高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.3蝗制課件2北師大版必修.ppt

1、1.3 弧度制,【知識提煉】 1.弧度制的概念 (1)1弧度角:在單位圓中,長度為_所對的圓心角為1弧度角,它 的單位符號是rad,讀作弧度. (2)弧度制:以_作為單位來度量角的單位制.,1的弧,弧度,2.角度與弧度的互化,3.弧度數(shù)與弧度制的作用,正數(shù),負數(shù),0,【即時小測】 1.思考下列問題 (1)長度為1的弧所對的圓心角一定是1弧度角嗎? 提示:不一定.只有半徑也是1時圓心角才是1弧度的角.否則圓心角不是1弧度角.,(2)弧度的計算公式為|= ,為什么帶絕對值號? 提示:因為角度有正角、負角之分,而弧長為正值,當(dāng)0時,=- .,2.如果一扇形的弧長為,半徑等于2,則扇形所對圓心角為()

2、 A.B.2 【解析】選C.由題意=2,故= .,3.將-300化為弧度為_. 【解析】-300 =- . 答案:-,4. 化為度,結(jié)果為_. 【解析】rad=180,則1rad= 所以 答案:150,5.把-570化為2k+(02,kZ)的形式為_. 【解析】 答案:,【知識探究】 知識點1 角度制與弧度制 觀察圖形,回答下列問題: 問題:怎樣理解、記憶角度制與弧度制的互化公式?,【總結(jié)提升】 1.角度制與弧度制的差別 (1)定義不同. (2)單位不同.弧度制是以“弧度”為單位,單位可以省略,而角度制是以“度”為單位,單位不能省略. (3)弧度制是十進制,而角度制是六十進制.,2.角度制與弧

3、度制的互化 (1)不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關(guān)的值,僅和半徑與所含的弧這兩者的比值有關(guān). (2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉(zhuǎn)化.,3.學(xué)習(xí)弧度制的注意點,知識點2 弧度制下的弧長公式及扇形面積公式 觀察圖形,回答下列問題: 問題:怎樣利用角度制下的扇形面積公式推導(dǎo)弧度制下的扇形面積公式?,【總結(jié)提升】 關(guān)于扇形的面積公式 (1)公式中共四個量分別為,l,R,S,由其中的兩個量可以求出另外的兩個量,即知二求二. (2)運用弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式明顯比角度制下的公式簡單得多,但要注意它的前提是為弧度數(shù).,(3)在運用公式時,還應(yīng)熟練地掌握這兩

4、個公式的變形運用: ,【題型探究】 類型一 角度與弧度的互化 【典例】1.(2015寶雞高一檢測)角2013的弧度表示為(),2.下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是() A.6730化成弧度是 rad B.- 化成度是-600度 C.-150化成弧度是 rad D. 化成度是15度,3.把下列各角寫成2k+(02,kZ)的形式,并指出它們是第幾象限角:,【解題探究】1.典例1,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么? 提示: 2.用弧度判斷角所在的象限一般考慮哪個范圍? 提示:利用與該角終邊相同的角(02)所在的象限判斷.,2.選C.因為1=180， A中， 正確. B中， 正確 C中： 錯誤 D中， 正確

5、,3. 是第三象限角. 所以-315可以表示為（-2） + ,是第一象限角. 是第一象限角.,【方法技巧】角度制與弧度制互化的原則、方法以及注意點 (1)原則:牢記180=rad,充分利用1= rad和1 rad= 進行換算. (2)方法:設(shè)一個角的弧度數(shù)為,角度數(shù)為n, 則,(3)注意點 用“弧度”為單位度量角時,“弧度”二字或“rad”可以省略不寫; 用“弧度”為單位度量角時,常常把弧度數(shù)寫成多少的形式,如無特別要求,不必把寫成小數(shù); 度化弧度時,應(yīng)先將分、秒化成度,再化成弧度.,【拓展延伸】 1.用弧度數(shù)表示象限角,2.弧度制下與角終邊相同的角的表示 在弧度制下,與角的終邊相同的角可以表

6、示為|=2k+,kZ,即與角終邊相同的角可以表示成加上2的整數(shù)倍.,【變式訓(xùn)練】(1)15730=_rad. (2) rad=_. (3)如圖所示,用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.,【解析】(1)因為15730=157.5, 所以 答案: (2)因為 答案:72,(3)按逆時針方向,在-范圍內(nèi)與角 終邊相同的角為 故所求集合S為 所求集合為,類型二 用弧度制表示角的集合 【典例】1.終邊經(jīng)過點(a,a)(a0)的角的集合是(),2.用弧度制表示終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)角的集合(包括邊界)并判斷2015是不是這個集合的元素.,【解題探究】1.典例1中,在0,2內(nèi),哪個角的終邊經(jīng)

