

16、aob= ,這是錯(cuò)誤的.3. 圓周角的定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；推論2: 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:(1) 經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過(guò)不在同一直

17、線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理: 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做

18、切點(diǎn).(3)相離: 直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d；dr 直線l和o相交.d=r 直線l和o相切.dr 直線l和o相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).垂直于切線; 過(guò)切點(diǎn); 過(guò)圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)

19、心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.(2)外切: 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),

20、 叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交: 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(5)內(nèi)含: 兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn), 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例.2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 dr+r(2)兩圓外切 d=r+r(3)兩圓相交 r-rdr+r (rr)(4)兩圓內(nèi)切 d=r-r (rr)(5)兩圓內(nèi)含 dr)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上

21、.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七. 弧長(zhǎng)及扇形的面積1. 圓周長(zhǎng)公式: 圓周長(zhǎng)c=2r (r表示圓的半徑)2. 弧長(zhǎng)公式: 弧長(zhǎng) (r表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (r表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (r表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))圖5弓形的面積公式:(如圖5)(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí), (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí), (3)當(dāng)弓形

22、所含的弧是半圓時(shí), 八. 圓錐的有關(guān)概念:1. 圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形,另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面,斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面.2. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖與側(cè)面積計(jì)算:圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形,這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長(zhǎng)、弧長(zhǎng)是圓錐底面圓的周長(zhǎng)、圓心是圓錐的頂點(diǎn).如果設(shè)圓錐底面半徑為r,側(cè)面母線長(zhǎng)(扇形半徑)是l, 底面圓周長(zhǎng)(扇形弧長(zhǎng))為c,那么它的側(cè)面積是:_圖6_p_o_b_a九. 與圓有關(guān)的輔助線1.如圓中有弦的條件,常作弦心距,或過(guò)弦的一端作半徑為輔助線.2.如圓中有直徑的條件,可作出直徑上的圓周角.3.如一個(gè)圓有切線

23、的條件,常作過(guò)切點(diǎn)的半徑(或直徑)為輔助線.4.若條件交代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí),連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線.十. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ); 圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角.十一.北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。_o_c_d_a_b如圖6，pa，pb分別切o于a、bpa=pb，po平分apb2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。 推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧

24、相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等。如圖7，cd切o于c，則，acd=b 3和圓有關(guān)的比例線段： 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等；_圖7推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。如圖8，appb=cppd如圖9，若cdab于p，ab為o直徑，則cp2=appb4切割線定理切割線定理，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)；推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖10， pt切o于t，pa是割線，點(diǎn)a、b是它與o的交點(diǎn)，則pt2=papbpa、pc是o的兩條

25、割線，則pdpc=pbpa5兩圓連心線的性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，或者說(shuō)，連心線過(guò)切點(diǎn)。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖11，o1與o2交于a、b兩點(diǎn)，則連心線o1o2ab且ac=bc。6兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長(zhǎng)及兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)相等。如圖12，ab分別切o1與o2于a、b，連結(jié)o1a，o2b，過(guò)o2作o2co1a于c，公切線長(zhǎng)為l，兩圓的圓心距為d，半徑分別為r，r則外公切線長(zhǎng)：如圖13，ab分別切o1與o2于a、b，o2cab，o2co1c于c，o1半徑為r，o2半徑為r，則內(nèi)公切線長(zhǎng)： _圖9_p_a_b_c_d_o_圖10_b_d_c_o_a

26、_t_p_o_b_d_p_a_c圖8_圖12_o_1_b_a_r_r_c_d_o_2_圖11_b_c_a_o_2_o_1_o_2_d_c_r_r_a_b_o_1_圖13第四章 統(tǒng)計(jì)與概率1. 實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率的關(guān)系只是在實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí),實(shí)驗(yàn)頻率接近于理論概念,但實(shí)驗(yàn)次數(shù)再多,也很難保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論值相等,這就是“隨機(jī)事件”的特點(diǎn).三. 游戲公平嗎?1. 游戲的公平性是指游戲雙方各有50%贏的機(jī)會(huì),或者游戲多方贏的機(jī)會(huì)相等.2. 表示一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)叫做該事件的概率.一個(gè)事件發(fā)生的概率取值在0與1之間.3. 概率的預(yù)測(cè)的計(jì)算方法:某事件a發(fā)生的概率:4. 用分析的辦法求事件發(fā)生的

27、概率要注意關(guān)鍵性的兩點(diǎn):(1)要弄清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個(gè)或哪些結(jié)果;(2)要弄清楚所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果.（注：表示重點(diǎn)部分；表示了解部分；表示僅供參閱部分；）北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總九年級(jí)(下冊(cè))第一章 直角三角形邊的關(guān)系一. 正切：定義：在rtabc中，銳角a的對(duì)邊與鄰邊的比叫做a的正切，記作tana，即;tana是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示a的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“”；tana沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中a的對(duì)邊與鄰邊的比；tana不表示“tan”乘以“a”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，a是銳角的正切；tana的值越大，梯子越陡，a越大； a越大，梯子越陡，ta

