高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2.2 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）新人教A版選修1-1

1、2.2.2.2 雙曲線方程及性質(zhì)的應(yīng)用課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.若直線x=a與雙曲線-y2=1有兩個(gè)交點(diǎn),則a的值可以是()A.4B.2C.1D.-2【解析】選A.因?yàn)殡p曲線-y2=1中,x2或x-2,所以若x=a與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),則a2或a0,b0)的虛軸長為2,焦距為2,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=x【解析】選B.由題意知:2b=2,2c=2,則可求得a=,則雙曲線方程為-y2=1,故其漸近線方程為y=x.3.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為6,則該雙曲線的離心率為.【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為-=1,則一頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0),一焦點(diǎn)坐標(biāo)

2、為(c,0),一漸近線方程為bx-ay=0,則(a,0)到bx-ay=0的距離為d1=2,(c,0)到bx-ay=0的距離為d2=6.所以=,所以=,所以=3,所以e=3.答案:34.已知雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),實(shí)軸在y軸上,離心率為2,且雙曲線兩支上的點(diǎn)的最近距離為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【解析】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸在y軸上,所以焦點(diǎn)在y軸上.因?yàn)殡p曲線兩支上的點(diǎn)的最近距離為4,即兩頂點(diǎn)之間的距離為4,所以a=2.又因?yàn)殡x心率為2,所以c=4,所以b2=c2-a2=12,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.答案:-=15.求經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線4x2-y2=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.【解析】當(dāng)直線斜

3、率存在時(shí),設(shè)所求直線方程為y-2=k,代入雙曲線方程4x2-y2=1,得(4-k2)x2-2kx-=0.(1)當(dāng)k=2時(shí),直線方程為y=2x+1,與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)當(dāng)k=-2時(shí),直線方程為y=-2x+3,與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).(3)當(dāng)直線和雙曲線相切時(shí),僅有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)由得k=,可得直線方程為y=x+.當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線x=也滿足題意.故經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線4x2-y2=1僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有四條,它們的方程分別為y=2x+1,y=-2x+3,y=x+,x=.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.設(shè)雙曲線x2-=1上有兩點(diǎn)A,B,AB的中點(diǎn)為M(1,2),求直線AB的方程.【解析】方法一(用根

4、與系數(shù)的關(guān)系解決):顯然直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0,當(dāng)0時(shí),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則1=,所以k=1,滿足0,所以直線AB的方程為y=x+1.方法二(用點(diǎn)差法解決):設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).因?yàn)閤1x2,所以=,所以kAB=1,所以直線AB的方程為y=x+1,代入x2-=1滿足0.所以直線AB的方程為y=x+1.2.(2017萊蕪高二檢測)求以過原點(diǎn)且與圓x2+y2-4x+3=0相切的兩直線為漸近線,且過橢圓y2+4x2=4兩焦點(diǎn)的雙曲線方程.【解析】圓x2+y2-4x+3=0的圓心為(2,0),半徑r=1.設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為y=kx.由圓的切線的性質(zhì),可得=r=1,解得k=.所以雙曲線的漸近線方程為y=x,從而所求的雙曲線方程可設(shè)為-=(0)