動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離最值.docx

1、淺析動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和（差）的最值一、直線上的動(dòng)點(diǎn)到直線外兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和（差）的最值例1（1）已知點(diǎn)A(1，1)，點(diǎn)B(3，-2)，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 ，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；（2）已知點(diǎn)A(1，1)，點(diǎn)B(3，2)，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PB-PA的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 解析：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PB?AB(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立) (PA+PB)min=AB= 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB- PA=AB(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立) (PB-PA)max=AB=此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)

2、為變題：（1）已知點(diǎn)A(1，1)，點(diǎn)B(3，2)，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；解析：（1）如圖3，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B（3，-2），則有PB=PB當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PB=PA+PB=AB(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)(PA+PB)min=AB?=此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）已知點(diǎn)A(1，1)，點(diǎn)B(3，-2)，P是x軸上任意一點(diǎn)，則PB-PA的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為解析：（2）如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，則有PB=PB當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB- PA= PB-PAAB(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，B三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)(PB-PA)max=

3、AB=此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為歸納：當(dāng)兩定點(diǎn)位于直線的異側(cè)時(shí)可求得動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值；當(dāng)兩定點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)可求得動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值的最大值若不滿足時(shí)，可利用對(duì)稱性將兩定點(diǎn)變換到直線的同（異）側(cè)，再進(jìn)行求解如變題的方法例2函數(shù)的值域?yàn)榻馕觯簩⒑瘮?shù)進(jìn)行化簡得：即為動(dòng)點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A(1，1)、B（3，-2）的距離之和由例1可知：該值域?yàn)槎?、圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和（差）的最值（一）直接求解或利用橢圓（或雙曲線）的定義進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化后求解例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則MA-MB的范圍是；解析：(1)如圖5，在DMAB中有MA-M

4、BMA即點(diǎn)M位于M2處時(shí)，有MA-MB=AB，所以MA-MB=AB；同理在DMAB中有MB-MA=AB，即MB-MA=-AB(當(dāng)點(diǎn)M位于M1處時(shí)等號(hào)成立)綜上所述：-ABMA-MBAB （2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則MA+MB的最大值是解析：(2)如圖6，因?yàn)辄c(diǎn)A恰為橢圓的右焦點(diǎn)，所以由橢圓的定義可得MA+MB=10-MF+MB（F為橢圓的左焦點(diǎn)），同（1）可得MB-MFBF(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)M4處時(shí)，等號(hào)成立)所以(MA+MB)max=(10-MF+MB)max=10+BF=10+點(diǎn)評(píng)：因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在橢圓的內(nèi)部（即兩定點(diǎn)都在曲線的同側(cè)），故可直接求出動(dòng)點(diǎn)M到兩

5、定點(diǎn)A，B的距離之差的最值；若要求動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A，B的距離之和的最值（其中A恰為焦點(diǎn)），需要利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F，B的距離之差的最值（點(diǎn)F為另一焦點(diǎn)）例4(1)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(4，1)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PF的最小值為；解析：(1)如圖7，在DPAB中有PA+PFAB，當(dāng)P，A，F(xiàn)三點(diǎn)共線即點(diǎn)P位于P1處時(shí)，有PA+PF=AF，所以(PA+PF)min=AF=(2)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1，4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PF的最小值為解析：(2)如圖8，設(shè)F2是雙曲線的右焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA

6、+PF2=8+AF2(當(dāng)P，A，F(xiàn)2三點(diǎn)共線即點(diǎn)P位于P2處時(shí)等號(hào)成立)，所以(PA+PF)min=8+AF2=13點(diǎn)評(píng)：本題需要特別關(guān)注點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，兩定點(diǎn)一定要在動(dòng)點(diǎn)的軌跡（曲線）的異側(cè)（二）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離進(jìn)行互化后進(jìn)行求解例5（1）已知點(diǎn)A(2，2)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則PF+PA的最小值是，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；解析：如圖9，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，即(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)取等號(hào)) 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(，2).（2）已知點(diǎn)A(5，2)，F(xiàn)是雙曲線的右

7、焦點(diǎn)，P是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則PF+PA的最小值是，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為解析：如圖10，設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為PP?，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，即(當(dāng)且僅當(dāng)A，P，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P位于點(diǎn)P1處時(shí)取等號(hào)) 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(，2)點(diǎn)評(píng)：此類最顯著的特征是動(dòng)點(diǎn)與焦點(diǎn)距離前有系數(shù)，可以利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離例6（1）拋物線的焦點(diǎn)為F，A(4，-2)為一定點(diǎn)，在拋物線上找一點(diǎn)M，當(dāng)MA+MF為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為；解析：如圖11，為拋物線的準(zhǔn)線，MM為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離利用拋物線的定義：MF=MM，可得MA+MF= MA+MMAM（當(dāng)且僅當(dāng)A，M，M三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)點(diǎn)M在M處時(shí)等號(hào)成立）此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(，-2)（2）P為拋物線上任一點(diǎn)，A(3，4)為一定點(diǎn)，過P作PP垂直y軸于點(diǎn)P，則AP+ PP的最小值為 解析：如圖12，延長PP交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，由拋物線的定義：PP=PF，所以AP+ PP= AP