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文檔簡介

1、方法1 線性相關(guān)法,若非零向量組A：1, 2, n線性無關(guān)，則A的極大無關(guān)組就是1, 2, n,若非零向量組A線性相關(guān)，則A中必有極大無關(guān)組,方法2 逐個判別法,給定一個非零向量組A：1, 2, n,1 設(shè)1 0，則1線性相關(guān)，保留1,2 加入2，若2與 1線性相關(guān)，去掉2；若2與 1線性無關(guān)，保留1 ，2；,3 依次進行下去，最后求出的向量組就是所求的極大無關(guān)組,求A的極大無關(guān)組,解：因為a1非零，故保留a1,取a2，因為a1與a2線性無關(guān)，故保留a1，a2,取a3，易得a3=2a1+a2線性無關(guān)，故線性相關(guān)。,所以極大無關(guān)組為a1，a2,初等行變換保持了列向量間的線性無關(guān)性 和線性表出性,

2、方法3 初等變換法,可以證明，若對矩陣A僅施以初等行變換 得矩陣B, 則B的列向量組與A的列向量組間有 相同的線性關(guān)系。（行變換對列沒有影響）,即初等行變換保持了列向量間的線性無關(guān)性和 線性表出性。,同理, 也可以用向量組中各向量為行向量組成矩陣, 通過做初等列變換來求向量組的極大無關(guān)組。,(1)以向量組中各向量為列向量構(gòu)成矩陣A; (2)對A做初等行變換將該矩陣化為行階梯形矩陣,則 可求出r(A)=r(向量組的秩為r，說明向量組中線性無 關(guān)的向量最多有r個，任何r+1個線性相關(guān)). (3)在A中找出r個線性無關(guān)的向量即是所求向量組的 極大無關(guān)組，這一步需將行階梯型化為行最簡形。,由此提供了求

3、向量組的極大無關(guān)組的方法：,例 求向量組 1=(2,1,3,-1)T, 2=(3,-1,2,0)T, 3=(1,3,4,-2)T, 4=(4,-3,1,1)T, 的秩和一個極大無關(guān)組, 并把不屬于極大無關(guān)組的向量用極大無關(guān)組線性表示。,解 以1,2,3,4為列構(gòu)造矩陣A, 并實施初等行變換化為行階梯形矩陣求其秩：,知r(A)=2, 故向量組的極大無關(guān)組含2個向量 而兩個非零行的非零首元分別在第1, 2列, 故1,2為向量組的一個極大無關(guān)組,事實上，,知r(1,2)=2, 故1,2 線性無關(guān),求極大無關(guān)組方法,找階梯型矩陣非零行的非零首元所在的列,為把3,4用1,2線性表示, 把A變成行最簡形矩陣,記矩陣B=(1, 2, 3, 4),因為初等行變換保持了列向 量間的線性表出性，因此向量1,2,3,4與向量1, 2, 3, 4之間有相同的線性關(guān)系。,因此3=21-2

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