初中幾何輔助線大全-最全

1、三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖7-1：已知acbd，adac于a ，bcbd于b， 求證：adbc分析：欲證 adbc，先證分別含有ad，bc的三角形全等，有幾種方案：adc與bcd，aod與boc，abd與bac，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)da，cb，它們的延長(zhǎng)交于e點(diǎn)， adac bcbd （已知） caedbe 90 （垂直的定義） 在dbe與cae中 dbecae （aas） edec ebea （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） edeaeceb 即：adbc。（當(dāng)條件不足時(shí)

2、，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）二 、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。三、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例如：如圖9-1：在rtabc中，abac，bac90，12，cebd的延長(zhǎng)于e 。求證：bd2ce 分析：要證bd2ce，想到要構(gòu)造線段2ce，同時(shí)ce與abc的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)ba，ce交于點(diǎn)f。 becf （已知） befbec90 （垂直的定義）在bef與bec中， befbec（asa）ce=fe=cf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） bac=90 becf （已知） baccaf90 1bda901b

3、fc90 bdabfc在abd與acf中 abdacf （aas）bdcf （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） bd2ce四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。例如：如圖11-1：abdc，ad 求證：abcdcb。分析：由abdc，ad，想到如取ad的中點(diǎn)n，連接nb，nc，再由sas公理有abndcn，故bncn，abndcn。下面只需證nbcncb，再取bc的中點(diǎn)m，連接mn，則由sss公理有nbmncm，所以nbcncb。問題得證。證明：取ad，bc的中點(diǎn)n、m，連接nb，nm，nc。則an=dn，bm=cm，在abn和dcn中 abndcn （sas） abndcn nbnc （全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相

4、等）在nbm與ncm中 nmbncm，(sss) nbcncb （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）nbcabn ncbdcn 即abcdcb。巧求三角形中線段的比值例1. 如圖1，在abc中，bd：dc1：3，ae：ed2：3，求af：fc。解：過點(diǎn)d作dg/ac，交bf于點(diǎn)g 所以dg：fcbd：bc因?yàn)閎d：dc1：3 所以bd：bc1：4 即dg：fc1：4，fc4dg因?yàn)閐g：afde：ae 又因?yàn)閍e：ed2：3 所以dg：af3：2即 所以af：fc：4dg1：6例2. 如圖2，bccd，affc，求ef：fd解：過點(diǎn)c作cg/de交ab于點(diǎn)g，則有ef：gcaf：ac因?yàn)閍ffc 所以af

5、：ac1：2 即ef：gc1：2， 因?yàn)閏g：debc：bd 又因?yàn)閎ccd所以bc：bd1：2 cg：de1：2 即de2gc因?yàn)閒dedef 所以ef：fd小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！例3. 如圖3，bd：dc1：3，ae：eb2：3，求af：fd。解：過點(diǎn)b作bg/ad，交ce延長(zhǎng)線于點(diǎn)g。 所以df：bgcd：cb因?yàn)閎d：dc1：3 所以cd：cb3：4 即df：bg3：4， 因?yàn)閍f：bgae：eb 又因?yàn)閍e：eb2：3所以af：bg2：3 即所以af：df例4.

6、 如圖4，bd：dc1：3，affd，求ef：fc。解：過點(diǎn)d作dg/ce，交ab于點(diǎn)g所以ef：dgaf：ad因?yàn)閍ffd 所以af：ad1：2 圖4即ef：dg1：2 因?yàn)閐g：cebd：bc，又因?yàn)閎d：cd1：3， 所以bd：bc1：4即dg：ce1：4，ce4dg因?yàn)閒cceef所以ef：fc1：7練習(xí)：1. 如圖5，bddc，ae：ed1：5，求af：fb。2. 如圖6，ad：db1：3，ae：ec3：1，求bf：fc。 答案：1、1：10； 2. 9：1二 由角平分線想到的輔助線圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分

7、線加垂線，三線合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例1 如圖1-2，ab/cd，be平分bcd，ce平分bcd，點(diǎn)e在ad上，求證：bc=ab+cd。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也

