線性系統(tǒng)理論P(yáng)PT-鄭大鐘(第二版)ppt課件

1、線性系統(tǒng)理論,鄭大鐘 清華大學(xué)出版社,第一章 緒 論,第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,第四章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,第五章 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,第六章 線性反饋系統(tǒng)的時(shí)間域綜合,第一部分 線性系統(tǒng)的時(shí)間域理論,第二部分 線性系統(tǒng)的復(fù)頻率域理論,第一章 緒論,線性系統(tǒng)理論是系統(tǒng)控制理論的一個(gè)最為基礎(chǔ)和最為成熟的分支。它以線性代數(shù)和微分方程為主要數(shù)學(xué)工具，以狀態(tài)空間法為基礎(chǔ)分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)。,控制理論發(fā)展概況： 第一階段 20世紀(jì)4060年代 經(jīng)典控制理論 第二階段 20世紀(jì)6070年代 現(xiàn)代控制理論 第三階段 20世紀(jì)70 大系統(tǒng)理論 （廣度） 智能控制理論 （

2、深度）,第一章 緒論,1.1系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象,系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象,系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互制約的若干“部分”所組成的具有特定功能的一個(gè)“整體”。,系統(tǒng)具有如下3個(gè)基本特征:,(1)整體性,(2)抽象性,作為系統(tǒng)控制理論的研究對(duì)象，系統(tǒng)常常抽去了具體系統(tǒng)的物理，自然和社會(huì)含義，而把它抽象為一個(gè)一般意義下的系統(tǒng)而加以研究。,(3)相對(duì)性,在系統(tǒng)的定義中, 所謂“系統(tǒng)”和“部分”這種稱謂具有相對(duì)屬性。,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)： 所謂動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，就是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)按確定規(guī)律或確定統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間演化的一類系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。,系統(tǒng)變量可區(qū)分為三類形式,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的數(shù)學(xué)描述,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分類,從機(jī)制的角度,從特性的

3、角度,從作用時(shí)間 類型的角度,u,x,y,連續(xù)系統(tǒng)按其參數(shù)的空間分布類型,本書中僅限于研究線性系統(tǒng)和集中參數(shù)系統(tǒng),動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是系統(tǒng)控制理論所研究的主體，其行為有各類變量間的關(guān)系來(lái)表征。,線性系統(tǒng)理論的研究對(duì)象為線性系統(tǒng)，其模型方程具有線性屬性即滿足疊加原理。,若表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為L(zhǎng),系統(tǒng)模型是對(duì)系統(tǒng)或其部分屬性的一個(gè)簡(jiǎn)化描述,系統(tǒng)模型的作用：仿真、預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)、綜合和設(shè)計(jì)控制器 模型類型的多樣性：用數(shù)學(xué)模型描述、用文字、圖表、數(shù)據(jù)或計(jì)算機(jī)程序表示 數(shù)學(xué)模型的基本性：著重研究可用數(shù)學(xué)模型描述的一類系統(tǒng) 建立數(shù)學(xué)模型的途徑：解析、辨識(shí) 系統(tǒng)建模的準(zhǔn)則：折衷,線性系統(tǒng)理論研究對(duì)象是 (線性的)模型系統(tǒng)，

4、不是物理系統(tǒng)。,線性系統(tǒng),系統(tǒng)模型,1.2 線性系統(tǒng)理論的基本概貌,線性系統(tǒng)理論是一門以研究線性系統(tǒng)的分析與綜合的理論和方法為基本任務(wù)的學(xué)科。,主要內(nèi)容: 數(shù)學(xué)模型 分析理論 綜合理論,發(fā)展過(guò)程: 經(jīng)典線性系統(tǒng)理論現(xiàn)代線性系統(tǒng)理論,主要學(xué)派:,狀態(tài)空間法,幾何理論,把對(duì)線性系統(tǒng)的研究轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間中的相應(yīng)幾何問(wèn)題,并采用幾何語(yǔ)言來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行描述,分析和綜合,代數(shù)理論,把系統(tǒng)各組變量間的關(guān)系看作為是某些代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的映射關(guān)系,從而可以實(shí)現(xiàn)對(duì)線性系統(tǒng)描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之轉(zhuǎn)化為純粹的一些抽象代數(shù)問(wèn)題,多變量頻域方法,線性系統(tǒng)理論著重研究線性系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和改變這種規(guī)律的可能性和

