函數(shù)值域的求解方法.doc

1、值域的求解一、知識(shí)梳理：1、函數(shù)值域的定義：在函數(shù)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的取值的集合，叫做函數(shù)的值域。2、函數(shù)的最值：對(duì)于函數(shù)，.若對(duì)于任意的都有M(M)且存在,使得成立，則M叫做的最大（?。┲?統(tǒng)稱函數(shù)的最值。3、確定函數(shù)的值域的原則：當(dāng)函數(shù)是用表格給出時(shí)，其值域是表格中所有實(shí)數(shù)y的值的集合。當(dāng)函數(shù)是以圖像給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖像在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的值的集合。函數(shù)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定。當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。4、常用方法：、基本函數(shù)性質(zhì)法（直接法） 對(duì)于基本初等函數(shù)以及由它們組成的簡(jiǎn)單函數(shù)的值域的求解，常利用函

2、數(shù)的單調(diào)性及 不等式的性質(zhì)直接觀察求解。例1：求下列函數(shù)的值域：（1） （2） （3） （4） (5)函數(shù)的定義域是，則其值域?yàn)?（6）函數(shù)=的值域是 練習(xí)：1、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽,有下了三個(gè)命題： 若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意,有M，則M是函數(shù)的最大值。 若存在,使得對(duì)任意，且，都有，則是函數(shù)的最大值。 若存在，使得對(duì)任意，有，則是函數(shù)的最大值。 其中正確的是（ ） A. B. C. D. 2、若函數(shù)=在區(qū)間a,2a上的最大值是最小值的3倍，則a= 3、函數(shù)=在0,1上的最大值和最小值之和為a,則a= .配方法：針對(duì)于給定區(qū)間上的二次函數(shù)或形如“的函數(shù)值域的求解，其關(guān)鍵是分析對(duì)稱軸與所給定義域的

3、關(guān)系。例2：求下列函數(shù)的值域： =， 設(shè)，求函數(shù)=的最值。 已知=2+ 求函數(shù)的最大值。練習(xí)：1.函數(shù)=在上的值域?yàn)?5,4,則m+n的值所成的集合為（ ） A,0,6 B.-1,1 C.1,5 D.1,72. 函數(shù)=2+，的值域?yàn)?3. 若不等式對(duì)一切恒成立，則a的取值范圍是 4.已知函數(shù)在閉區(qū)間0,m上有最大值3，最小值2，則m的最值范圍是（ ） A. B. C. D. 換元法：運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成值域容易確定的另一類(lèi)函數(shù)，從而求得值域的方法，一般地，形如：（a,b,c,d均為常數(shù)，且ac0）的函數(shù)常用代數(shù)換元，函數(shù)中出現(xiàn)或得條件或某些特定的條件最值問(wèn)題常用三角函數(shù)換元.例

4、3：求下列函數(shù)的值域 例4：已知實(shí)數(shù)x,y滿足，求2x+y的取值范圍 若x+y+C0恒成立，求實(shí)數(shù)C的取值范圍。練習(xí)： 1.求下列函數(shù)的值域 2. 已知，求2x+3y的取值范圍。3. 求證： 4.已知函數(shù)的最大值為,最小值為,則的值為( ) (A)(B)(C) (D). 分離常數(shù)法：針對(duì)形如= (a,c均不為0)的函數(shù)值域的求解（除外，x沒(méi)有其他限制條件）處理方法：將分子化為分母的一次函數(shù)形式，利用分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則還原，使得自變量在分子中消失，把自變量的系數(shù)分離出來(lái)。 例5：求函數(shù)=的值域 練習(xí)： 1.求下列函數(shù)的值域： 2.若=在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 . 判別式法：把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于

5、x的二次方程，通過(guò)方程有實(shí)根，判別式，從而求得原函數(shù)的值域，一般地形如：，（不同時(shí)為0）的函數(shù)值域常用此法求得。 注意：若的分子，分母有公因式可約，則約去公因式后應(yīng)用分離常數(shù)法，但要注意約去公因式的條件，要將此條件下的x值代入約取公因式后的式子中，求出相應(yīng)的y值后在值域中排除。 例6：求函數(shù)的值域. 例7：已知=的值域?yàn)?1,4,求a,b的值。 . 不等式法：利用基本不等式，求函數(shù)值域方法.要注意“一正二定三相等缺一不可。一般的特定結(jié)構(gòu)的二元條件最值問(wèn)題常用此法。 例8：求下列函數(shù)的值域 （x0） （0x0,y0.且，求x+y的最小值。已知a0,b0,求的最大值.當(dāng)a,b且a+b=3，求的最大

6、值. 練習(xí)：1.若不等式x2+ax+10對(duì)一切x成立，則a的最小值為（ ） A.0 B .-2 C. D .-3 2 .函數(shù)y=loga(x+3)-1(a0，a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中mn0，則的最小值為 . . 導(dǎo) 數(shù) 法：設(shè)的導(dǎo)數(shù)為由可求得極值點(diǎn)坐標(biāo)，若函數(shù)定義域?yàn)閍,b,則最值必為極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)中函數(shù)值的最大值和最小值，再者，開(kāi)區(qū)間上的函數(shù)，若極值點(diǎn)只有一個(gè)，則該極值就是最值。若開(kāi)區(qū)間上的函數(shù)若極值點(diǎn)在兩個(gè)或兩個(gè)以上，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的定義域及解析式分析出函數(shù)的大致圖像，觀察求解。 例10：已知= （1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間-2,2上的最大值

7、為20，求它在該區(qū)間上的最小值。 例11：已知=是奇函數(shù) （1）求a,b的值。 （2）求的單調(diào)區(qū)間，并加以證明 （3）求的值域。練習(xí)： 1. 求函數(shù)=的值域. 圖像法：（數(shù)形結(jié)合法）. 針對(duì)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、含絕對(duì)值的函數(shù)，以及最大或最小函數(shù)的最值問(wèn)題或與之有關(guān) 的大小比較問(wèn)題。 例12：對(duì)于a,b,記函數(shù)=的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 3練習(xí):1. 定義 則函數(shù)=的值域?yàn)?.2. 對(duì)任意的函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，規(guī)定=，若=3-x, =,則*的最大值為 .3. 已知函數(shù)=，=1-，則F(x)有最 值 ，無(wú)最 值。4.已知，則a,b,c的大小關(guān)系為： .5.若則a,b,c的大小關(guān)系