三角形全等輔助線的做法

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）專(zhuān)題復(fù)習(xí)一全等三角形常見(jiàn)輔助線作法在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如何添加輔助線是同學(xué)們經(jīng)常感到頭疼的問(wèn)題，許多同學(xué)常常因輔助線的添加方法不當(dāng)，造成解題困難，考試時(shí)也常因輔助線的添法不當(dāng)而導(dǎo)致既得不到本題的分?jǐn)?shù)，又白白浪費(fèi)了考試時(shí)間。為了解決這個(gè)問(wèn)題我根據(jù)多年初中幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把全等三角形的幾種常見(jiàn)輔助線作法編成一個(gè)“順口溜”，現(xiàn)將該“順口溜”寫(xiě)出來(lái)供同學(xué)們參考，但愿能給同學(xué)們的學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)帶來(lái)一些幫助。人人都說(shuō)幾何難，難就難在輔助線。輔助線，如何添？構(gòu)造全等很關(guān)鍵。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線造全等。角平分線加平行，構(gòu)造等腰三角形。角平分線加垂線，三線合一試試看。

2、線段垂直平分線，常向兩端把線連。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。下面舉出一些具體的例子說(shuō)明如下：例1.已知：如圖1所示， AD為ABC的中線，且1=2,3=4。求證：BE+CFEF。分析：要證BE+CFEF ，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2， 3=4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF。在BED與NED中1=2, DN=DB，ED=EDBEDNEDBE=EN同理可得FC=FN在NEF中，EN+FNEFBE+CFEF注意：當(dāng)證明題中有角平分線

3、時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到相等元素。例2.已知：如圖2所示，AD為ABC的中線，且1=2，3=4，求證：BE+CFEF。證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接 CM，MF。在EBD與MCD中DM=DE,1=CDM ,BD=DCEBDMCDBE=CM在EDF與MDF中EDF=2+3，MDF=4+CDM又1=CDM=2，3=4EDF=MDF又DM=DE，DF=DFEDFMDF, EF=FMFC+CM FMBE+CFEF注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。例3.已知：如圖3所示，A

4、D為 ABC的中線，求證：AB+AC2AD。分析：要證AB+AC2AD，由圖形想到： AB+BDAD,AC+CDAD，所以有：AB+AC+ BD+CD AD +AD=2AD，但它的左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。 證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE。ADB=BDC,BD=DC,AD=DEADEBDCAB=CE在AEC中，AC+CEAEAB+AC2AD注意：在三角形中線時(shí)，常廷長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例4.已知：如圖5所示，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的延

5、長(zhǎng)于E 。求證：BD=2CE 分析：要證BD=2CE，想到要構(gòu)造線段2CE， 同時(shí)CE與ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。 證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于F。BECF, 1=2,BE=BEFBECBEFE=CE,即CF=2CE又1+2+ACB=90, 2+ACB+FCA=901=FCA在ABD與FCA中1=FCA，AB=AC, BAD=CAFABDFCABD=CF即BD=2CE注意：有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。例5.已知：如圖6所示，AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB=DC，AC=BD，求證：A=D。分析：要證A=D，可證它們所在的三角形ABO和DCO全等，而只有AB=DC和對(duì)頂角

6、兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC，AC=BD，如連接BC，則ABC和DCB全等，所以，證得A=D證明：連接BCAB=DC，AC=BD,BC=CBABCDCBA=D注意：連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。例6.已知：如圖7所示，AB=DC，A=D。 求證：ABC=DCB。分析：由AB=DC，A=D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有ABNDCN，故BN=CN，ABN=DCN。下面只需證NBC=NCB，問(wèn)題得證。證明：取AD中點(diǎn)N，連接NB，NC。AN=DN, A=D ,AB=DC,ABNDCNBN=CN, ABN=DCNNBC=NCBABN+NBC=DCN+ NCBABC=DCB注意：取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三角形。總結(jié)：在利用三角形全等證明線段及角的關(guān)系時(shí)，