圖形變換共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn).習(xí)題集(2014-2015)

1、共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)真題鏈接【例1】 下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）（2013北京中考）【答案】A【例2】 在中，（），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段（1）如圖1，直接寫(xiě)出的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，判斷的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)，若，求的值（2013北京中考）【答案】（1）；（2）是等邊三角形證明：連結(jié)，是等邊三角形，又，又，是等邊三角形（3）是等邊三角形，又，課堂練習(xí)一、 旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)【例3】 下圖中，不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（ ）【答案】【例4】 有下列四個(gè)說(shuō)法，其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ）圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，位置保持不變的點(diǎn)只有旋轉(zhuǎn)中心；圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，

2、圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀和大小都沒(méi)有發(fā)生變化A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】【例5】 如圖，若正方形DCEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，則圖形所在平面內(nèi)可作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有（ ）個(gè)A1B2C3D4【答案】【解析】本題很多考生容易做錯(cuò)，將答案選為，認(rèn)為只有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，但是一定要注意邊的中點(diǎn)也是一個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，所以應(yīng)該有3個(gè)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【例6】 如圖，這是一個(gè)正面為黑，反面為白的未拼完的拼木盤，給出如下四塊正面為黑、反面為白的拼木，現(xiàn)欲拼滿拼木盤并使其顏色一致，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)選擇的拼木是（ ）A B

3、C D【答案】【解析】將所給的拼木分別嘗試拼接或由拼木盤觀察，直接選出拼木A、C和D旋轉(zhuǎn)之后都不能與圖形拼滿，B旋轉(zhuǎn)180后可得出與圖形相同的形狀，故選B【例7】 已知：如圖，若線段CD是由線段AB經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到的求作：旋轉(zhuǎn)中心O點(diǎn)【答案】分兩類：（1）A與C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)（2）B與C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)（1）的作法：首先，連結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線l1；其次，連結(jié)BD，作線段BD的垂直平分線l2，與l1交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)為所求同理可作出（2）的O選點(diǎn)【解析】采用旋轉(zhuǎn)的作圖方法和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行解題【例8】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)若將以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則旋轉(zhuǎn)中

4、心的坐標(biāo)是（ ）A B C D（2014西城期末）【答案】C【解析】旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的垂直平分線，故選C【例9】 實(shí)驗(yàn)操作（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，若將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中畫(huà)出點(diǎn)及；（2）如圖，在菱形網(wǎng)格圖（最小的菱形的邊長(zhǎng)為，且有一個(gè)內(nèi)角為）中有一個(gè)等邊，它的頂點(diǎn)、都落在格點(diǎn)上，若將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，請(qǐng)?jiān)诹庑尉W(wǎng)格圖中畫(huà)出其中，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為_(kāi)圖1 圖2（2014石景山一模）【答案】（1）畫(huà)出點(diǎn)，畫(huà)出（2）如圖所示：旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為二、中心對(duì)稱【例10】 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是

5、中心對(duì)稱圖形的是（ ）ABCD（2014昌平一模）【答案】A【例11】 下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）ABCD（2014海淀一模）【答案】A【例12】 有五張形狀、大小、質(zhì)地都相同的卡片，上面分別畫(huà)有下列圖形：正方形；正三角形；平行四邊形；等腰梯形；圓將卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，正面圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的概率是（ ）ABCD（2014東城一模）【答案】B【例13】 已知：如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH成中心對(duì)稱，試畫(huà)出它們的對(duì)稱中心，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由【答案】【解析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，分別連結(jié)CG、BF，則它們的交點(diǎn)O為兩四邊形的對(duì)稱中心其理

6、由是關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而CG、BF兩線段不共線，所以它們的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心三、共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之全等【例14】 如圖，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，、是等邊三角形，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，求證：是等邊三角形【答案】，又、分別是、的中點(diǎn)，是等邊三角形【例15】 在等邊中，于點(diǎn)（1）如圖，請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段與之間的數(shù)量關(guān)系：_；（2）如圖，若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），連結(jié)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連結(jié)，猜想線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖，若點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（）中的其他條件不變，按照（）中的作法，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出線段、之間的數(shù)量關(guān)系（2

7、014大興一模）【答案】（1）（2）理由如下：線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，等邊三角形，在和中，（3）如圖，【例16】 已知：等邊中，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)側(cè)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，（）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請(qǐng)利用圖證明，如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，直接判斷（）中的結(jié)論是否依然成立？不必給出證明或說(shuō)明理由（2014通州一模）【答案】（1）；（2）與的相等關(guān)系依然成立證明：連接、，、分別是、的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形是等邊三角形，MD=，=60

