微積分第七章無窮級數(shù).ppt

1、第七章 無窮級數(shù),7.1 無窮級數(shù)的概念 7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 7.3 正項級數(shù) 7.4 任意項級數(shù),絕對收斂 7.5 冪級數(shù) 7.6 泰勒公式與泰勒級數(shù) 7. 7 某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展 開式,一、無窮級數(shù)的基本概念,7.1 無窮級數(shù)的概念,給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1u2u3 un,其中第n項un叫做級數(shù)的一般項,叫做無窮級數(shù),簡稱級數(shù),稱為級數(shù), 其中第n項un叫做級數(shù)的一般項,表達(dá)式,級數(shù)舉例,調(diào)和級數(shù),等比級數(shù),aqn-1,幾何級數(shù),p級數(shù),級數(shù)的部分和,級數(shù)的前n項的和,級數(shù)斂散性定義,余項,rnssnun1un2,例1

2、 證明級數(shù) 123 n 是發(fā)散的,證,此級數(shù)的部分和為,如果q1, 則部分和,解,3)當(dāng)q=-1時, 因為sn當(dāng)n為奇數(shù)時等于a ；當(dāng)n為偶數(shù),例2,時等于零,1,2,解:因為,提示,例3,因此,7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)1,7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì),sn、sn、tn, 則,性質(zhì)1,性質(zhì)2,7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)3 在一個級數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項, 級數(shù)的斂散性不變,性質(zhì)1,性質(zhì)2,7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變,應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的

3、級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù)(11)+(11) + 收斂, 但級數(shù)1-11-1 卻是發(fā)散的,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)3 在一個級數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項, 級數(shù)的斂散性不變,7. 2 無窮級數(shù)的基本性質(zhì),推論 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散,性質(zhì)1,性質(zhì)2,性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變,性質(zhì)3 在一個級數(shù)的前面加上、去掉或改變有限項, 級數(shù)的斂散性不變,級數(shù)收斂的必要條件,證,注意: (1)級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件, 不能因為一般項趨于零就斷定級數(shù)收斂. （2）判斷級數(shù)斂散時應(yīng)首先驗證是否滿足收斂的必要條件,

4、推論:如果,則,證,但另一方面,解:因為,正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界,一、正項級數(shù) 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù),這是因為正項級數(shù)的部分和數(shù)列sn是單調(diào)增加的, 而單調(diào)有界數(shù)列是有極限,定理1(正項級數(shù)收斂的充要條件,7. 3 正項級數(shù),二、正項級數(shù)斂散性的判別法,定理2(比較判別法,推論,例1 判斷下列級數(shù)的斂散性,解:(1) 因為,2,解,定理2(比較判別法,設(shè)un和vn都是正項級數(shù), 且unkvn(k0, nN). 若級數(shù)vn收斂, 則級數(shù)un收斂; 若級數(shù)un發(fā)散, 則級數(shù)vn發(fā)散,所以,當(dāng),即,故該級數(shù)收斂,2)當(dāng) 1(或)時，級數(shù)發(fā)散,定理3(比值判別法,則

5、,如果,3)當(dāng)1時，比值判別法不能用,解,所以 根據(jù)比值判別法可知所給級數(shù)收斂,例3 證明級數(shù),是收斂的,所以 根據(jù)比值判別法可知所給級數(shù)收斂,解,解,解:因為,例6 判斷級數(shù),的斂散性,所以,2)當(dāng) 1(或)時，級數(shù)發(fā)散,定理4(根值判別法,則,如果,3)當(dāng)1時，根值判別法不能用,解:因為,例7 判斷級數(shù),的斂散性,所以,7.4 任意項級數(shù),絕對收斂,一、交錯級數(shù)的定義 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負(fù)交錯的,定理1(萊布尼茲定理,1)unun1(n1 2 3,則級數(shù)收斂 且其和su1 其余項rn的絕對值|rn|un1,這是一個交錯級數(shù),解,由萊布尼茨定理, 級數(shù)是收斂的,且其和su1

