工程力學(靜力學與材料力學)-8-彎曲剛度.ppt

1、課堂教學軟件(8),2020年11月11日,工程力學(靜力學與材料力學）,Nanjing University of Technology,返回總目錄,第8章 彎曲剛度,工程力學（靜力學與材料力學）,第二篇 材料力學,返回總目錄, 梁的變形與梁的位移, 疊加法確定梁的撓度與轉角, 簡單的靜不定梁, 結論與討論, 彎曲剛度計算, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度, 梁的曲率與位移, 撓度與轉角的相互關系, 梁的位移分析的工程意義, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度,在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉過一角度，從而使梁

2、的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflection curve）。, 梁的曲率與位移, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度,根據(jù)上一章所得到的結果，彈性范圍內的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關系：, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度, 梁的曲率與位移,梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：, 橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；, 變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉過的角度，稱為轉角（slope），用表示；, 撓度與轉角的相

3、互關系, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度, 橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontal displacement），用u表示。,在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。,梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：, 撓度與轉角的相互關系, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度,在Oxw坐標系中，撓度與轉角存在下列關系：,在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即很小，因而上式中tan。于是有,w w（x），稱為撓度方程（deflection equation

4、）。, 梁的變形與梁的位移,第8章 彎曲剛度, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,力學中的曲率公式,數(shù)學中的曲率公式, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,小撓度情形下,對于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負號與w坐標的取向有關。, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,采用向下的w坐標系，有, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,對于等截面梁，應用確定彎矩方程的方法，

5、寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉角方程：,其中C、D為積分常數(shù)。, 小撓度微分方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對于撓度和轉角的限制：, 在固定鉸支座和輥軸支座處，約束條件為撓度等于零：w=0;, 連續(xù)條件是指，梁在彈性范圍內加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側的撓度、轉角對應相等：w1= w2，12等等。, 在固定端處，約束條

6、件為撓度和轉角都等于零：w=0，0。, 小撓度微分方程的積分與 積分常數(shù)的確定, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,三、積分法求梁的撓曲線,2.支承條件與連續(xù)條件:,1.,式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。,1) 支承條件：,2) 連續(xù)條件：撓曲線是光滑連續(xù)唯一的,例 題 1,求：梁的彎曲撓度與轉角方程，以及最大撓度和最大轉角。,已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q ，梁的彎曲剛度為EI 、長度為l。q、EI 、l均已知。, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解：1建立Oxw坐標系,建立Oxw坐標系（如圖所示）。因為梁上作用有連

7、續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。,2建立梁的彎矩方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,從坐標為x的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側平衡時，建立的彎矩方程比較復雜，所以考慮右側部分的平衡，得到彎矩方程：,解：2建立梁的彎矩方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,3建立微分方程并積分,解：2建立梁的彎矩方程,將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,3建立微分方程并積分,積分后，得到, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 4利用約束條件確定積分常數(shù),固定端

8、處的約束條件為：, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 5確定撓度與轉角方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 6確定最大撓度與最大轉角,從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉角均為最大值。,于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉角方程，得到：, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,例 題 2,求：加力點B的撓度和支承A、C處的轉角。,已知：簡支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解：1 確定梁約束力,因為B處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。,首先，應用靜力

9、學方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。,2 分段建立梁的彎矩方程,在圖示坐標系中，為確定梁在0l/4范圍內各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4l范圍內各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,AB段,解： 2 分段建立梁的彎矩方程,BC段,于是，AB和BC兩段的彎矩方程分別為, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 3將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 3將彎矩表達式代入小撓度微分方程并分別積分,積分后

10、，得,其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù),在支座A、C兩處撓度應為零，即,x0， w10; xl， w20,因為，梁彎曲后的軸線應為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉角必須分別相等，即,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 4利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù),x0， w10; xl， w20,xl/4， w1w2 ; xl/4，1=2,D1D2 =0, 梁的小撓度

11、微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度,解： 5確定轉角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉角,將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉角和撓度方程為：,AB段,BC段,據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處A和C的轉角分別為, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段, 分段建立撓度微分方程, 微分方程的積分, 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù), 確定撓度與轉角方程以及指定截面的撓度與轉角,積分法小結, 分段寫出彎矩方程, 梁的小撓度微分方程及其積分,第8章 彎曲剛度, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,在很多工程計算手冊中，已將各種支承條件

