拉普拉斯變換2015

1、、概述傅立葉分析方法之所以在信號與系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當廣泛的信號都可以表示成復指數(shù)信號的線性組合。以傅立葉變換為基礎的頻域分析方法的優(yōu)點在于它給出的結果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，即傅立葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外，在求時域響應時運用傅立葉反變換對頻率進行的無窮積分求解有一定的困難。為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，還可利用拉普拉斯（Laplace）變換擴大信號變換的范圍。其優(yōu)點是求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍；缺點是物理概念不如傅立葉變

2、換那樣清晰。傅立葉變換是以復指數(shù)函數(shù)中的特例，即以和為基分解信號的。對于更一般的復指數(shù)函數(shù)和，也理應能以此為基對信號進行分解。拉普拉斯變換與Z變換的分析方法是傅立葉分析法的推廣，傅立葉分析是它們的特例。一、從傅立葉變換到拉普拉斯變換信號f(t)乘上衰減因子（為任意實數(shù)）后更容易滿足絕對可積條件，再進行傅立葉變換，得s=+j具有頻率的量綱，稱為復頻率。定義為信號f(t)的雙邊拉普拉斯變換，其中s=+j。若=0，則s=j，就是f(t)的傅立葉變換，即連續(xù)時間傅立葉變換是雙邊拉普拉斯變換在=0 或是在j軸（虛軸）上的特例。f(t)的拉普拉斯變換就是的傅立葉變換。只要有合適的存在，就可以使某些本來不滿

3、足狄利克雷條件的信號在引入后滿足該條件，即有些信號的傅立葉變換不收斂而它的拉普拉斯變換存在。拉普拉斯變換比傅立葉變換有更廣泛的適用性。拉普拉斯變換與傅立葉變換一樣存在收斂問題。并非任何信號的拉普拉斯變換都存在，也不是復平面（s平面）上的任何復數(shù)都能使拉普拉斯變換收斂。使拉普拉斯變換積分收斂的那些復數(shù)s的集合稱為拉普拉斯變換的收斂域（ROC：Region of Convergence），拉普拉斯變換的ROC是非常重要的概念。不同的信號可能會有完全相同的拉普拉斯變換表達式，只是它們的ROC不同，例如和的拉普拉斯變換表達式都是，但前者的ROC為Res-a，后者的ROC為Res-a（Res表示s的實部

4、）。只有拉普拉斯變換表達式連同相應的ROC才能和信號建立一一對應的關系。幾個函數(shù)之和的ROC是各個函數(shù)的ROC的公共部分，ROC總是以平行于虛軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與F(s)的分母的根對應的。如果拉普拉斯變換的ROC包含虛軸，則有F(s)的分子多項式的根稱為零點，分母多項式的根稱為極點。將F(s)的全部零點和極點表示在復平面上就構成了零極點圖。零極點圖及其收斂域可以表示一個F(s)，最多與真實的F(s)相差一個常數(shù)因子。因此，零極點圖是拉氏變換的圖示方法。二、拉普拉斯變換的收斂域當F(s)為有理函數(shù)時，可以歸納出ROC的以下性質：1、ROC是復平面上平行于虛軸的帶狀區(qū)域；2、在R

5、OC內無任何極點；3、時限信號（定義在- t+上的信號）的ROC是整個復平面；4、右邊信號（定義在t0t+上的信號）的ROC是復平面內某一條平行于虛軸的直線的右邊，且位于F(s)最右邊極點的右邊；5、左邊信號（定義在- 0)；10、復域積分：，ROC至少包括R；11、初值定理：如果x(t)是因果信號（即t=0時刻接入的信號）且在t=0處不包含奇異函數(shù)，則；12、終值定理：如果x(t)是因果信號且在t=0處不包含奇異函數(shù)，X(s)除了在s=0處可以有單階極點外，其余極點均在復平面的左半邊，則四、常用拉普拉斯變換對1、單位階躍函數(shù)：2、單邊指數(shù)函數(shù)：（）3、單位沖擊函數(shù)：，在整個復平面收斂4、冪函

6、數(shù)：5、正弦函數(shù)：6、余弦函數(shù)：五、拉普拉斯逆變換（一）定義由，若s=+j在ROC內，則有故該式表明信號x(t)可以分解為復指數(shù)信號est的線性組合。（二）拉普拉斯逆變換的求法1、部分分式展開法：將X(s)展開為已知其逆變換的若干個函數(shù)之和，根據(jù)X(s)的ROC確定每一項的ROC，利用常用信號的變換對與拉普拉斯變換的性質對每一項進行反變換。2、留數(shù)法（當X (s)是有理函數(shù)時）：求出的全部極點，求出X (s)est在ROC左邊的所有極點處的留數(shù)之和，構成x(t)的因果部分；再求出X (s)est在ROC右邊的所有極點處的留數(shù)之和并加負號，構成了x(t)的反因果部分。3、數(shù)值計算方法：利用計算機