6、1,則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un1,定理1(萊布尼茲定理,因為此級數(shù)滿足,例1,二、絕對收斂與條件收斂,例如,三、絕對收斂與收斂的關(guān)系,定理2,應(yīng)注意的問題,例2,解,定理3,解,所以級數(shù)絕對收斂,解,7.5 冪級數(shù),形如 a0a1xa2x2 anxn 的級數(shù)稱為冪級數(shù), 其中常數(shù)ai(i=1,2, )叫做冪級數(shù)的系數(shù),冪級數(shù),1xx2x3 xn,冪級數(shù)舉例,說明: 冪級數(shù)的一般形式是 a0a1(x-x0)a2(x-x0)2 an(x-x0)n . 這種形式經(jīng)變換t=x-x0可化為上述定義形式,冪級數(shù) 1xx2x3 xn 是公比為x的幾何級數(shù),因此它的收斂域為(

7、-1, 1,它在|x|1時收斂, 在|x|1時發(fā)散,在收斂域內(nèi)有,冪級數(shù)舉例,如果冪級數(shù)anxn當(dāng)xx0(x00)時收斂, 則適合不等式|x|x0|的一切x使冪級數(shù)anxn發(fā)散,注,定理1,如果冪級數(shù)anxn不是僅在點x0一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)xR與xR時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,收斂半徑與收斂區(qū)間,推論,正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)anxn的收斂半徑. 從R到 R的區(qū)間叫做冪級數(shù)anxn的收斂區(qū)間,注: 若冪級數(shù)只在x0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R0; 若冪級數(shù)在(, )內(nèi)收斂, 則規(guī)定收斂半徑R,定理2(收斂

8、半徑的求法,解:因為,解,因為,所以收斂半徑為R,從而收斂域為(,因此, 收斂域為(1, 1,解,因為,所以收斂半徑為R0,即級數(shù)僅在x0處收斂,注:此級數(shù)缺少奇次冪的項, 前述求收斂半徑的方法不能直接應(yīng)用,解,這種缺項冪級數(shù)一般用比值審斂法來求收斂半徑,因為,所以,解,所以收斂半徑R2,所以原級數(shù)的收斂域為1, 3,即2x12, 或1x3,因此收斂域為2t2,冪級數(shù)的性質(zhì),設(shè)冪級數(shù)anxn及bnxn分別在區(qū)間(R1, R1)及(R2, R2)內(nèi)收斂, 則在(R1, R1)與(R2, R2)中較小的區(qū)間內(nèi)有,減法,加法,(an-bn)xn,(an+bn)xn,anxn-bnxn,anxn+bn

9、xn,性質(zhì)1 冪級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù),冪級數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì),逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑,性質(zhì)2 冪級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積 并且有逐項積分公式,性質(zhì)3 冪級數(shù)anxn的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間(R R)內(nèi)可導(dǎo) 并且有逐項求導(dǎo)公式,逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑,冪級數(shù)的和函數(shù)的求法,一般情況下,不容易,并求出這個新級數(shù)的和函數(shù),然后再對此和函數(shù)進(jìn)行,直接求出,數(shù)(或積分,這時要利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo),得出一個容易求和的新級數(shù)(如幾何級數(shù),相反的遠(yuǎn)算就得到原級數(shù)的和和函數(shù),解,求得冪級數(shù)的收斂域為1 1

10、,顯然S(0)1 因為,提示,一) 泰勒公式,7.6 泰勒公式與泰勒級數(shù),泰勒中值定理,在該鄰域內(nèi)有,等式右端的多項式當(dāng)其項數(shù)趨于無窮時, 將成為冪級數(shù), 這個冪級數(shù)就稱為f(x)的泰勒級數(shù),二)泰勒級數(shù),如果函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則冪級數(shù),稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù),麥克勞林級數(shù),在泰勒級數(shù)中取x00, 得,此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù),顯然, 當(dāng)xx0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0,需回答的問題是: 除了xx0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x),泰勒級數(shù),麥克勞林級數(shù),定理,設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)