8、，是等邊三角形，（3）與的相等關(guān)系依然成立，畫(huà)出正確圖形【例17】 如圖1，已知，是等邊三角形，點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連結(jié)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)（1）如圖1，猜想_；（2）如圖2，3，若當(dāng)是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想的度數(shù)，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若，且，求的長(zhǎng)（2014東城一模）【答案】（1）（2）證明：如圖，以是銳角為例是等邊三角形，又由題意可知，設(shè)與交于點(diǎn)，（3）由題意可求，又由（2）可證可證垂直平分，為等腰直角三角形，【例18】 問(wèn)題解決如圖，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，（1）如圖，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)恰好

9、落在邊上時(shí)，設(shè)的面積為，的面積為，那么與的數(shù)量關(guān)系是_；ACA（D）B（E）CDE圖1 圖2B（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖所示的位置時(shí)，小明猜想（）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想（3）如圖，點(diǎn)在其角平分線上，交于點(diǎn)，若點(diǎn)在射線上，并且，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的的長(zhǎng)ABCDENM圖3ABCDE圖4（2014通州一模）【答案】（1）相等ABCDENM（2）證明：、分別是和中、邊上的高，且，（3）或【例19】 將等腰和等腰按圖1方式放置，邊與邊重合，將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度，的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)（1）如圖2，與的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_；（2）在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求

10、出的長(zhǎng)；（3）在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)（2014房山一模）【答案】（1），（2）如圖所示，和都是等腰三角形， ，四邊形為正方形， ，圖4（3）如圖4，取中點(diǎn)，連結(jié)、，在此旋轉(zhuǎn)過(guò)程中（），由（2）知，當(dāng)時(shí)，最大，且，此時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線是以為圓心，長(zhǎng)為半徑的弧與弧的和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)為：【例20】 如圖，正方形與正方形的邊、（）在一條直線上，正方形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，兩個(gè)正方形只有點(diǎn)重合，其它頂點(diǎn)均不重合，連接、（1）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置時(shí)，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，連接，直接寫(xiě)出的度數(shù)；（3）如圖，如果，求點(diǎn)到的距離（2014昌平一模）【答案】（1

11、）證明：如圖2，四邊形是正方形，四邊形是正方形，（2）解：或（3）解：如圖3，連接、由已知，可知又為正方形的對(duì)角線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到的距離為即點(diǎn)到的距離為【例21】 四邊形是正方形，是等腰直角三角形，連接，為的中點(diǎn)，連接（1）如圖1，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，直接寫(xiě)出與的位置關(guān)系及的值；（2）將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請(qǐng)問(wèn)（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由（3）將圖1中的，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，求的長(zhǎng)及的值（2014西城一模）【答案】（1），；（2）倍長(zhǎng)至，連接、；在與中，（SAS），在與中 （SAS） ，為等腰又為的中點(diǎn)，故（

12、1）中的結(jié)論仍然成立；（3）連接，則，；【例22】 如圖1，已知是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)作正方形，使點(diǎn)、分別在和上，連接，（1）試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系是_；（2）將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，判斷（）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)利用圖證明你的結(jié)論；若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值（2014燕山一模）【答案】（1）；（2）成立以下給出證明：如圖，連接，在中，為斜邊中點(diǎn)，四邊形為正方形，且，在和中，由可得，當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，最大值為如圖，此時(shí)【例23】 如圖，在矩形ABCD中, 點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線上，且DF= DC, M為AB邊上一點(diǎn), N為MD的中點(diǎn), 點(diǎn)E在直線CF上（點(diǎn)E、C不重合

13、）且若AB=BC, 點(diǎn)M、A不重合, BN=NE，試探究BN與NE的位置關(guān)系及的值, 并證明你的結(jié)論;【答案】如圖，延長(zhǎng)BN交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、，過(guò)作，交于點(diǎn) 四邊形是矩形， ， 為的中點(diǎn)， , ， ， , ， = , ， 四、共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之相似【例24】 如圖，在中，且，以為腰作等腰直角三角形,以為斜邊作等腰直角三角形，連接交于點(diǎn)，求的度數(shù)【答案】方法一：如圖1，平移線段使得點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接四邊形是平行四邊形，,，為等腰直角三角形方法二：如圖2，利用相似，過(guò)程略【例25】 在中，在中，點(diǎn)、分別在、上（1）如圖，若，則與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，則與的數(shù)量關(guān)系是_；

14、（3）若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖所示的位置，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明（用含的式子表示）（2014朝陽(yáng)一模）【答案】（1）（2）（3）過(guò)點(diǎn)作交于，又，【例26】 已知：，都是等邊三角形，是與的中點(diǎn)，連接，（1）如圖，當(dāng)與在同一條直線上時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）固定不動(dòng)，將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）角，如圖所示，判斷（）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，說(shuō)明理由； （3）固定不動(dòng)，將圖中的繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（）角，作于點(diǎn)設(shè)，線段，所圍成的圖形面積為當(dāng)，時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)的的取值范圍（2014西城期末）【答案】（1），（2）證明：連接，在等邊三角形中，為的中點(diǎn)