5、方法，以建立和揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)、行為和性能間確定的和定量的關(guān)系。,第一部分: 線性系統(tǒng)時(shí)間域理論,第二章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間,線性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時(shí)間域內(nèi)分析和綜合線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的兩類數(shù)學(xué)描述,(1) 系統(tǒng)的外部描述,外部描述常被稱作為輸出輸入描述,例如.對(duì)SISO線性定常系統(tǒng):時(shí)間域的外部描述:,復(fù)頻率域描述即傳遞函數(shù)描述,(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述,狀態(tài)空間描述是系統(tǒng)內(nèi)部描述的基本形式，需要由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程表征 狀態(tài)方程和輸出方程。,(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較,一般的說(shuō)外部描述只是對(duì)系統(tǒng)的一種不

6、完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控或不能觀測(cè)的部分。 內(nèi)部描述則是系統(tǒng)的一種完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。,狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義,狀態(tài)變量組:,狀態(tài)：,一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)定義為由其狀態(tài)變量組,所組成的一個(gè)列向量,一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量組定義為能完全表征其時(shí)間域行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量組,狀態(tài)空間：,狀態(tài)空間定義為狀態(tài)向量的一個(gè)集合，狀態(tài)空間的維數(shù)等同于狀態(tài)的維數(shù),幾點(diǎn)解釋,（1）狀態(tài)變量組對(duì)系統(tǒng)行為的完全表征性,只要給定初始時(shí)刻 t0 的任意初始狀態(tài)變量組,和tt0 各時(shí)刻的任意輸入變量組,那么系統(tǒng)的任何一個(gè)內(nèi)部變量在tt0各時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)行為也就隨之而完全確定,(2).狀態(tài)

7、變量組最小性的物理特征,(3). 狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征,(4). 狀態(tài)變量組的不唯一性,(5).系統(tǒng)任意兩個(gè)狀態(tài)變量組之間的關(guān)系,(6)有窮維系統(tǒng)和無(wú)窮維系統(tǒng),(7)狀態(tài)空間的屬性,狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)向量空間R n,2.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,描述系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)變量之間關(guān)系的方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程），包括狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）和輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）。,選擇狀態(tài)變量,2.2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,以上方程可表為形如,機(jī)電系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫示例,上式可表為形如,

8、連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,線性時(shí)不變系統(tǒng),線性時(shí)變系統(tǒng),連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖,離散時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述,狀態(tài)空間描述形式,離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),狀態(tài)空間描述的特點(diǎn),一是:狀態(tài)方程形式上的差分型屬性 二是:描述方程的線性屬性 三是:變量取值時(shí)間的離散屬性,離散時(shí)間線性系統(tǒng)的方塊圖,2.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類,線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng),設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,向量函數(shù),若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)組成元為x、u的非線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng),若f(x,u,t),g(x,

9、u,t)的全部組成元為x、u的線性函數(shù),該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng),對(duì)于線性系統(tǒng),非線性系統(tǒng)可以用泰勒展開方法化為線性系統(tǒng),時(shí)變系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng),若向量f,g不顯含時(shí)間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng),若向量f,g顯含時(shí)間變量t,即,該系統(tǒng)稱為時(shí)變系統(tǒng),連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn),反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的不連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱為離散時(shí)間系統(tǒng).,確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng),稱一個(gè)系統(tǒng)為確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不

10、論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化的.,稱一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量,2.4 由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述,由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述,對(duì)于單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng),其微分方程描述,其傳遞函數(shù)描述,可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為,基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣組。,結(jié)論1,給定單輸入,單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出,(1)m=n,即系統(tǒng)為真情形,(2)mn,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形,結(jié)論2,給定單輸入,單輸出線性時(shí)不