7、過點(a,a) (a0)? 提示: 的終邊經(jīng)過點(a,a)(a0). 2.典例2中,在0,2內(nèi)終邊在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的集合(包括邊界)是什么? 提示:,【解析】1.選D.終邊經(jīng)過點(a,a)(a0)的角的集合為 終邊經(jīng)過點(a,a)(a0)的角的集合為 所以終邊經(jīng)過點(a,a)(a0)的角的集合是,2.因為150= .所以終邊在陰影區(qū)域內(nèi)角的集合為 因為2015=215+5360= +10, 又 所以2015= S,即2015是這個集合的元 素.,【方法技巧】 1.用弧度表示角的注意點 (1)注意角度與弧度不能混用. (2)各終邊相同的角需加2k,kZ. (3)求兩個角的集合的交集時,注意應(yīng)用數(shù)

8、軸直觀確定,可對k進行適當(dāng)?shù)刭x值.,2.解決“弧度”與“角度”概念問題的關(guān)鍵點 (1)引入弧度制后,角的集合與實數(shù)集建立了一一對應(yīng)關(guān)系. (2)用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任意非零角,單位不同,數(shù)量也不同. (3)“角度”與“弧度”可以按照“180=rad”這一等量關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化.,【變式訓(xùn)練】用弧度表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合.,【解析】(1)以O(shè)B為終邊的330角可看成-30角,化為弧度,即- , 而 所以終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合為|2k- 2k+ , kZ. (2)因為30= rad,210= rad,

9、這兩個角的終邊所在的直線相同,因此終邊在直線AB上的角為=k + ,kZ,而終邊在y軸上的角為=k+ ,kZ,從而終邊落在陰影 部分內(nèi)的角的集合為|k+ k+ ,kZ.,類型三 弧長公式與面積公式的應(yīng)用 【典例】1.(2015福州高一檢測)已知扇形的圓心角為120,半徑 為 cm,則此扇形的面積為_. 2.已知半徑為10的O中,弦AB的長為10.求弦AB所對的圓心角的弧 度值.,【解題探究】1.題1中據(jù)已知條件,可利用扇形的哪個面積公式求解? 提示:由于已知扇形的圓心角和半徑,可利用扇形面積公式S= lR. 2.圓心角的角度值是多少? 提示:圓心角的角度值是60.,【解析】1.設(shè)扇形弧長為l,

10、 因為 所以 所以 答案:cm2,2.由O的半徑r=10=AB,知AOB是等邊三角形, 所以=AOB=60= .,【延伸探究】 1.(改變問法)若題2中條件不變,改為求所在扇形的弧長l. 【解析】因為= ,r=10, 故l=r= .,2.(改變問法)若題2條件不變改為求弧所在的弓形面積S. 【解析】S扇形= 而SAOB= 所以S=S扇形-SAOB=,【方法技巧】弧度制下扇形面積公式的應(yīng)用 (1)涉及的公式:弧長l=|r,周長2r+l,面積S= lr= r2. (2)解題策略:先分析題目條件中已知哪些量,然后利用相關(guān)的公式直接求解或解方程組求解.,【補償訓(xùn)練】(2015石家莊高一檢測)已知扇形A

11、OB的周長為8cm,面積為3cm2,則其圓心角為(),【解析】選A.由題意 解得,規(guī)范解答 弧長與扇形面積問題 【典例】(12分)(2015沈陽高一檢測)已知扇形的周長為40cm,當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大?最大面積是多少?,【審題指導(dǎo)】 要求扇形面積的最大值,首先利用半徑,圓心角表示出扇形面積,再利用周長40建立半徑與圓心角的關(guān)系,用其中的一個表示另一個后代入,配方求最值.,【規(guī)范解答】設(shè)扇形的半徑和弧長分別為r和l, 由題意可得2r+l=40,2分 所以l=40-2r,4分 由l=40-2r0,解得0r20, 6分,所以扇形的面積 S= lr= (40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100, 8分 因為0r20, 所以當(dāng)r=10時,面積取得最大值100,9分 當(dāng)r=10時,弧長l=20,圓心角為2,11分 所以當(dāng)半徑為10、圓心角為2時,扇形的面積最大,最大值為100. 12分,【