8、是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2 已知：如圖1-3，ab=2ac，bad=cad，da=db，求證dcac分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。例3 已知：如圖1-4，在abc中，c=2b,ad平分bac，求證：ab-ac=cd分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，

9、此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。例1 如圖2-1，已知abad, bac=fac,cd=bc。求證：adc+b=180分析：可由c向bad的兩邊作垂線。近而證adc與b之和為平角。例2 如圖2-2，在abc中，a=90，ab=ac，abd=cbd。求證：bc=ab+ad分析：過d作debc于e，則ad=de=ce，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從中利用了相當(dāng)于

10、截取的方法。例3 已知如圖2-3，abc的角平分線bm、cn相交于點(diǎn)p。求證：bac的平分線也經(jīng)過點(diǎn)p。分析：連接ap，證ap平分bac即可，也就是證p到ab、ac的距離相等。（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，bad=dac，abac,cdad于d，h是bc中點(diǎn)。求證：dh=（ab-ac）分析：延長(zhǎng)cd交ab于點(diǎn)e，則可得

11、全等三角形。問題可證。例2 已知：如圖3-2，ab=ac，bac=90，ad為abc的平分線，cebe.求證：bd=2ce。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在abc中，ad、ae分別bac的內(nèi)、外角平分線，過頂點(diǎn)b作bfad，交ad的延長(zhǎng)線于f，連結(jié)fc并延長(zhǎng)交ae于m。求證：am=me。分析：由ad、ae是bac內(nèi)外角平分線，可得eaaf，從而有bf/ae，所以想到利用比例線段證相等。例4 已知：如圖3-4，在abc中，ad平分bac，ad=ab，cmad交ad延長(zhǎng)線于m。求證：am=（ab+ac）分

12、析：題設(shè)中給出了角平分線ad，自然想到以ad為軸作對(duì)稱變換，作abd關(guān)于ad的對(duì)稱aed，然后只需證dm=ec，另外由求證的結(jié)果am=（ab+ac），即2am=ab+ac，也可嘗試作acm關(guān)于cm的對(duì)稱fcm，然后只需證df=cf即可。三 由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之

13、和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。daecb例1如圖，ac平分bad，ceab，且b+d=180，求證：ae=ad+be。例3已知：如圖，等腰三角形abc中，ab=ac，a=108，bd平分abc。dcba求證：bc=ab+dc。mbdca例4如圖，已知rtabc中，acb=90，ad是cab的平分線，dmab于m，且am=mb。求證：cd=db。1如圖，abcd，ae、de分別平分bad各ade，求證：ad=ab+cd。edcba2.如

14、圖，abc中，bac=90，ab=ac，ae是過a的一條直線，且b，c在ae的異側(cè)，bdae于d，ceae于e。求證：bd=de+ce四 由中點(diǎn)想到的輔助線 三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2如圖3，在四邊形abcd中，ab=cd，e、f分別是bc、ad的中點(diǎn)，ba、cd的延長(zhǎng)線分別交ef的延長(zhǎng)線g、h。求證：bge=che。證明：連結(jié)bd，并取bd的中點(diǎn)為m，連結(jié)me、mf，me是bcd的中位線，mecd，mef=che，mf是abd的中位線，mfab，mfe=bge，ab=cd，me=mf，mef=mfe，從而bge=

15、che。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3圖4，已知abc中，ab=5，ac=3，連bc上的中線ad=2，求bc的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)ad到e，使de=ad，則ae=2ad=22=4。在acd和ebd中，ad=ed，adc=edb，cd=bd，acdebd，ac=be，從而be=ac=3。在abe中，因ae2+be2=42+32=25=ab2，故e=90，bd=，故bc=2bd=2。例4如圖5，已知abc中，ad是bac的平分線，ad又是bc邊上的中線。求證：abc是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)ad到e，使de=ad。仿例3可證：bedcad，故eb=ac，e=2，又1=2，1=e，ab=eb，從而ab=ac