11、變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情況導(dǎo)出,(1)m=0情形,此時(shí)輸入輸出描述為:,選取n個(gè)狀態(tài)變量,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:,(2)m0情形,此時(shí)輸入輸出描述為:,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為:,其中,兩種狀態(tài)空間描述為:,結(jié)論3,給定單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為：,其極點(diǎn)即傳遞函數(shù)分母方程的根,為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類情形導(dǎo)出：,(1) mn，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形,對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為,(2) m=n，即系統(tǒng)為真情形,令,對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：,由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述,例1,設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫其狀態(tài)空間描述,解,上圖等效為,指定狀

12、態(tài)變量組后，列寫變量間的關(guān)系方程：,寫成矩陣形式,例2,設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試列寫其狀態(tài)空間表達(dá)式。,解,可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下,寫出變量之間的關(guān)系,寫成矩陣形式,也可以畫出結(jié)構(gòu)圖為,可寫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,例3,設(shè),畫出結(jié)構(gòu)圖,動(dòng)態(tài)方程為,注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果不唯一！但階次不變。,2.5 線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu),特征多項(xiàng)式,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),(1) 特征多項(xiàng)式,均為實(shí)常數(shù),(2) 特征方程式,(3) 凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理,線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值和特征向量所表征。,(4) 最小多項(xiàng)式,的各個(gè)元多項(xiàng)式之間互質(zhì),定義 (

13、s)為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式 (s)也滿足凱萊-哈密爾頓定理，即 (A)=0,(5) 系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性,如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式 (s)和最小多項(xiàng)式 (s)之間只存在常數(shù)類型的公因子k，即,則稱系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。,(6) 特征多項(xiàng)式的計(jì)算, 基于跡計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法, 基于分解計(jì)算的特征多項(xiàng)式迭代算法,特征值,(1) 特征值的代數(shù)屬性,系統(tǒng)特征值就是使特征矩陣(sIA)降秩的所有s值,(2) 特征值集,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。,(3) 特征值的形態(tài),特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù),(4) 特征值類型,系統(tǒng)特征值可區(qū)

14、分為“單特征值”和“重特征值”兩種類型,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),(5) 特征值的代數(shù)重?cái)?shù),代數(shù)重?cái)?shù)i 代表特征值集中值為i 的特征值個(gè)數(shù),(6) 特征值的幾何重?cái)?shù),(7) 特征值重?cái)?shù)和類型的關(guān)系,對(duì)n 維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若i A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必 有,對(duì)n 維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若i A為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)i和幾何重?cái)?shù)i之間必 有,特征向量和廣義特征向量,n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，i為A的特征值,(1) 特征向量的幾何特性,(2) 特征向量的不唯一性,(3) 單特征值所屬特征向量的屬性,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣A的屬于特征值1、 2、 n的相應(yīng)一組特征向量1、

15、 2、 n為線性無(wú)關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)特征值1、 2、 n為兩兩互異。,特征向量：,特征向量的屬性：,廣義特征向量,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)i為nn維系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)i重特征值(i=1,2,., i j , i j)，則,廣義特征向量的基本屬性：,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)1為系統(tǒng)矩陣A的屬于i 重特征值i的k級(jí)廣義右特征向量，按以下方法定義的k個(gè)特征向量必為線性無(wú)關(guān)：,（1）廣義特征向量鏈,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣A的特征值i 的代數(shù)重?cái)?shù)為i ，則A的屬于i 的廣義右特征向量組由i 個(gè)線性無(wú)關(guān)n1維非零向量組成(i=1,2,., i j , i j) 。,稱此組特征向量為i的長(zhǎng)度為 k 的廣義