12、下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉角表達式一一列出，簡稱為撓度表。,基于桿件變形后其軸線為一光滑連續(xù)曲線和位移是桿件變形累加的結果這兩個重要概念，以及在小變形條件下的力的獨立作用原理，采用疊加法（superposition method）由現(xiàn)有的撓度表可以得到在很多復雜情形下梁的位移。,第8章 彎曲剛度, 疊加法應用于多個載荷作用的情形, 疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度, 疊加法應用于多個載荷作用的情形, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,8-3 按疊加原理求梁的撓度與轉角,一、載荷疊加（直接疊加法）： 多個載荷同時作用于結

13、構而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結構而引起的變形的代數(shù)和。,彎曲變形,彎曲變形,彎曲變形,q,A,B,F,A,B,A,B,Me,當梁上受有幾種不同的載荷作用時，都可以將其分解為各種載荷單獨作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉角，再將所得結果疊加后，便得到幾種載荷同時作用的結果。, 疊加法應用于多個載荷作用的情形, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,已知：簡支梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。,求：C截面的撓度wC ；B截面的轉角B。,例 題 3, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,解：1.將梁上的載荷變?yōu)槿N簡單的情形。, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章

14、彎曲剛度,解：2.由撓度表查得三種情形下C截面的撓度和B截面的轉角。, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,解：3. 應用疊加法，將簡單載荷作用時的結果分別疊加,將上述結果按代數(shù)值相加，分別得到梁C截面的撓度和支座B處的轉角:, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度, 疊加法應用于間斷性 分布載荷作用的情形, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,對于間斷性分布載荷作用的情形，根據(jù)受力與約束等效的要求，可以將間斷性分布載荷，變?yōu)榱喝L上連續(xù)分布載荷，然后在原來沒有分布載荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布載荷，最后應用疊加法。, 疊加法應用于間斷性分布載荷作用的情形,

15、疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,逐段剛化法：,變形后：ABAB BC BC,變形后AB部分為曲線， 但BC部分仍為直線。,C點的位移為：wc,已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。,求：C截面的撓度wC和轉角C。,例 題 4, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,解：1. 首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形,為了利用撓度表中關于梁全長承受均布載荷的計算結果，計算自由端C處的撓度和轉角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,分別畫出這兩種情形下的撓度

16、曲線大致形狀。于是，由撓度表中關于承受均布載荷懸臂梁的計算結果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉角分別為,解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉角, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,兩種情形下自由端的撓度和轉角分別為,解：2再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起的撓度和轉角, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度,解：3將簡單載荷作用的結果疊加, 疊加法確定梁的撓度與轉角,第8章 彎曲剛度, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,返回, 剛度計算的工程意義, 梁的剛度條件, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度, 剛度計算的工程意

17、義, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,對于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉角過大會影響構件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產生噪聲；機床主軸的撓度過大會影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉角如果過大會增加軸承的磨損等等。, 剛度計算的工程意義, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度, 梁的剛度條件, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據(jù)對零件和構件的不同工藝要求，將最大撓度和轉角(或者指定截面處的撓度和轉角)限制在一定范圍內，即滿足彎曲剛度條件：,上述二式中w和分別稱為許用撓度和許用轉角，均根據(jù)對于不同零件或構件的

18、工藝要求而確定。, 梁的剛度條件, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉角 =0.5。,試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。,B,例 題 5, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,解：根據(jù)要求，所設計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。,B,1查表確定B處的轉角,由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,1查表確定B處的轉角 由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為,B,2根據(jù)

19、剛度設計準則確定軸的直徑,根據(jù)設計要求，有, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度,B,2根據(jù)剛度設計準則確定軸的直徑 根據(jù)設計要求，有,其中，的單位為rad（弧度），而的單位為（）（度），考慮到單位的一致性，將有關數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑, 彎曲剛度計算,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,第8章 彎曲剛度, 多余約束與靜不定次數(shù),第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,靜不定次數(shù)未知力個數(shù)與獨立平衡方程數(shù)之差,靜定問題與靜定結構未知力（內力或外力）個數(shù) 等于獨立的平衡方程數(shù),靜不定問題與靜不定結構未知力個數(shù)多于獨立 的平衡方程數(shù),多余約束保持結構靜定多余的約束, 多余約束與靜不定次數(shù),第8章 彎曲剛

20、度, 簡單的靜不定梁, 求解靜不定梁的基本方法,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁, 求解靜不定梁示例,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,3-3=0, 求解靜不定梁示例,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,4-3=1, 求解靜不定梁示例,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,532,633,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,應用小變形概念可以推知某些未知量,由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計，靜定梁自由端B處水平位移u=0。既然u=0，在沒有軸向載荷作用的情形下，固定鉸支座和固定端處便不會產生水平約束力，即FAx FBx= 0。,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,應用小變形概念可以推

