高一數(shù)學必修五《2.3等差數(shù)列求和》教案

1、（一）教學目標1知識與技能：通過實例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項公式；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系并能用相關知識解決相對應的問題；體會等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系。2. 過程與方法：通過對歷史有名的高斯求和的介紹，引導學生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律；由學生建立等差數(shù)列模型用相關知識解決一些簡單的問題，實行等差數(shù)列通項公式應用的實踐操作并在操作過程中，通過類比函數(shù)概念、性質、表達式得到對等差數(shù)列相對應問題的研究。3情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生利用學過的知識解決與現(xiàn)實相關的問題的水平。（二）教學重、難點重點：探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式；學

2、會用公式解決一些實際問題，體會等差數(shù)列的前n項和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系。難點：等差數(shù)列前n項和公式推導思路的獲得，靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的相關問題（三）學法與教學用具學法：講練結合教學用具：投影儀（四）教學設想創(chuàng)設情景新$課$標$第$一$網(wǎng)新課 標 第 一 網(wǎng) 等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，所以等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經常遇到的問題。在200多年前，歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被譽為“數(shù)學王子”的高斯就以前上演了迅速求出等差數(shù)列這么一出好戲。那時，高斯的數(shù)學老師提出了下面的問題：1+2+3+100=？當時，當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，10歲的高斯卻用下面的方法迅

3、速算出了準確答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050高斯的算法實際上解決了求等差數(shù)列1，2，3，n，前100項的和的問題。 今天我們就來學習如何去求等差數(shù)列的前n項的和。探索研究 我們先來看看人們由高斯求前100個正整數(shù)的方法得到了哪些啟發(fā)。人們從高斯那里受到啟發(fā)，于是用下面的這個方法計算1，2，3，n，的前n項的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面這種加法叫“倒序相加法” 請同學們觀察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他發(fā)現(xiàn)了整個數(shù)列的第k項與

4、倒數(shù)第k項的和與首項與尾項的和是相等的這個規(guī)律并且把這個規(guī)律用于求和中。這種方法是能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和的。等差數(shù)列求和公式的教學 一般地，稱為數(shù)列的前n項的和，用表示，即1、 思考：受高斯的啟示，我們這里能夠用什么方法去求和呢？思考后知道，也能夠用“倒序相加法”實行求和。我們用兩種方法表示： 由+，得 由此得到等差數(shù)列的前n項和的公式新 課 標 第 一 網(wǎng)對于這個公式，我們知道：只要知道等差數(shù)列首項、尾項和項數(shù)就可以求等差數(shù)列前n項和了。2、 除此之外，等差數(shù)列還有其他方法（讀基礎教好學生要介紹）當然，對于等差數(shù)列求和公式的推導，也能夠有其他的推導途徑。例如： = =xkb1.c

5、om = = 這兩個公式是能夠相互轉化的。把代入中，就能夠得到引導學生思考這兩個公式的結構特征得到：第一個公式反映了等差數(shù)列的任意的第k項與倒數(shù)第k項的和等于首項與末項的和這個內在性質。第二個公式反映了等差數(shù)列的前n項和與它的首項、公差之間的關系，而且是關于n的“二次函數(shù)”，能夠與二次函數(shù)實行比較。這兩個公式的共同點都是知道和n，不同點是第一個公式還需知道，而第二個公式是要知道d，解題時還需要根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。公式使用（課本52頁練習1、2）1、 根據(jù)下列各題中的條件，求相對應的等差數(shù)列的前n項和S. 例題分析來源：Z_xx_k.Com例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在

6、中小學實施“校校通”工程的統(tǒng)治.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？1、 先閱讀題目；2、 引導學生提取有用的信息，構件等差數(shù)列模型；3、 寫這個等差數(shù)列的首項和公差，并根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式實行求解。解：根據(jù)題意，從2001-2010年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，能夠建立一個等差數(shù)列，表

7、示從2001年起各年投入的資金，其中 ， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的資金總額為 （萬元）答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.例2已知一個等差數(shù)列前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？新|課 | 標|第 |一| 網(wǎng) 引導學生分析得到：等差數(shù)列前n項和公式就是一個關于的方程。若要確定其前n項求和公式，則要確定的關系式，從而求得。分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關于與d的二元一次方程，由此能夠求得與d，從而得到所求前n項和的公式. 解：由題意知 ， 將它們代入公式

8、 得到 解這個關于與d的方程組，得到=4，d=6， 所以另解： 得 所以 -，得，新*課*標*第*一*網(wǎng) 所以 代入得： 所以有 例題評述：此例題目的是建立等差數(shù)列前n項和與解方程之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程，得出其余的未知量.例3 已知數(shù)列的前n項為，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？解：根據(jù) 與 可知，當n1時， 當n=1時， 也滿足式. 所以數(shù)列的通項公式為. 由此可知，數(shù)列是一個首項為，公差為2的等差數(shù)列。 這個例題還給出了等差數(shù)列通項公式的一個求法.已知前n項和，可求出通項（n1） 用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且

9、還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.思考：結合例3，思考課本51頁“探究”：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？引導分析得出：觀察等差數(shù)列兩個前n項和公式，和，公式本身就不含常數(shù)項。所以得到：如果一個數(shù)列前n項和公式是常數(shù)項為0，且關于n的二次型函數(shù)，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.例4 已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值. 分析：等差數(shù)列的前n項和公式能夠寫成，所以能夠看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關于n的圖象是一條拋物線上的一些點.所以，我們能夠利用二次函數(shù)來求n的值. 新|課 | 標|第 |一| 網(wǎng) 解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以 = 于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.隨堂練習課本52頁“練習”第1、2、3、4題補充練習 1、已知數(shù)列是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，設成等差數(shù)列嗎？生：分析題意，解決問題.解：設首項是，公差為d則：同理可得成等差數(shù)列.2、求集合的元素個數(shù)，并求這些元素的和。解由m=100，得滿足此不等式的正整數(shù)n共有14個，所以集合m中的元素共有14個，從小到大可列為：7，7