工程力學：第四章 扭轉

1、1,第四章 扭轉,材料力學,2,1引言 2薄壁圓筒軸扭轉的應力和變形 3 圓軸扭轉的應力及強度條件 4圓軸扭轉的變形及剛度條件 5非圓截面軸扭轉 作業(yè),第八章 扭轉,3,一、工程實例,1、螺絲刀桿工作時受扭。,2、汽車方向盤的轉動軸工作時受扭。,41 引 言,3、機器中的傳動軸工作時受扭。,上海工程技術大學基礎教學學院工程力學部,上海工程技術大學基礎教學學院工程力學部,第四章 扭轉,4,第八章 扭轉,5,二、扭轉的概念,受力特點：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且作 用面垂直桿的軸線。,變形特點：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉動。,軸：主要發(fā)生扭轉變形的桿。,軸,三、外力：m （外力偶矩）

2、,1、已知：功率 P千瓦(KW），轉速 n轉分(rmin； rpm)。,外力偶矩：,第四章 扭轉,6,2、已知：功率 P馬力(Ps)，轉速 n轉分(rmin；rpm)。,外力偶矩：,四、內(nèi)力(扭矩)：,1、內(nèi)力的大?。海ń孛娣ǎ?m,T,取右段為研究對象：,扭矩,第四章 扭轉,7,2、內(nèi)力的符號規(guī)定：以變形為依據(jù)，按右手螺旋法則判斷。,右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負值。,-,第四章 扭轉,8,4、內(nèi)力圖（扭矩圖）：表示構件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。,作法：同軸力圖：,例 已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪

3、輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,（1）、截開面上設正值的扭矩方向。,（2）、在采用截面法之前不能將外力簡化或平移。,第四章 扭轉,9,求扭矩（扭矩按正方向設）,解：計算外力偶矩,例 已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。,第四章 扭轉,10,m2 m3 m1 m4,A B C D,T1,T2,T3,繪制扭矩圖,BC段為危險截面。,1-1截面：,2 - 2截面：,3 - 3截面：,第四章 扭轉,11,實驗變形規(guī)

4、律應力的分布規(guī)律應力的計算公式。,1、實驗：,42 薄壁圓筒軸扭轉的應力和變形,一、薄壁圓筒橫截面上的應力(壁厚,r0：為平均半徑）,第四章 扭轉,12,第四章 扭轉,13,認為剪應力沿壁厚均勻分布,而且方向垂直于其半徑方向。,2、變形規(guī)律：,圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動 了一個不同的角度。,縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。,3、剪應變（角應變）：直角角度的改變量。,4、定性分析橫截面上的應力,（1）,（2）,因為圓周上剪應變相同，所以剪應力沿圓周均勻分布。,（3）,第四章 扭轉,14,5、剪應力的計算公式：,dAdA（dA）r0 。 dA=（r0d）t。

5、,二、剪切虎克定律,在彈性范圍內(nèi)剪應力 與剪應變成正比關系。,第四章 扭轉,15,在相互垂直的兩個面上，剪應力總是成對出現(xiàn)的，并且大小相等，方向同時指向或同時背離兩個面的交線。,三、剪應力互等定理,第四章 扭轉,16,一、圓軸扭轉時橫截面上的切應力（超靜定問題）,幾何關系：由實驗找出變形規(guī)律應變的變化規(guī)律,物理關系：由應變的變化規(guī)律應力的分布規(guī)律,靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系應力的計算公式。,一）、幾何關系：,1、實驗：,3 圓軸扭轉應力及強度條件,2、變形規(guī)律：,圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動了一個不同的角度。,第四章 扭轉,17,2、變形規(guī)律：,圓軸線形狀、大

6、小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉動 了一個不同的角度。,縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。,3、平面假設：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大 小、間距不變，半徑仍為直線。,4、定性分析橫截面上的應力,（1）,（2）,因為同一圓周上剪應變相同，所以同一圓周上剪應力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。,第四章 扭轉,18,5、剪應變的變化規(guī)律：,二）物理關系： 彈性范圍內(nèi),方向垂直于半徑。,第四章 扭轉,19,應力分布,T,t,max,t,max,t,max,T,（實心截面）,（空心截面）,第四章 扭轉,20,三）靜力關系：,令,代入物理關系式 得：,圓軸扭轉時橫截面上任一