28、na的值越大。二. 正弦：定義：在rtabc中，銳角a的對(duì)邊與斜邊的比叫做a的正弦，記作sina，即;三. 余弦：定義：在rtabc中，銳角a的鄰邊與斜邊的比叫做a的余弦，記作cosa，即;余切：定義：在rtabc中，銳角a的鄰邊與對(duì)邊的比叫做a的余切，記作cota，即;一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。030 45 60 90 sin01cos10tan01cot10（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若a為銳角，則； ； 當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平

29、線所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角函數(shù)值表，可以看出，(1)當(dāng)圖1角度在090間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0sin1，0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tgctg=1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。在abc中，c為直角，a、b、c所對(duì)的邊分別為a、b、c，則有 (1)三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2；(2)兩銳角的關(guān)系：

30、ab=90； (3)邊與角之間的關(guān)系：(4)面積公式:(hc為c邊上的高); (5)直角三角形的內(nèi)切圓半徑 (6)直角三角形的外接圓半徑解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖2hi=h:llabc解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖3圖4 如圖2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，oa、ob、oc的方位角分別為45、135、225。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角。如圖4，oa、ob、oc、od的方向角分別是；北偏東30，南偏東45(東南方向)、南偏西為60，北偏西60。

31、第二章 二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如的函數(shù)，叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。 是二次函數(shù)的特例，此時(shí)常數(shù)b=c=0.在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù)yax2的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。描述拋物線常從開(kāi)口方向、對(duì)稱性、y隨x的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與x軸的交點(diǎn)等方面來(lái)描述。函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；拋物線的頂點(diǎn)在(0，0)，對(duì)稱軸是y軸(或稱直線x0)。當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，并且向上方無(wú)限伸展。當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，并且向下方無(wú)限伸展。函數(shù)的增

32、減性：a、當(dāng)a0時(shí) b、當(dāng)a0時(shí)當(dāng)a越大，拋物線開(kāi)口越小；當(dāng)a越小，拋物線的開(kāi)口越大。最大值或最小值：當(dāng)a0，且x0時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是0；當(dāng)a0，且x0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0二次函數(shù)的圖象是一條頂點(diǎn)在y軸上且與y軸對(duì)稱的拋物線二次函數(shù)的圖象是以為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（，）的拋物線。（開(kāi)口方向和大小由a來(lái)決定）|a|的越大，拋物線的開(kāi)口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越快；|a|的越小，拋物線的開(kāi)口程度越大，越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸y軸，y隨x增長(zhǎng)（或下降）速度越慢。二次函數(shù)的圖象中，a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向，|a|決定拋物線的開(kāi)口程度大小，c決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的

33、高低。二次函數(shù)的圖象與yax2的圖象的關(guān)系： 的圖象可以由yax2的圖象平移得到，其步驟如下： 將配方成的形式；（其中h=，k=）；把拋物線向右（h0）或向左（h0）或向下（k0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大。若a0，則當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減小。最值：若a0，則當(dāng)x=時(shí)，；若a0 拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)； =0 拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)； 0 拋物線與x軸有0個(gè)交點(diǎn)（無(wú)交點(diǎn)）；當(dāng)0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為a、b，則這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：化簡(jiǎn)后即為： - 這就是拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離公式。第三章 圓一. 車輪為什么做成圓形1. 圓的定義： 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段oa繞它固定的

34、一個(gè)端點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)a隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn)o叫做圓心；線段oa叫做半徑；以點(diǎn)o為圓心的圓，記作o，讀作“圓o” 集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則 點(diǎn)在圓上 d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) dr;點(diǎn)在圓外 dr.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)

35、點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二. 圓的對(duì)稱性: 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑： 弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣弧：?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)“”表示，以cd為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧cd”或“弧cd”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能

36、夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.2. 圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。3. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來(lái)說(shuō)，如果具備： 過(guò)圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的劣弧。 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。4. 定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論: 在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩

37、條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.三. 圓周角和圓心角的關(guān)系:1. 1的弧的概念: 把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí),每一份的角都是1的圓心角,相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成360份,每一份同樣的弧叫1弧.2. 圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等,而不是角與弧相等.即不能寫成aob= ,這是錯(cuò)誤的.3. 圓周角的定義: 頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓相交的角,叫做圓周角.4. 圓周角定理: 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；推論2

38、: 半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑；四. 確定圓的條件:1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上.2. 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況:(1) 經(jīng)過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理: 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形

39、.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.五. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交,這時(shí)直線叫做圓的割線.(2)相切: 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切,這時(shí)直線叫做圓的切線,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離: 直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相離.2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)o的半徑為r，圓心o到直線的距離為d；dr 直線l和o相交.d=r 直線l和o相切.dr 直線l和o相離.3. 切線的總判定定理: 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且

40、垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).垂直于切線; 過(guò)切點(diǎn); 過(guò)圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線: 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.(2)外切: 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共