21、知某些未知量,FAx FBx= 0。,第8章 彎曲剛度,FAx FBx= 0。因此，求解這種靜不定問題只需1個補充方程。可以寫出變形協(xié)調方程為, 簡單的靜不定梁,應用小變形概念可以推知某些未知量,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,應用對稱性分析可以推知某些未知量,FAx= FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MB,對于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時的多余約束力除FBy外，又增加了MB，于是需要兩個補充方程。但是，利用對稱性分析，這種梁不僅結構和約束都對稱，而且外加載荷也是對稱的，即梁的中間截面為對稱面。于是可以確定：,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,FAx=

22、 FBx= 0,FAy= FBy= q l / 2 ,MA=MB,應用對稱性分析可以推知某些未知量,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,與未知力偶MB對應的約束是對截面B轉角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調方程為,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,例 題 5,求: 梁的約束力。,已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI， 長度為l。,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,解：1. 列出平衡方程,2. 列出變形協(xié)調方程,FAy+FBy - ql=0,FAx=0,MA+FByl-ql/2=0,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,3. 列出物性關系,2. 列出變

23、形協(xié)調方程,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁,解：4. 綜合求解,FAy+FBy - ql=0,FAx=0,MA+FByl-ql/2=0,wB=wB(q)+wB(FBy)=0,聯(lián)立解出:,wB(q)=ql4/8EI wB(FBy)= - Fbyl 3 /3EI,FBy =3ql /8 ,FAx=0 ,MA= ql 2/8,FAy =5ql /8 ,第8章 彎曲剛度, 簡單的靜不定梁, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 關于變形和位移的相互關系, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,二梁的受

24、力(包括載荷與約束力)是否相同？,二梁的彎矩是否相同？,二梁的變形是否相同？,二梁的位移是否相同？,正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關系。, 關于變形和位移的相互關系, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, BC段有沒有變形？有沒有位移？沒有變形為什么會有位移？, 總體變形是微段變形累加的結果。, 有位移不一定有變形。, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 關于梁的連續(xù)光滑曲線, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 由M 的方向確定軸線的凹凸性。, 由約束性質及連續(xù)光滑性確定撓度曲 線的大致形狀及位置。, 關于梁的連續(xù)光滑曲線, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，

25、畫出梁的撓度曲線的大致形狀, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,試根據(jù)連續(xù)光滑性質以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的大致形狀, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 關于求解靜不定問題的討論, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調條件的建立, 關于求解靜不定問題的討論, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調條件的建立, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,利用對稱性 FQc=0,再利用對稱性

26、 c=0,橫截面C 處兩側梁的相互約束稱為內約束,靜定系統(tǒng)的選取與變形協(xié)調條件的建立, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 關于靜不定結構性質的討論, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,在靜不定結構中，某一桿剛度變化，其內力有沒有變化？,在靜定結構中，某一桿剛度變化，其內力有沒有變化？, 關于靜不定結構性質的討論, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,在靜不定結構中，某一桿比規(guī)定長度短了一點，裝配后桿內會不會產生內力？,在靜定結構中，某一桿比規(guī)定長度短了一點，裝配后桿內會不會產生內力？, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,T C,在靜不定結構中，某一桿溫度變化，桿件內會不會產生內力？,T C,在靜定結構中，某一

27、桿溫度變化，桿件內會不會產生內力？, 結論與討論,第8章 彎曲剛度, 提高剛度的途徑, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,6-7 提高梁彎曲剛度的措施：,彎曲變形,增大EI。 減小跨度。 改善梁的受力情況。 增加支承。,減小最大彎矩,彎曲變形, 合理布置外力（包括支座），使 M max 盡可能小。,彎曲變形,因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I 外，主要是減小梁的長度l。當梁的長度無法減小時，則可增加中間支座。,例如，在車床上加工較長的工件時，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個中間支架。, 結論與討論,第8章 彎曲剛度,謝 謝 大 家,返回,N

28、anjing University of Technology,返回總目錄,曲 率,二 曲率及其計算公式,一 弧微分,三 曲率圓與曲率半徑,規(guī)定：,一 弧微分,易看出：弧長 是 的單調增函數(shù).,下面求 的導數(shù)與微分,弧微分公式,-描述曲線局部性質（彎曲程度）的量。,),),1）弧段彎曲程度越大轉角越大，,2）轉角相同弧段越短彎曲程度越大。,1 曲率的定義,),二、曲率及其計算公式,),（,設曲線C是光滑的，,（,定義,曲線C在點M處的曲率,例1 直線的曲率處處為零.,例2 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且半徑越小曲率越大.,2 曲率的計算公式,解：A點處梁的曲率半徑為 , 即,彎曲變形,長度