16、，即abc是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5如圖6，已知梯形abcd中，ab/dc，acbc，adbd，求證：ac=bd。證明：取ab的中點(diǎn)e，連結(jié)de、ce，則de、ce分別為rtabd，rtabc斜邊ab上的中線，故de=ce=ab，因此cde=dce。ab/dc，cde=1，dce=2，1=2，在ade和bce中，de=ce，1=2，ae=be，adebce，ad=bc，從而梯形abcd是等腰梯形，因此ac=bd。（四）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6如圖7，abc是等腰直角三角形，bac=90，bd平分abc交ac于點(diǎn)d，ce垂直于bd，交bd的延長(zhǎng)線

17、于點(diǎn)e。求證：bd=2ce。證明：延長(zhǎng)ba，ce交于點(diǎn)f，在bef和bec中，1=2，be=be，bef=bec=90，befbec，ef=ec，從而cf=2ce。又1+f=3+f=90，故1=3。在abd和acf中，1=3，ab=ac，bad=caf=90，abdacf，bd=cf，bd=2ce。注：此例中be是等腰bcf的底邊cf的中線。（五）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。1 如圖，ab=cd，e為bc的中點(diǎn)，bac=bca，求證：ad=2ae。becda 3 如圖，ab=ac，ad=ae，m

18、為be中點(diǎn)，bac=dae=90。求證：amdc。dmcdedadbdabdcef5已知：如圖ad為abc的中線，ae=ef，求證：bf=ac 五 全等三角形輔助線（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖abc中，ab=5，ac=3，則中線ad的取值范圍是_.2：如圖，abc中，e、f分別在ab、ac上，dedf，d是中點(diǎn)，試比較be+cf與ef的大小. 3：如圖，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中點(diǎn)，求證：ad平分bae.中考應(yīng)用例題：以的兩邊ab、ac為腰分別向外作等腰rt和等腰rt，連接de，m、n分別是bc、de的中點(diǎn)探究：am與de的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1

19、）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，am與de的位置關(guān)系是 ，線段am與de的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰rt繞點(diǎn)a沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(090)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，中，ab=2ac，ad平分，且ad=bd，求證：cdac2：如圖，acbd，ea,eb分別平分cab,dba，cd過點(diǎn)e，求證;abac+bd3：如圖，已知在內(nèi)，p，q分別在bc，ca上，并且ap，bq分別是，的角平分線。求證：bq+aq=ab+bp4：如圖，在四邊形abcd中，bcba,adcd，bd平分，求證：5（三）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在abc中，b=6

20、0，abc的角平分線ad,ce相交于點(diǎn)o，求證：oe=od2：（06鄭州市中考題）如圖，abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc，deab于e，dfac于f. （1）說明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的長(zhǎng).3.如圖，op是mon的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以op所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分別是bac、bca的平分線，ad、ce相交于點(diǎn)f。請(qǐng)你判斷并寫出fe與fd之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)opamnebcdfacefbd圖圖圖（2）如圖，在abc中，如果

21、acb不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。（四）、旋轉(zhuǎn)1：正方形abcd中，e為bc上的一點(diǎn)，f為cd上的一點(diǎn)，be+df=ef，求eaf的度數(shù). 2：d為等腰斜邊ab的中點(diǎn)，dmdn,dm,dn分別交bc,ca于點(diǎn)e,f。（1） 當(dāng)繞點(diǎn)d轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證de=df。（2） 若ab=2，求四邊形decf的面積。3.如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以d為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交ab于點(diǎn)m，交ac于點(diǎn)n，連接mn，則的周長(zhǎng)為 ；4已知四邊形中，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如