7、點的剪應力計算式。,第四章 扭轉,21,橫截面上 ,抗扭截面模量，,整個圓軸上等直桿：,三、公式的使用條件：,1、等直的圓軸，,2、彈性范圍內(nèi)工作。,Ip截面的極慣性矩，單位：,二、圓軸中max的確定,單位：,第四章 扭轉,22,四、 的確定 ：,1、實心圓截面 ,2、空心圓截面 ,第四章 扭轉,23,例 功率為150 kW，轉速為15.4 轉/秒的電動機轉子軸如圖所示，許用剪應力 =30 M Pa, 試校核其強度。,T,1.55 kN.m,解：求扭矩及扭矩圖,計算并校核剪應力強度,x,第四章 扭轉,24,復習：,1、扭轉的概念,受力特點：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直桿的

8、軸線。,變形特點：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉動。,2、外力：m （外力偶矩）,P千瓦，,3、內(nèi)力：T（扭矩）,P馬力， n轉分。,截面法求內(nèi)力、畫內(nèi)力圖,4、薄壁圓筒橫截面上的應力,5、剪切虎克定律,第四章 扭轉,25,6、圓軸扭轉時橫截面上的應力,7、極慣性矩及抗扭截面模量,實心軸。,當：,第四章 扭轉,26,五、圓軸扭轉時斜截面上的應力,低碳鋼試件： 沿橫截面斷開。,鑄鐵試件： 沿與軸線約成45的螺旋線斷開。,因此還需要研究斜截面上的應力。,第四章 扭轉,27,t,方法：取單元體（單元體上的應力認為是均勻分布的）,第四章 扭轉,28,設：ef 邊的面積為 dA 則,eb 邊的面積為dAc

9、os,ef 邊的面積為dAsin,第四章 扭轉,29,若材料抗拉壓能力差，構件沿45斜截面發(fā)生破壞（脆性材料）。,結論： 若材料抗剪切能力差，構件沿橫截面發(fā)生破壞(塑性材料）；,分析：,橫截面上！,第四章 扭轉,30,1、強度條件：,2、強度計算： 1）校核強度:,六圓軸扭轉強度,2）設計截面尺寸:,3）確定外荷載:,第四章 扭轉,31,一、變形：（相對扭轉角）, 圓軸扭轉時的變形、剛度條件,單位：弧度（rad）。 GIP抗扭剛度。,單位長度的扭轉角，,第四章 扭轉,32,已知：P7.5kW,n=100r/min, 許 用剪應力40MPa, 空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.5。 求：實心軸的直徑

10、d1和空心軸 的外徑D2。,解：,1 )求實心軸的直徑：,第四章 扭轉,33,=40 MPa,=0.067( m)=67 mm,2 ) 求空心軸的直徑：,第四章 扭轉,34,二、剛度條件：,三、剛度計算： 1、校核剛度；,3、確定外荷載:,2、設計截面尺寸:,第四章 扭轉,35,例 長 L=2 m的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m的作用，桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8，G=80 GPa，許用剪應力 =30 MPa，試設計桿的外徑；若=2/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉角。,解：1.畫扭矩圖,2.設計桿的外徑,D 0.0226m。,第四章 扭轉,36,3. 由扭轉剛度條件校核剛度,4.右端面轉

11、角為：,第四章 扭轉,37,例 某傳動軸設計要求轉速n = 500 r / min，輸入功率P1 = 500 馬力，輸出功率分別P2 = 200馬力及P3 = 300馬力，已知：G=80 GPa ， =70 M Pa， =1/m ，試確定： AB 段直徑 d1和 BC 段直徑 d2？ 若全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排合理？,解： 扭矩圖,第四章 扭轉,38,由剛度條件得：,由強度條件：,第四章 扭轉,39,綜上：, 全軸選同一直徑時, 軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應 該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才 為 75mm。,第四章 扭轉,