16、右特征向量鏈,（2）確定廣義特征向量組的算法,右廣義特征向量組的算法：,A的屬于i重特征值i 的右廣義特征向量組可按如下步驟確定 。,Step1：計(jì)算,直到 。,設(shè)：n=10，I =8，m0=4,并設(shè)：0=0， 1=3 ， 2=6 ， 3=7 ， 4=8,Step2：確定廣義特征向量組的分塊表?；驹瓌t為：,表的列數(shù)廣義特征向量組分塊數(shù) m0=4 表的“列j”“分塊j”，j=1， ，m0， m0=4 列j即分塊j中特征向量個(gè)數(shù)， j=1， ，m0， m0=4 列j即分塊j內(nèi)特征向量按由下而上排列,A的屬于i重特征值i 的右廣義特征向量組分塊表,Step3：定義表中的獨(dú)立型特征向量和導(dǎo)出型特征向

17、量,Step4：確定獨(dú)立型特征向量i1， i2， i3,Step5：確定導(dǎo)出型特征向量,Step6： 對(duì)A的屬于i重特征值i 的右廣義特征向量組，確定廣義特征向量鏈。 其中廣義特征向量鏈的數(shù)目=分塊表中行的數(shù)目=3 廣義特征向量鏈=分塊表中行的特征向量組 3個(gè)廣義特征向量鏈為,（3）不同廣義特征向量組間的關(guān)系,對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)i為nn系統(tǒng)矩陣A的一個(gè)i重特征值， i=1,2,., i j , i j ，則A的屬于不同特征值的個(gè)廣義特征向量組間必線性無(wú)關(guān)。,結(jié)論4,特征值為兩兩互異的情形,2.6 狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形,對(duì)n個(gè)特征值1、 2、 n兩兩互異的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，基于n個(gè)特征向

18、量構(gòu)造變換陣 p =1、 2、 n，則狀態(tài)方程,可通過(guò)線性非奇異變換,而化為約當(dāng)規(guī)范形。,約當(dāng)規(guī)范形被廣泛應(yīng)用于線性時(shí)不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的分析。任意線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程都可以通過(guò)線性非奇異變換化為約當(dāng)規(guī)范形。,特征向量,T-1AT，對(duì)角規(guī)范型,系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)完全解耦,若A陣為友矩陣形式(能控規(guī)范性),則P陣是一個(gè)范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為,當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)特征值時(shí)，可以當(dāng)作互異情況考慮，但 必包含共扼復(fù)數(shù)元，在系統(tǒng)分析與綜合中，需作實(shí)數(shù)化處理。,例試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形,解：A的特征值可由A0求出,對(duì)應(yīng)于11的特征矢量,特征矢量不唯一!,同理可以算出,則變換矩陣P為,狀態(tài)方

19、程變換為約當(dāng)規(guī)范形,結(jié)論5,特征值包含重值的情形,對(duì)包含重特征值的n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值,那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令,可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形：,具有準(zhǔn)對(duì)角線的形式,其中，Ji為相應(yīng)于特征值i 的約當(dāng)塊：,例：P61,重特征值情形的約當(dāng)規(guī)范形是一個(gè)“嵌套式”的對(duì)角塊陣，外層，中層，內(nèi)層 系統(tǒng)狀態(tài)可實(shí)現(xiàn)可能的最簡(jiǎn)耦合。 當(dāng)系統(tǒng)矩陣A所有的特征值I 的i=i，約當(dāng)規(guī)范形為對(duì)角線矩陣。,2.7 由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣,傳遞函數(shù)矩陣,定義：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱為系統(tǒng)的傳

20、遞函數(shù)，即,多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：,稱G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,其中,(1) G(s)的函數(shù)屬性,傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的qp有理分式矩陣。,(2) G(s)的真性和嚴(yán)真性,當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的,(3) G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式,(4) G(s)的極點(diǎn),G(s)的極點(diǎn)定義為方程式,的根,(5) G(s)的循環(huán)性,若,稱G(s)是循環(huán)的,(6) G(s)正則性和奇異性,G(s)基于(A,B,C,D)的表達(dá)式,考慮連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),則,設(shè)G(s)的首