15、，同理，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，（3）解：（）當(dāng)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）角時(shí)， （）（）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）角時(shí)，可證，（）綜上，（）【例27】 已知：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足，連結(jié)，（）填空：與相似的三角形是_，_；（用含的代數(shù)式表示）（）求的度數(shù)；（）猜想線段，和之間的等量關(guān)系并證明你的結(jié)論（12年西城期末）【答案】解：（）與相似的三角形是，；（）由（）可得（如圖）四邊形是正方形，分別平分正方形的兩個(gè)外角，（）線段，和之間的等量關(guān)系是（只猜想答案不證明不給分）證法一：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接則，又，可得在 F中， 證法二：連接，作，與交于點(diǎn)（如圖）可知，四邊形是

16、矩形，在R中，五、費(fèi)馬點(diǎn)與最值【例28】 如圖，是等邊中的一個(gè)點(diǎn)，則的邊長(zhǎng)是_【答案】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則與重合，移到處，移到處，是等邊三角形，在中，且是直角三角形，且又是等邊三角形，是直角三角形，解得【例29】 如圖，在中，是內(nèi)的一點(diǎn)，且，求的度數(shù)【答案】如圖，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使與重合，即為等腰， 又，則【例30】 如圖點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，則=_【答案】【解析】將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，證明為等腰直角，為直角三角形，則【例31】 如圖，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_【答案】由旋轉(zhuǎn)的概念知，由知，所以勾股定理得【例32】 如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)

17、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、（1）求證：（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小；當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)【答案】（1）略（2）當(dāng)點(diǎn)落在的中點(diǎn)時(shí)，的值最小如圖，連接，當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小理由如下：連接由（1）知，是等邊三角形根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得最短當(dāng)點(diǎn)位于與的交點(diǎn)處時(shí)的值最小，即等于的長(zhǎng)（3）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，在中，解得，（舍去負(fù)值）正方形的邊長(zhǎng)為【例33】 閱讀下列材料對(duì)于任意的，若三角形內(nèi)或三角形上有一點(diǎn)，若有最小值，則取到最小值時(shí)，點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)若三角形內(nèi)角

18、均小于，則滿足條件時(shí)，點(diǎn)既為費(fèi)馬點(diǎn)解決問(wèn)題：（1）如圖，中，三個(gè)內(nèi)角均小于，分別以、為邊向外作等邊、，連接、交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)（即證明）且（2）如圖，點(diǎn)為三角形內(nèi)部異于點(diǎn)的一點(diǎn)，證明：（3）若，直接寫(xiě)出的最小值【答案】（1）詳細(xì)證明過(guò)程略：提示，如圖在線段上取點(diǎn)，使得第一階段：如圖一，先證明，可得，因此，得證明第二階段：如圖二，因?yàn)?，可證為等邊三角形，則第三階段：如圖三，證明,則，且（2）詳細(xì)證明過(guò)程略，如圖四，以為邊構(gòu)造等邊，連接，證明則，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則（3）最小值為【例34】 已知：，以為一邊作正方形，使、兩點(diǎn)落在直線的兩側(cè)（1）如圖，當(dāng)時(shí)，求及的長(zhǎng)；（2）當(dāng)變化，且其它

19、條件不變時(shí)，求的最大值及相應(yīng)的大小【答案】（1）過(guò)點(diǎn)作，且，連接，證明， 即可求出,過(guò)點(diǎn)作，應(yīng)用解直角三角形的知識(shí)即可求出，過(guò)程略相信會(huì)有部分學(xué)生認(rèn)為，前面的模型好理解，但是為什么這個(gè)題的輔助線，我就想不到呢？老師，你是怎么思考的呢？其實(shí)這就是對(duì)上述模型的理解，第一種理解方式，如圖，已知的是兩個(gè)等邊或等腰三角形，證明全等第二種理解方式，如圖，一個(gè)三角形繞著一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)會(huì)形成兩個(gè)等腰或等邊或等腰直角三角形下面給出連續(xù)的變化圖，輔助線就是這樣想出來(lái)的，屬于第二種理解方式，包括例1，例2的輔助線也是從這個(gè)角度去出發(fā)，（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值為思考方式：如圖，固定不變，所以無(wú)論如何變化，這些條件始終不變，因此就將此問(wèn)轉(zhuǎn)變成“已知，的長(zhǎng)度，求的最大值”，因此只有，三點(diǎn)共線時(shí)，由此反求課后作業(yè)【練1】 如圖，把菱形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE，則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（ ）ABOFBAODCCOEDCOF【答案】【練2】 下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A直角三角形B平行四邊形C菱形D等腰梯形（2014豐臺(tái)一模）【答案】D【練3】 如圖1，若ABC和ADE為等邊三