11、內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n0時的極限為零, 即,函數(shù)展開成冪級數(shù)的步驟(直接展開法,第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f (x), f (x), , f (n)(x), ; 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x0 處的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ; 第三步 寫出冪級數(shù),第四步 考察在區(qū)間(R, R)內(nèi)時是否Rn(x)0(n,如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(R, R)內(nèi)有展開式,并求出收斂半徑R,7.7 某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,例1 將函數(shù)f(x)ex展開成x的

12、冪級數(shù),解,顯然 f (n)(x)ex (n1, 2,于是得級數(shù),f (n)(0)1 (n1, 2,它的收斂半徑 R,對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有,例2 將函數(shù)f(x)sin x展開成x的冪級數(shù),解,所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, 1, (n0, 1, 2, 3,于是得級數(shù),對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有,它的收斂半徑為 R,因此得展開式,例3 將函數(shù)f(x)(1x)m (m為任意常數(shù))展開成x的冪級數(shù),所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n1), ,

13、 于是得冪級數(shù),解,f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為,f (x)=m(1x)m-1,f (x)=m(m-1)(1x)m-2,f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n1)(1x)m-n,可以證明,1x1,冪級數(shù)展開式的間接展開法,例4 將函數(shù)f(x)cos x展開成x的冪級數(shù),已知,解,對上式兩邊求導(dǎo)得,注: 逐項求導(dǎo)所得冪級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑,例5,解,已知,把x換成x2, 得,提示,收斂半徑的確定,由-1-x21,得-1x1,例6 將函數(shù)f(x)ln(1x)展開成x的冪級數(shù),f(x)ln(1x,解,上述展開式對x1也成立, 這是因為上式右端的冪級數(shù)當(dāng)x1時收斂, 而ln(1x)在x1

14、處有定義且連續(xù). 所以展開式成立的范圍是(1x1,提示,提示,例7,提示,解,提示,提示,提示,提示,冪級數(shù)展開式小結(jié),一、近似計算,二、歐拉公式,11.5 冪級數(shù)的應(yīng)用舉例,2.9926,一、近似計算,例1,解,如果取前二項作為所求值的近似值, 則誤差為,解,例2 計算ln2的近似值, 要求誤差不超過0.0001,已知,兩式相減得,提示,這個冪級數(shù)收斂速度較慢, 用于求ln2較困難. 因此需要尋找收斂速度較快的冪級數(shù),下頁,如果取前四項作為ln2的近似值, 則誤差為,下頁,解,例2 計算ln2的近似值, 要求誤差不超過0.0001,已知,例3,解,其誤差為,取前兩項得,下頁,將被積函數(shù)換成其

15、冪級數(shù)展開式得,解,前四項的和作為近似值 其誤差為,所以,下頁,展開被積函數(shù) 有,解,在區(qū)間0 1上逐項積分 得,因為第四項,所以取前三項的和作為積分的近似值,首頁,二、歐拉公式,復(fù)數(shù)項級數(shù),設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)(univn), 其中un, vn(n=1, 2, 3, )為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實部所成的級數(shù)un收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù)vn收斂于和v, 就說復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+iv,如果級(univn)的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)|univn|收斂, 則稱級數(shù)(univn)絕對收斂,絕對收斂,下頁,復(fù)變量指數(shù)函數(shù),考察復(fù)數(shù)項級數(shù),可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex, 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即,下頁,歐拉公式,當(dāng)x=0時, z=iy,cos y+isin y,于是,這就是歐拉公式,把y換成x得 eix=cos x+isin x,下頁,復(fù)變量指數(shù)函數(shù),eix=c