初二數(shù)學(xué)輔助線專題

1、輔助線專題常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積

2、的知識解答作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運(yùn)而生。其對稱

3、中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：面積找底高，多邊變?nèi)?。如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。五、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目構(gòu)造全等三角形幾種方法一、延長中線構(gòu)造全等三角形例1. 如圖1，AD是ABC的中線，求證：ABAC2AD。二、沿角平分線翻折構(gòu)造全等三角形例2.

4、 如圖3，在ABC中，12，ABC2C。求證：ABBDAC。三、作平行線構(gòu)造全等三角形例3. 如圖5，ABC中，ABAC。E是AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，延長AC到D，使CDBE，連接DE交BC于F。求證：EFFD。四、作垂線構(gòu)造全等三角形例4. 如圖7，在ABC中，BAC90，ABAC。M是AC邊的中點(diǎn)。ADBM交BC于D，交BM于E。求證：AMBDMC。五、沿高線翻折構(gòu)造全等三角形例5. 如圖9，在ABC中，ADBC于D，BADCAD。求證：ABAC。六、繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6. 如圖11，正方形ABCD中，12，Q在DC上，P在BC上。求證：PAPBDQ。例7. 如圖，四邊形ABCD

5、中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四邊形ABCD的面積是24cm2.則AC長是 cm. 8如圖，兩個邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積( )A不變 B先增大再減小 C先減小再增大 D不斷增大MADBCOEFGN七、截長法與補(bǔ)短法， 例7：如圖甲，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。練習(xí)12（4分）如圖，已知ABC中，ABC=90，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為1，l2，l3之間的距離為3，

6、則點(diǎn)B到AC的距離是（）A5BCD考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：過A作ADl3于D，過B作BFAC于F，過C作CEl3于E，則BF的長就是點(diǎn)B到AC的距離，根據(jù)AAS證DABEBC，求出BE=3，根據(jù)勾股定理求出BC、AB、AC，根據(jù)三角形的面積即可求出答案解答：解：過A作ADl3于D，過B作BFAC于F，過C作CEl3于E，則BF的長就是點(diǎn)B到AC的距離ADl3，CEl3，ADB=ABC=CEB=90，DAB+ABD=90，ABD+CBE=90，DAB=CBE，在DAB和EBC中，DABEBC，AD=BE=3，CE=3+1=4，在CEB

7、中，由勾股定理得：AB=BC=5，AC=5，由三角形的面積公式得：SABC=ABBC=ACBF，即55=5BF，即BF=，故選C點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，等腰直角三角形，勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作輔助線后能求出BE、AB、BC、AC的長，主要考查了學(xué)生的推理能力和計算能力18（4分）如圖，過邊長為1的等邊ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PEAC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：過P作PFBC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF

8、=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證PFDQCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可解答：解：過P作PFBC交AC于FPFBC，ABC是等邊三角形，PFD=QCD，APF是等邊三角形，AP=PF=AF，PEAC，AE=EF，AP=PF，AP=CQ，PF=CQ在PFD和QCD中，PFDQCD（AAS），F(xiàn)D=CD，AE=EF，EF+FD=AE+CD，AE+CD=DE=AC，AC=1，DE=故答案為：18如圖，在ABC中，BC=2，ABC=45=2ECB，BDCD，則（2BD）2=168【考點(diǎn)】勾股定理【分析】延長BD至F，使得DF=BD，連結(jié)CF交AB于G根據(jù)中垂線的性質(zhì)和等腰直角三角形

9、的判定和性質(zhì)得到CF=2，BG=CG=2，根據(jù)線段的和差求得FG=22，在RtBGF中，根據(jù)勾股定理即可求解【解答】解：延長BD至F，使得DF=BD，連結(jié)CF交AB于GBDCD，DF=BD，CF=CB=2，DCF=ECB，ABC=45=2ECB，BCG=45，BCG是等腰直角三角形，BC=2，BG=CG=BC=2，F(xiàn)G=22，在RtBGF中，（2BD）2=BF2=BG2+FG2=22+（22）2=168故答案為：168【點(diǎn)評】考查了勾股定理，中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形，難度較大24正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BFAE，交

10、CD于F點(diǎn)，交AE于G點(diǎn)，連結(jié)GD，過A點(diǎn)作AHGD交GD于H點(diǎn).(1)求證：ABEBCF；(2)若正方形邊長為4，AH=，求AGD的面積. 24. 證明：(1)正方形ABCD中，ABE=90，1+2=90， 又AEBF，3+2=90，則1=3 （2分） 又四邊形ABCD為正方形，ABE=BCF=90，AB=BC 在ABE和BCF中， ABEBCF(ASA) （5分）來源:z,zs,（2）延長BF交AD延長線于M點(diǎn)，MDF=90 （6分） 由（1）知ABEBCF，CF=BE E點(diǎn)是BC中點(diǎn)，BE=BC，即CF=CD=FD，在BCF和MDF中， BCFMDF(ASA) BC=DM，

11、即DM=AD，D是AM中點(diǎn) （8分） 又AGGM，即AGM為直角三角形， GD=AM=AD 又正方形邊長為4，GD=4 SAGD=GDAH=4= 1、在ABC中，AB=AC，D為射線BC上一點(diǎn)，DB=DA，E為射線AD上一點(diǎn)，且AE=CD,連接BE。（1）如圖2，若BE=2CD，連接CE并延長，交AB于點(diǎn)F，求證：CE=2EF.（2）如圖3，若BEAD，垂足為點(diǎn)E,求證：24如圖1，ABC中，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D，連接DE（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求ABC的周長；（2）如圖2，若AB=BC，AD=BD，ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F，求證：BF=DE；（3）如圖3，若

12、ABBC，AD=BD，將ADC沿著AC翻折得到AGC，連接DG、EG，請猜想線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出AB，得出BC，即可得出結(jié)果；（2）連接AF，由等腰三角形的性質(zhì)得出3=4，證出ABD是等腰直角三角形，得出DAB=DBA=45，3=22.5，由ASA證明ADFBDF，得出AF=BF，2=3=22.5，證出AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，即可得出結(jié)論；（3）作DHDE交BE于H，先證明ADEBDH，得出DH=DE，AE=BH，證出DHE是等腰直角三角形，得

13、出DEH=45，3=45，由翻折的性質(zhì)得出DE=GE，3=4=45，證出DH=GE，DHGE，證出四邊形DHEG是平行四邊形，得出DG=EH，即可得出結(jié)論【解答】（1）解：如圖1所示：AB=BC，BEAC，AE=CE，AEB=90，ADBC，ADC=90，DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，AB=，BC=，ABC的周長=AB+BC+AC=2+2；（2）證明：連接AF，如圖2所示：AB=BC，BEAC，3=4，ADC=90，AD=BD，ABD是等腰直角三角形，DAB=DBA=45，3=22.5，1+C=3+C=90，1=3=22.5，DF平分ABD，ADF=BDF，在ADF和BDF中，ADFBDF（SAS），AF=BF，2=3=22.5，EAF=1+2=45，AEF是等腰直角三角形，AF=AE，DE=AE，BF=DE；（3）解：BE=DG+AE；理由如下：作DHDE交BE于H，如圖3所示：BEAC，ADBC，1+ACD=2+ACD=90，1=2，ADE=90ADH=BDH，在ADE和BDH中，ADEBDH（ASA），DH=DE，AE=BH，DHE是等腰直角三角形，DEH=45，3=90DEH=45，ACD翻折至ACG，DE=GE，3=