《數(shù)學(xué)建模(第四版)》 4.7 鋼管切割問題

1、.摘 要該問題在于確定鋼管切割模式的安排上，顯然是一個(gè)優(yōu)化問題。是一個(gè)在原 料和成品長(zhǎng)度等約束下求最小費(fèi)用的優(yōu)化模型。 我們?cè)诜治鲱}目的各種限制因素 后，找到初步的目標(biāo)函數(shù)，找到約束條件，建立 IP（整數(shù)優(yōu)化）模型。在求解 模型過程中， 由于問題的規(guī)模小， 我們通過分析約束條件采取枚舉法分析可行域， 運(yùn)用 MATLAB 找到鋼管切割模式的可行解。然后在目標(biāo)函數(shù)下，進(jìn)而求出最優(yōu)解 集合?？紤]到實(shí)際生活常識(shí)，通過對(duì)滿足約束條件下的最優(yōu)解來進(jìn)行分析，找到 符合實(shí)際的最優(yōu)解。依此來確定最終的切割模式方案。 在求解模型的過程中，針對(duì)不同的假設(shè)背景下，可以簡(jiǎn)化模型的求解過程。 我們運(yùn)用 LINDO/LIN

2、GO 或 MATLAB 編寫程序來進(jìn)行求解， 同時(shí)用 LINDO/LINGO 軟件進(jìn) 行初步的可行性和靈敏度分析。為了使主要結(jié)果的直觀性和形象性，對(duì)獲得的數(shù) 據(jù)運(yùn)用 MATLAB 處理成圖表。 在文章的最后，我們對(duì)模型的改進(jìn)和模型的應(yīng)用范圍進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆治觯?出關(guān)于與模型的相關(guān)問題的見解。關(guān)鍵詞： 切割模式 優(yōu)化 MATLAB/LINGO 靈敏度分析一、 問題重述原料鋼管長(zhǎng)度 1850mm，現(xiàn)要從這一批原料鋼管中切割出 15 根 290mm，28 根 315mm，21 根 350mm 和 30 根 455mm 三種特定長(zhǎng)度的成品鋼管。合理的切割模式 確定后，求使切割總費(fèi)用最小的切割方案。問題

3、中的原料和成品長(zhǎng)度都有限定， 切割費(fèi)用也與切割模式有關(guān)。在閱讀分析題目后，其中限制條件主要有： 1原料鋼管長(zhǎng)度限制，所以每根鋼管的切割模式總長(zhǎng)度不能超過 1850mm 。2 一根鋼管最多生產(chǎn) 5 根成品鋼管，切割后的成品根數(shù)有限制 。3 切割模式的種類不能超過 4 種 。4 一根鋼管在每種切割模式下的余料不能超過 100mm 。5 費(fèi)用的計(jì)算方式是和切割模式的使用頻率有關(guān) 。二、基本假設(shè)(1) 切割過程中原料鋼管不發(fā)生長(zhǎng)度損失。 (2) 在切割過程中，只發(fā)生因切割而產(chǎn)生的費(fèi)用。 (3) 切割費(fèi)用只與切割模式使用頻率有關(guān)，而與其他因素?zé)o關(guān)。 （4）在使總費(fèi)用達(dá)到最小的所有模式中，認(rèn)為余料最小是要

4、比其他同等模式優(yōu) 良的切割模式。三、符號(hào)說明: 分別表示一根鋼管上切割長(zhǎng)度為290mm、315mm、350mm、455mm鋼管的數(shù)目： 按第種模式切割的原料鋼管根數(shù)（）四、問題的分析首先要確定采用哪些切割模式。所謂切割模式，是指按照顧客要求的長(zhǎng)度在原料鋼管上安排切割的一種組合。例如，我們可以將1850mm的鋼管切割成6根長(zhǎng)290mm的鋼管，余料為110mm；或者將長(zhǎng)1850mm的鋼管切割成長(zhǎng)290mm、455mm和315mm的鋼管各1根和350mm的鋼管2根，余料為84mm。顯然，可行的切割模式是很多的。其次，應(yīng)當(dāng)明確哪些切割模式是合理的。合理的切割模式通常還假設(shè)余料不應(yīng)超過100mm，且每種

5、切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）。則切割模式的約束條件為：（4-1）于是問題化為在滿足客戶需要的條件下，按照哪幾種合理的模式，每種模式切割多少根原料鋼管最為節(jié)省。五、模型的建立與求解經(jīng)過簡(jiǎn)單的計(jì)算可知，合理的切割模式一共有7種，如表1所示。表1 鋼管下料的合理切割模式模式290mm315mm350mm455mm余料/mm1005010020004303103155420121050131306112190702216580311100903111001021025511300270 而所謂節(jié)省，可以有兩種標(biāo)準(zhǔn)，一是切割后剩余的總余料量最小，總余量：（5-1）二是切割

6、原料鋼管的總根數(shù)最少?？偢鶖?shù)： （5-2）在選擇切割模式的時(shí)候受到以下條件的約束：（1）所使用的切割模式的種類不能超過4種。（2）使用頻率最高的一種切割模式按照一個(gè)原料鋼管價(jià)值的1/10增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的2/10增加費(fèi)用，以此類推。約束條件，滿足： （5-3）模式合理約束（每根余料不超過100mm）： (5-4)整數(shù)約束： 為整數(shù)。每根鋼管長(zhǎng)度為1850mm，可以求得所需要的鋼管數(shù)目下界為：選擇的模式數(shù)量大小約束：（5-4）用lingo進(jìn)行求解得到如下結(jié)果： Variable Value X1 12.00000 X2 4.000000 X3 3.000000

7、 X4 0.000000 R11 1.000000 R12 0.000000 R13 1.000000 R21 2.000000 R22 1.000000 R23 0.000000 R31 0.000000 R32 3.000000 R33 3.000000 R41 2.000000 R42 1.000000 R43 1.000000 R14 0.000000 R24 0.000000 R34 5.000000 R44 0.000000 模式一：290mm鋼管1根、315mm鋼管2根和455mm鋼管2根，需要12根模式二；315mm鋼管1根、350mm鋼管3根和455mm鋼管1根，需要4根模式

8、三；290mm鋼管1根、350mm鋼管3根和455mm鋼管1根，需要3根六、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)優(yōu)點(diǎn)： 這是一個(gè)經(jīng)濟(jì)生活中常見的確定生產(chǎn)方案問題，是運(yùn)籌學(xué)中很典型的問題。 并且在合理的將約束條件簡(jiǎn)化條件下，能夠和實(shí)際結(jié)果符合的較好。模型思路明朗清晰，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，有一定的適用范圍能夠較為簡(jiǎn)便的解決生 產(chǎn)方案安排問題。模型可以很容易的推廣到在 M 種原料下，生產(chǎn) N 種成品的情形，方案制定 并進(jìn)行優(yōu)化（非遍歷解法）。改進(jìn)： 由于這是在實(shí)際基礎(chǔ)上經(jīng)過理想化假設(shè)后抽象出來的數(shù)學(xué)模型，因此這個(gè)數(shù)學(xué)模型也存在著一些缺陷 ，必須是建立在靜態(tài)假設(shè)條件下的，即要求在運(yùn)輸過程中相關(guān)價(jià)格量、供給 量、需求量等不能發(fā)生變動(dòng)，模型的解是整數(shù)，即離散的，原因是經(jīng)濟(jì)中商品量的變動(dòng)很多都是