22、圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明（圖1）（圖2）（圖3）5.已知:pa=,pb=4,以ab為一邊作正方形abcd,使p、d兩點(diǎn)落在直線ab的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)apb=45時(shí),求ab及pd的長(zhǎng);(2)當(dāng)apb變化,且其它條件不變時(shí),求pd的最大值,及相應(yīng)apb的大小.6.在等邊的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n，d為外一點(diǎn)，且,bd=dc. 探究：當(dāng)m、n分別在直線ab、ac上移動(dòng)時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)q與等邊的周長(zhǎng)l的關(guān)系圖1 圖2 圖3（i）如

23、圖1，當(dāng)點(diǎn)m、n邊ab、ac上，且dm=dn時(shí)，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （ii）如圖2，點(diǎn)m、n邊ab、ac上，且當(dāng)dmdn時(shí)，猜想（i）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （iii） 如圖3，當(dāng)m、n分別在邊ab、ca的延長(zhǎng)線上時(shí)，若an=，則q= （用、l表示）梯形中的輔助線1、平移一腰：例1. 如圖所示，在直角梯形abcd中，a90，abdc，ad15，ab16，bc17. 求cd的長(zhǎng). 解：過點(diǎn)d作debc交ab于點(diǎn)e. 又abcd，所以四邊形bcde是平行四邊形. 所以debc17，cdbe. 在rtdae中，由勾股定理，得ae2de2ad2，即a

24、e217215264. 所以ae8. 所以beabae1688. 即cd8.例2如圖，梯形abcd的上底ab=3，下底cd=8，腰ad=4，求另一腰bc的取值范圍。解：過點(diǎn)b作bm/ad交cd于點(diǎn)m，在bcm中，bm=ad=4，cm=cddm=cdab=83=5，所以bc的取值范圍是：54bc54，即1bc9。2、平移兩腰： 例3如圖，在梯形abcd中，ad/bc，bc=90，ad=1，bc=3，e、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，連接ef，求ef的長(zhǎng)。解：過點(diǎn)e分別作ab、cd的平行線，交bc于點(diǎn)g、h，可得eghehg=bc=90則egh是直角三角形因?yàn)閑、f分別是ad、bc的中點(diǎn)，容易證得f是

25、gh的中點(diǎn)所以3、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形abcd中，ad/bc，ad=1，bc=4，bd=3，ac=4，求梯形abcd的面積解：如圖，作deac，交bc的延長(zhǎng)線于e點(diǎn)abdcehadbc 四邊形aced是平行四邊形be=bc+ce=bc+ad=4+1=5，de=ac=4在dbe中， bd=3，de=4，be=5bde=90作dhbc于h，則例5如圖，在等腰梯形abcd中，ad/bc，ad=3，bc=7，bd=，求證：acbd。解：過點(diǎn)c作bd的平行線交ad的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，易得四邊形bced是平行四邊形，則de=bc，ce=bd=，所以ae=adde=adbc=37=10。在等腰梯形abc

26、d中，ac=bd=，所以在ace中，從而acce，于是acbd。例6如圖，在梯形abcd中，ad/bc，ac=15cm，bd=20cm，高dh=12cm，求梯形abcd的面積。解：過點(diǎn)d作de/ac，交bc的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，則四邊形aced是平行四邊形，即。所以由勾股定理得（cm）（cm）所以，即梯形abcd的面積是150cm2。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例7如圖，在梯形abcd中，ad/bc，b=50，c=80，ad=2，bc=5，求cd的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)ba、cd交于點(diǎn)e。在bce中，b=50，c=80。所以e=50，從而bc=ec=5同理可得ad=ed=2所以cd

27、=eced=52=3例8. 如圖所示，四邊形abcd中，ad不平行于bc，acbd，adbc. 判斷四邊形abcd的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：四邊形abcd是等腰梯形. 證明：延長(zhǎng)ad、bc相交于點(diǎn)e，如圖所示. acbd，adbc，abba，dabcba. dabcba. eaeb. 又adbc，dece，edcecd. 而eeabebaeedcecd180，edceab，dcab. 又ad不平行于bc，四邊形abcd是等腰梯形. （三）、作對(duì)角線即通過作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形abcd中，ad/bc，abad，bc=cd，becd于點(diǎn)e，求證：ad=de。解：連