29、為L，重量為P的等截面直梁，放置在水平剛性平面上。若在端點施力P/3上提，未提起部分仍保持與平面密合，試求提起部分的長度。,解：建立坐標系如圖,x處彎矩方程為：,例1 圖示B端作用集中力P的懸臂梁，求其撓曲線方程。,例2 求圖示梁受集中力F作用時的撓曲線方程。,解： 1、求支反力,解：建立坐標系并寫出彎矩方程,寫出微分方程的積分并積分,彎曲變形,例2 求等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉角。,應用位移邊界條件求積分常數(shù),彎曲變形,寫出彈性曲線方程并畫出曲線,最大撓度及最大轉角,彎曲變形,彎曲變形,例3 用積分法求圖示梁（剛度為EI）的 wA 、B 、 A 及最大撓度。,解：求支反力，列彎矩

30、方程：,建立微分方程并積分：,用邊界條件確定積分常數(shù)：,C,l/2,l/2,A,B,彎曲變形,例3 用積分法求下列各梁（剛度為EI）的 wA 、B 、 A 及最大撓度。,C,l/2,l/2,A,B,列撓度方程和轉角方程，求指定截面的撓度和轉角：,例4 用積分法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,解：求支反力，列彎矩方程：,建立微分方程并積分：,C,l,a,A,B,F,彎曲變形,例4 用積分法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,彎曲變形,用邊界條件確 定積分常數(shù)：,列撓度方程和轉角方程，求指定截面的撓度和轉角：,彎曲變形,例5試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。,彎曲變形,例5

31、 試畫出下列梁的撓曲線大致形狀，并寫出邊界條件。,解：作彎矩圖：,邊界條件：,解：作彎矩圖：,邊界條件：,解：作彎矩圖：,邊界條件：,解：作彎矩圖：,邊界條件：,例：求外伸梁C點的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,將梁各部分分別 引起的位移疊加,1、BC部分引起的位移wc1、c1,2、AB部分引起的位移wC2、 C2,C,A,B,P,B2,B2,例1 按疊加原理求A截面轉角和C截面撓度。,解、載荷分解如圖,由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。,彎曲變形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,彎曲變形,q,F,F,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,疊加,

32、例2 按疊加原理求C截面撓度。,解：載荷無限分解如圖,由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。,疊加,彎曲變形,C,表1,例3 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wB 和 B 。,解：,彎曲變形,例4 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wB 和 B 。,解：,彎曲變形,2,彎曲變形,例5 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wC 。,wC1,wC2,wC,解：,1,例6 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,解：將載荷分解：,=,+,彎曲變形,表2,例6 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,解：將載荷分解：,彎曲變形,表2,=,+,彎曲變形,二、結構形式疊加（逐段剛化法）：,例7

33、 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,解：,=,+,彎曲變形,表1,表2,例7 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,+,=,彎曲變形,表1,表2,例7 用疊加法求梁（剛度為EI）的 wA 和 B 。,+,彎曲變形,表1,表2,例8 已知：梁的剛度為EI，欲使 wD 0，求：F 與 q 的關系及 wC 。,解：,彎曲變形,C,a,A,B,a,a,D,例8 已知：梁的剛度為EI，欲使 wD 0，求：F 與 q 的關系及 wC 。,彎曲變形,6-4 梁的剛度校核,一、梁的剛度條件,其中 稱為許用轉角；w 稱為許用撓度。通常依此條件進行如下三種剛度計算：,、校核剛度：,、設計截

34、面尺寸； 、確定許可載荷。,彎曲變形,例9 一空心圓桿，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C截面的w=110-5m,B截面的=0.001rad,試核此桿的剛度。,=,+,+,=,彎曲變形,=,+,+,圖1,圖2,圖3,解：結構變換，查表求簡單 載荷變形。,彎曲變形,表1,表2,=,+,+,圖1,圖2,圖3,彎曲變形,疊加求復雜載荷下的變形,校核剛度,彎曲變形,例10 已知：F=20KN，E=200GPa，規(guī)定A處的許可轉角為： =0.50 。 試確定軸的直徑。,解：用逐段剛化法：（設軸的直徑為d）,=,+,彎曲變形,表1,6-6 簡單超靜定梁的求解方法,處理方法：變形協(xié)調方程、物理方程與平衡方程相結合，求全部未知力。,解法：建立靜定基相當