12、40, 等直圓桿的扭轉超靜定問題,解扭轉超靜定問題的步驟：,平衡方程；,幾何方程變形協(xié)調方程；,物理方程（力與變形的關系）；,求解方程組。,第四章 扭轉,41,例 長為 L=2 m 的圓桿受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑 D=0.0226 m ，G=80 GPa，試求：固定端的反力偶。,解：桿的受力圖,幾何方程：, 物理方程：,第四章 扭轉,42, 由平衡方程得：,另:此題可由對稱性直接求得結果。,第四章 扭轉,43, 非圓截面桿的扭轉,一、非圓截面桿與圓截面桿的區(qū)別,圓桿扭轉時 橫截面保持為平面；,非圓桿扭轉時 橫截面由平面變?yōu)?曲面（發(fā)生翹

13、曲）。,第四章 扭轉,44,二、非圓截面桿扭轉的研究方法：彈性力學的方法研究,三、非圓截面桿扭轉的分類：,1、自由扭轉（純扭轉），,2、約束扭轉。,四、分析兩種扭轉：,1、自由扭轉：各橫截面翹曲程度不受任何約束（可自由凹凸）， 任意兩相鄰截面翹曲程度相同。,受力特點：兩端受外力偶作用。,變形特點: 相鄰兩截面翹曲完全相同，縱向長度不變，所以 縱向應變等于零。,應力特點：橫截面上正應力等于零，剪應力不等于零。,2、約束扭轉：由于約束條件或受力限制，造成桿各橫截面翹 曲程度不同。,約束的受力特點：兩端受外力偶及其它力的作用。,第四章 扭轉,45,約束扭轉變形特點:相鄰兩截面翹曲不相同，縱向長度發(fā)生

14、變 化，所以縱向應變不等于零。,約束應力特點：橫截面上正應力不等于零，剪應力不等于零。,五、矩形截面桿的自由扭轉：,1、剪應力分布：,2、應力計算：,（整個橫截面上最大的剪應力）。,短邊中點,3、變形：,長邊中點,b,h,T,與周邊相切，,P101,第四章 扭轉,46,4、在凸角處的剪應力等于零。,對于狹長矩形,又,第四章 扭轉,47,3)、兩者的比值：,例： 均相同的兩根軸，分別為圓截面和正方形截面。 試求：兩者的最大扭轉剪應力與扭轉變形，并進行比較。,解：,1)圓截面 circular,2)矩形截面 square,結論：無論是扭轉強度，還是扭轉剛度，圓形截面比正方形截面要好。,第四章 扭轉

15、,48,一、閉口薄壁桿的扭轉應力,1、剪應力流的方向與扭矩的方向一致。,2、剪應力沿壁厚均勻分布；,與薄壁圓管相似：,3、剪應力與中心線相切；,截面中心線所圍截面積,第四章 扭轉,49,例 橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a = 50 mm，b = 75 mm，厚度t =5 mm，桿兩端受扭轉力偶 T = 5000 Nm， 試求此桿的最大剪應力。,解：閉口薄壁桿自由扭轉 時的最大剪應力：,b,a,t,第四章 扭轉,50,第一次作業(yè)： - 1. .,本次課作業(yè),第二次作業(yè)：- ,第四章 扭轉,51,扭轉變形小結,一、扭轉的概念,受力特點：桿兩端作用著大小相等方向相反的力偶，且作用面 垂直桿的軸線。,變形特點：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉動。,二、外力：m （外力偶矩）,功率 P千瓦，轉速 n轉分。,三、內(nèi)力：T（扭矩）,功率 P馬力，轉速 n轉分。,1、內(nèi)力的大小確定、畫內(nèi)力圖,第四章 扭轉,52,2、內(nèi)力的符號規(guī)定：,右手的四指代表扭矩的旋轉方向，大拇指代表其矢量方，若其矢量方向背離所在截面則扭矩規(guī)定為正值，反之為負值。,四、薄壁圓筒橫截面上的應力,五、剪切虎克定律,幾何關系：由實驗通過變形規(guī)律應變的變化規(guī)律,1、公式推導,第四章 扭轉,53,靜力關系：由橫截面上的扭矩與應力的關系應力