第一章方程組的解法

1、第一章 方程組的解法第一節(jié) 二元一次方程組的解法一、二元一次方程組（一）二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程.對二元一次方程概念的理解應(yīng)注意以下幾點： 等號兩邊的代數(shù)式是整式； 在方程中“元”是指未知數(shù)，二元是指方程中含有兩個未知數(shù)； 未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，實際上是指方程中最高次項的次數(shù)為1，在此可與多項式的次數(shù)進行比較理解，切不可理解為兩個未知數(shù)的次數(shù)都是1. 想一想：下列各方程中，哪個是二元一次方程？（1）8xyy； （2）xy3； （3）2x2y9； （4）2. （二）二元一次方程的解使二元一次方程兩邊相等的一組未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

2、的一個解. 例如，x2,y3適合方程xy1，顯然，滿足xy1的x,y的值有很多對，如x3，y4；x5，y6；均滿足方程，因此二元一次方程xy1的解有無窮多個，它們可分別記作， 可以看作是二元一次方程xy1的一個解。對二元一次方程的解的理解應(yīng)注意以下幾點：一般地，一個二元一次方程的解有無數(shù)個，且每一個解都是指一對數(shù)值，而不是指單獨的一個未知數(shù)的值； 二元一次方程的一個解是指使方程左右兩邊相等的一對未知數(shù)的值； 反過來，如果一組數(shù)值能使二元一次方程左右兩邊相等，那么這一組數(shù)值就是方程的解； 在求二元一次方程的解時，通常的做法是用一個未知數(shù)把另一個未知數(shù)表示出來，然后給定這個未知數(shù)一個值，相應(yīng)地得到

3、另一個未知數(shù)的值，這樣可求得二元一次方程的一個解. （三） 二元一次方程組由兩個二元一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組. 例如：這三個方程組都是二元一次方程組，其中（3）雖然是由三個方程組成的，其中有一個方程只含有一個未知數(shù)，但根據(jù)二元一次方程組的概念，它仍是二元一次方程組。（四）二元一次方程組的解二元一次方程組中兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解. 對二元一次方程組的理解應(yīng)注意： 方程組各方程中，相同的字母必須代表同一數(shù)量，否則不能將兩個方程合在一起. 怎樣檢驗一組數(shù)值是不是某個二元一次方程組的解，常用的方法如下：將這組數(shù)值分別代入方程組中的每個方程，只有當這組數(shù)值滿足其中的

4、所有方程時，才能說這組數(shù)值是此方程組的解，否則，如果這組數(shù)值不滿足其中任一個方程，那么它就不是此方程組的解. 二、二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法體現(xiàn)消元的數(shù)學(xué)思想，把二元轉(zhuǎn)化為一元。（一）代入消元法1、概念：將方程組中一個方程的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解. 這種解方程組的方法叫做代入消元法，簡稱代入法. 2、代入法解二元一次方程組的步驟（1）選取一個系數(shù)較簡單的二元一次方程變形，用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)；（2）將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方

5、程（在代入時，要注意不能代入原方程，只能代入另一個沒有變形的方程中，以達到消元的目的. ）；（3）解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值；（4）將求得的未知數(shù)的值代入（1）中變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的值；（5） 用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解；（6） 最后檢驗求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊右邊）例1 用代入法解方程組分析：方程中x的系數(shù)是1，用含y的式子表示x，比較簡便。解：由，得xy3。 把代入，得 (5把代入可以嗎?試試看。) 3(y十3)一8y=14。解這個方程，得y一1。把y=l代入，得 (6把y1代入或可以嗎?)x2所以這個方程組的解是5由

6、于方程是由方程得到的，所以它只能代入方程，而不能代入。你可以試試把代入會出現(xiàn)什么結(jié)果。6得到一個未知數(shù)的值后，把它代入方程都能得到另一個未知數(shù)的值。其中代入方程最簡捷。你可以試試各種代入法。用代入法解二元一次方程組的主要步驟：l 變形用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)l 代入消去一個元l 求解分別求出兩個未知數(shù)的值l 寫解寫出方程組的解 練習：用代入法解方程組：（二）加減消元法1、概念：當方程中兩個方程的某一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數(shù)，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法. 2、

7、加減法解二元一次方程組的步驟（1）利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組中某個未知數(shù)的系數(shù)化成相等或相反數(shù)的形式；（2） 再利用等式的基本性質(zhì)將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數(shù)，切忌只乘以一邊，然后若未知數(shù)系數(shù)相等則用減法，若未知數(shù)系數(shù)互為相反數(shù)，則用加法）；（3）解這個一元一次方程，求出未知數(shù)的值；（4） 將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；（5）用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解；（6） 最后檢驗求得的結(jié)果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊右邊）. 例 2 解方程組2x+5y