7、進行拉普拉斯反變換的計算。4、實例：，ROC：-2Res-1暫時忽略，后續(xù)使用時移性質進行計算。（1）部分分式法：Res-2：（2）留數(shù)法：極點p1=-2位于ROC左邊，極點p2=-1位于ROC右邊，所以5、實例：，Res-1由于分子中s的最高次數(shù)不小于分母中s的最高次數(shù)，所以可先將X(s)化為將分母進行因式分解并展開成部分分式，得該表達式中前兩項很容易發(fā)現(xiàn)其為常用函數(shù)的其拉普拉斯變換，第三項可看做是三角函數(shù)的拉普拉斯變換經過復域平移的結果，即第三項亦可用留數(shù)法求解，即故六、單邊拉普拉斯變換（一）概念單邊拉普拉斯變換是雙邊拉普拉斯變換的特例，也就是因果信號的雙邊拉普拉斯變換。定義式注意積分式下

8、標為0-。因果信號做雙邊拉普拉斯變換和做單邊拉普拉斯變換是完全相同的。單邊拉普拉斯變換也同樣存在ROC，其ROC必然遵從因果信號雙邊拉普拉斯變換時的要求，即單邊拉普拉斯變換的ROC一定位于最右邊極點的右邊。正因為這一原因，在討論單邊拉普拉斯變換時，一般不再強調其ROC。單邊單邊拉普拉斯變換變換的反變換一定與雙邊單邊拉普拉斯變換變換的反變換相同。（二）單邊拉普拉斯變換的性質單邊拉普拉斯變換的大部分性質與雙邊拉普拉斯變換相同，但也有幾個不同的性質，主要表現(xiàn)在時移性質和時域微分性質和時域積分性質1、時移性質x(t)是因果信號時，單邊拉普拉斯變換的時移性質與雙邊拉普拉斯變換一致，即x(t)不是因果信號

9、時，2、時域微分同理，n階導數(shù)的單邊拉普拉斯變換為3、時域積分（三）使用單邊拉普拉斯變換求解微分方程從單邊拉普拉斯變換的性質中發(fā)現(xiàn)，使用單邊拉普拉斯變換可以將微分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程進行求解，且自動包含初始條件。尤其是對于形如且已知t=0-時刻x(t)的各階導數(shù)值的常系數(shù)線性常微分方程能大大降低求解難度，取而代之的是巨大的計算量。七、電路元件的復域模型（僅考慮線性元件）1、電阻元件R線性電阻元件的特性是其兩端電壓u與流過的電流i成正比，比值稱為電阻R，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電阻元件R的復域模型仍為一個阻抗為R的電阻。2、電感元件L線性電感元件的特性是其磁通量與流過的電流i成正比，比值稱為電感L

10、，即而電壓是磁通量隨時間的變化率，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電感元件L的復域模型是一個阻抗為sL的電阻與代表其初始電流的恒流源的并聯(lián)。3、電容元件C線性電容元件的特性是其電荷量Q與其兩端電壓u成正比，比值稱為電容C，即而電流是電荷量隨時間的變化率，即兩邊取拉普拉斯變換，得即電容元件C的復域模型是一個阻抗為1/(sC)的電阻與代表其初始電壓的恒壓源的串聯(lián)。4、實例：RLC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應電阻R、無初始電流的電感L和無初始電壓的電容C串聯(lián)電路在復域的阻抗為在恒定電壓源u(t)作用下，回路中的電流和三個元件上的電壓的拉普拉斯變換分別為可見，電流表達式和三個元件的電壓表達式的分母均為，分母的兩個零點（稱為極點）決定了響應曲線的特性。記，其量綱為頻率的平方。（1）單位沖激響應：，電感L上的電壓可用基爾霍夫電壓定律得，其中包含沖激函數(shù)項；亦可根據(jù)確定，但需注意由于，故表達式中需包沖激函數(shù)項。（2）單位階躍響應：上述時域表達式均為t0的表達式，其中稱為雙曲余弦函數(shù)，稱為雙曲正弦函數(shù)。從表達式中可以看出，0時用雙曲函數(shù)描述，0時用三角函數(shù)描述。注釋留數(shù)：復變