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1、多面體外接球半徑常見求法知識回顧:定義1:若一個多面體的各頂點都在一個球的球面上,則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體,這個球是這個多面體的外接球。定義2:若一個多面體的各面都與一個球的球面相切, 則稱這個多面體是這個球的外切多面體,這個球是這個多面體的內(nèi)切球。 球心到截面的距離與球半徑及截面的半徑有以下關(guān)系: 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫 球的表面積表面積S ;球的體積V 球與棱柱的組合體問題1 正方體的內(nèi)切球:球與正方體的每個面都相切,切點為每個面的中心,顯然球心為正方體的中心。設(shè)正方體的棱長為,球半徑為。如圖3,截面圖為正方形的內(nèi)切圓,得;2 與正方體各棱相
2、切的球:球與正方體的各棱相切,切點為各棱的中點,如圖4作截面圖,圓為正方形的外接圓,易得。3 正方體的外接球:正方體的八個頂點都在球面上,如圖5,以對角面作截面圖得,圓為矩形的外接圓,易得。圖3圖4圖5一、公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形,其側(cè)棱垂直于底面,已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上,且該六棱柱的體積為,底面周長為,則這個球的體積為 .小結(jié) 本題是運用公式求球的半徑的,該公式是求球的半徑的常用公式.二、多面體幾何性質(zhì)法例2 已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A. B. C. D.小結(jié) 本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”
3、這一性質(zhì)來求解的.三、補形法例3 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是 .小結(jié) 一般地,若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且其長度分別為,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體,于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為,則有.變式1:三棱錐中,兩兩垂直,且,則三棱錐外接球的表面積為( )A B C D四、尋求軸截面圓半徑法例4 正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為,都在同一球面上,則此球的體積為 .而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).變式1:求棱長為 a 的正四面體 P ABC 的外接球的表面積變式1:
4、底面邊長為的正三棱柱外接球的體積為,則該三棱柱的體積為 五、確定球心位置法1:三棱錐中,底面是邊長為2的正三角形, 底面,且,則此三棱錐外接球的半徑為( )A B C D六構(gòu)造直三角形,巧解正棱柱與球的組合問題正棱柱的外接球,其球心定在上下底面中心連線的中點處,由球心、底面中心及底面一頂點構(gòu)成的直角三角形便可得球半徑。例4.已知三棱柱的六個頂點在球上,又知球與此正三棱柱的5個面都相切,求球與球的體積之比與表面積之比。分析:先畫出過球心的截面圖,再來探求半徑之間的關(guān)系。圖6練習(xí)1、球面上有三點、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點,其中,、,球心到這個截面的距離為球半徑的一半,求球的表面積2
5、、.在球面上有四個點、.如果、兩兩互相垂直,且,那么這個球的表面積是_.3:一棱長為的框架型正方體,內(nèi)放一能充氣吹脹的氣球,求當(dāng)球與正方體棱適好接觸但又不至于變形時的球的體積。(答案為)4、若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為 5 、一個長方體的各頂點均在同一球面上,且一個頂點上的三條棱長分別為,則此球的表面積為 .6、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為( ).A. B. C. D. 7、 若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是 . 8、一個四面體的所有棱長都為,四個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( )A. B. C. D. 9、已知球的面上四點A、B、C、D,則球的體積等于 .10、已知球面上的三點A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半徑
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