8、=13 3x-5y=7 提示：式中的5y和式中的-5y是互為相反數(shù)的分析：（2x 5y）+（3x - 5y）=13 + 7 左邊+ 左邊 = 左邊+左邊2x+5y +3x - 5y=20 5x+0y =20 5x=20解：由+得: 5x=20 x4把x4代入，得y1 所以原方程組的解是 x=4 y=1例3 解方程組x-5y=7 x+3y=-1 分析：觀察方程組中的兩個方程，未知數(shù)x的系數(shù)相等，都是1把這兩個方程兩邊分別相減，就可以消去未知數(shù)x，同樣得到一個一元一次方程解：把 得:8y8 y1把y 1代入，得 2x5（1）7解得:x1所以原方程組的解是 x=1 y=-1當兩個二元一次方程中同一未

9、知數(shù)的系數(shù)相反或相等（絕對值相等）時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。例4 解方程組2x + 3y=1 5x - 4y=6 解： 5得：10x+15y=5 2得：10x8y=12 得：23y = 7把 代入得， 所以原方程組的解是當方程組中兩方程的同一未知數(shù)的系數(shù)絕對值不相等時，也可以在方程兩邊同乘一個數(shù)，從而把某未知數(shù)系數(shù)化相同。本例未知數(shù)的系數(shù)沒有倍數(shù)關(guān)系，先將兩個方程同時變形，同時選擇系數(shù)比較小的未知數(shù)消元。用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟：l 變形同一個未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)l 加減消去一個元l 求解分別求出兩個未知數(shù)的值l 寫解

10、寫出方程組的解練習：1、用加減消元法解方程組2、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M：（1） （2） 第二節(jié) 三元一次方程組的解法一、三元一次方程組（一）三元一次方程三元一次方程就是含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.（二）三元一次方程組一般地，由幾個一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方程組.例如，等都是三元一次方程組.三元一次方程組的一般形式是：二、三元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思想是消元，即把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，由此可以聯(lián)想解三元一次方程組的基本思想也是消元，一般地，應(yīng)利用代

11、入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而變?nèi)獮槎?，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù).例1 解方程組 法一：代入法分析：仿照前面學(xué)過的代入法，將（2）變形后代入（1）、（3）中消元，再求解解：由（2），得 x=y+1 （4）將（4）分別代入（1）、（3）得解這個方程組，得把y=9代入（4），得x=10因此，方程組的解是法二：加減法解： （3）-（1），得 x-2y=-8 （4）由（2），（4）組成方程組解這個方程組，得把x=10，y=9代入（1）中，得 z=7因此，方程組的解是法三：技巧法分析：發(fā)現(xiàn)（1）（2）所得的方程中x與z的系數(shù)與方程（3）中x與z的系數(shù)分別對應(yīng)

12、相等，因此可由（1）+（2）-（3）直接得到關(guān)于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到關(guān)于x、y的二元一次方程組解：由（1）（2）-（3），得 y=9把y=9代入（2），得 x=10把x=10，y=9代入（1），得 z=7因此，方程組的解是注意：（1）解答完本題后，不要忘記檢驗，但檢驗過程一般不寫出.（2）從上述問題的一題多解，體會到靈活運用代入法或加減法消元，將有助于迅速準確解決問題.例2 解方程組分析：在這個方程組中，方程（1）只含有兩個未知數(shù)x、z，所以只要由（2）（3）消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程組解：（2）3（3），得11x7z=29， （4）把方程（1），（4

13、）組成方程組解這個方程組，得，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=因此，方程組的解是例3. 解方程組分析：用加減法解，應(yīng)選擇消去系數(shù)絕對值的最小公倍數(shù)最小的未知數(shù).解：（1）（3），得 5x+5y=25（4）（2）（3）2，得 5x+7y=31（5）由（4）與（5）組成方程組解這個方程組，得把x=2，y=3代入（1），得32+23z=13，所以 z=1因此，方程組的解是例4. 解方程組分析：題目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法解：由（2）得x=y (4)由（3）得z=(5)將（4），（5）代入（1），得+y+y=111所以 y=45把y=45分別代入（4）、（5）

14、，得x=30，z=36因此，方程組的解是法二：技巧法分析：yx=32，即xy=23=1015，而yz=54=1512，故有xyz=101512因此，可設(shè)x=10k，y=15k，z=12k將它們一起代入（1）中求出k值，從而求出x、y、z的值解：由（2），得xy=23，即xy=1015由（3），得yz=54，即yz=1512所以 xyz=101512設(shè)x=10k，y=15k，z=12k，代入（1）中得10k+15k+12k=111，所以 k=3故x=30，y=45，z=36因此，方程組的解是例5. 解方程組分析：1) 觀察原方程組，我們準備先消去哪一個未知數(shù)？2) 為什么要先消去z?注意到三個方程中都含有三個未知數(shù)，而在方程(3)中z一項的系數(shù)是-1，所以未知數(shù)z易消.3) 怎樣在(1)和(2)中消去z?4) 解這個關(guān)于x、y的方程組，求x和y的值是多少？5) 怎樣去求z的值？能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z？解：(1)+(3)4 得17x+5y=85 (4)(3)3-(2) 得7x-y=35 (5)(4)、(5)組成方程組解得把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-