28、結(jié)bd，由ad/bc，得adb=dbe；由bc=cd，得dbc=bdc。所以adb=bde。又bad=deb=90，bd=bd，所以rtbadrtbed，得ad=de。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形abcd中，ab/dc，abc=90，ab=2dc，對(duì)角線acbd，垂足為f，過點(diǎn)f作ef/ab，交ad于點(diǎn)e，求證：四邊形abfe是等腰梯形。證：過點(diǎn)d作dgab于點(diǎn)g，則易知四邊形dgbc是矩形，所以dc=bg。因?yàn)閍b=2dc，所以ag=gb。從而da=db，于是dab=dba。又ef/ab，所以四邊形abfe是等腰梯形。2、作兩條高abcddedfd例11、在等腰梯形a

29、bcd中，ad/bc，ab=cd，abc=60，ad=3cm，bc=5cm，求：(1)腰ab的長(zhǎng)；(2)梯形abcd的面積解：作aebc于e，dfbc于f，又adbc，四邊形aefd是矩形， ef=ad=3cmab=dc在rtabe中，b=60，be=1cmab=2be=2cm，（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形abcd中，ab/dc，o是bc的中點(diǎn)，aod=90，求證：abcd=ad。證：取ad的中點(diǎn)e，連接oe，則易知oe是梯形abcd的中位線，從而oe=（abcd）在aod中，aod=90，ae=de所以由、得abcd=ad。2、已知梯形兩條對(duì)角線的

30、中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形abcd中，ad/bc，e、f分別是bd、ac的中點(diǎn)，求證：（1）ef/ad；（2）。證：連接df，并延長(zhǎng)交bc于點(diǎn)g，易證afdcfg則ad=cg，df=gf由于de=be，所以ef是bdg的中位線從而ef/bg，且因?yàn)閍d/bg，所以ef/ad，ef3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。例15、在梯形abcd中，adbc， bad=900，e是dc上的中點(diǎn)，連接ae和be，求aeb=2cbe。解：分別延長(zhǎng)ae與bc ，并交于f點(diǎn)bad=900且adbcf

31、ba=1800bad=900 又adbcdae=f(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等) aed=fec （對(duì)頂角相等）de=ec （e點(diǎn)是cd的中點(diǎn)）adefce （aas） ae=fe在abf中fba=900 且ae=fe be=fe（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半） 在feb中 ebf=febaeb=ebf+ feb=2cbeabdcef例16、已知：如圖，在梯形abcd中，ad/bc，abbc，e是cd中點(diǎn)，試問：線段ae和be之間有怎樣的大小關(guān)系？解：ae=be，理由如下：延長(zhǎng)ae，與bc延長(zhǎng)線交于點(diǎn)fde=ce，aed=cef，dae=fadefceae=efabbc， be=ae例17、

32、已知：梯形abcd中，ad/bc，e為dc中點(diǎn)，efab于f點(diǎn)，ab=3cm，ef=5cm，求梯形abcd的面積解：如圖，過e點(diǎn)作mnab，分別交ad的延長(zhǎng)線于m點(diǎn)，交bc于n點(diǎn)abcdefmnde=ec，adbcdemcne四邊形abnm是平行四邊形efab，s梯形abcd=sabnm=abef=15cm2【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）2. 如圖所示，已知等腰梯形abcd中，adbc，b60，ad2，bc8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（ ）a. 19b. 20c. 21d. 22*8. 如圖所示，梯形abcd中，adbc，（1）若e是ab的中點(diǎn)，且adbccd，則de與ce有何位置關(guān)系？（2）e是adc與bcd的角平分線的交點(diǎn)，則de與ce有何位置關(guān)系？圓中作輔助線的常用方法：例題1：如圖2，在圓o中，b為的中點(diǎn)，bd為ab的延長(zhǎng)線，oab=500，求cbd的度數(shù)。 解：如圖，連結(jié)ob、oc的圓o的半徑，已知oab=500b是弧