21、一化特征多項(xiàng)式為G(s)，A的特征多項(xiàng)式為(s)，若,必有,若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則,表G(s)的極點(diǎn)集合G，A的特征值集合，若G，則G；若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則G= 。,結(jié)論7,G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式,令,則,2.8 線性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性,坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的表征。,線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為,引入坐標(biāo)變換,則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,結(jié)論8,坐標(biāo)變換是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種基本手段突出系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析和綜合的計(jì)算過(guò)程。,線性時(shí)不變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性,結(jié)論9,線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣

22、在線性非奇異變換下保持不變。,定義：稱具有相同輸入和輸出的兩個(gè)同維線性時(shí)不變系統(tǒng)代數(shù)等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的系數(shù)矩陣之間滿足狀態(tài)空間描述坐標(biāo)變換中給出的關(guān)系。,代數(shù)等價(jià)的系統(tǒng)的基本特征是具有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)特性，如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等。,坐標(biāo)變換具有人為屬性，系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下如特征多項(xiàng)式、特征值、極點(diǎn)、穩(wěn)定性、能控性、能觀測(cè)性等的不變性反映了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)核結(jié)構(gòu)的固有特性。,結(jié)論10,線性時(shí)變系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性,對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng),引入坐標(biāo)變換,P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,2.9 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述和傳遞函數(shù)矩陣,設(shè),子系統(tǒng)并聯(lián),兩個(gè)子系統(tǒng)可

23、以實(shí)現(xiàn)并聯(lián)聯(lián)接的條件,并聯(lián)后,子系統(tǒng)串聯(lián),兩個(gè)子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)串聯(lián)聯(lián)接的條件是：,串聯(lián)后,子系統(tǒng)反饋聯(lián)接,設(shè),兩個(gè)子系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)輸出反饋聯(lián)接的條件是,反饋聯(lián)接后,第三章 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,31 引言,數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。,解的存在性和唯一性條件,設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程,如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間t0,t上為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。,從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為：,系統(tǒng)矩陣A(t)的各個(gè)元aij(t)在時(shí)間區(qū)間t0

24、,t上為絕對(duì)可積，即：,當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)方程的解為存在和唯一，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析才有意義。,輸入u(t)的各個(gè)元uk(t)在時(shí)間區(qū)間t0,t上為平方可積，即：,條件可一步合并為要求B(t)、u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間t0,t上絕對(duì)可積。,本章隨后各節(jié)中，均加設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性和唯一性條件 。,輸入矩陣B(t)的各個(gè)元bij(t)在時(shí)間區(qū)間t0,t上為平方可積，即：,線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)零輸入響應(yīng)零初態(tài)響應(yīng),32 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程,結(jié)論1. 系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式,其中,若初始時(shí)間取為t00則,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的

25、運(yùn)動(dòng)分析是本章討論的重點(diǎn),設(shè)其解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù),則,由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等關(guān)系有,式中x0，b1，bk，都是n維向量，,且x(0)=b0，故,定義：,矩陣指數(shù)函數(shù),矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),(4) 設(shè)A和F為兩個(gè)同維可交換方陣，即AF=FA,則有,矩陣指數(shù)函數(shù)的算法,1：定義法,2：特征值法,1）若A的特征值為兩兩互異,則,只能得到eAt的數(shù)值結(jié)果，難以獲得eAt解析表達(dá)式，但用計(jì)算機(jī)計(jì)算，具有編程簡(jiǎn)單和算法迭代的優(yōu)點(diǎn)。,P為變換A為約當(dāng)規(guī)范型的變換矩陣,p =v1、v2、vn,其中v1、v2、vn為A的n個(gè)特征向量。,2）若A的特征值出現(xiàn)重根,其中,則,其中,假設(shè)的i幾何重?cái)?shù)為1,例,三個(gè)互異特征根1

26、1，22，33,例,三個(gè)重特征根1231，i=3，=2,3：有限項(xiàng)展開法,設(shè)根1、2、 n 為A的n個(gè)互異特征值,若1為n重特征值,例,4：預(yù)解矩陣法,例:已知 ，求eAt,解：,證明：,其解為：,系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng),當(dāng)x(0)=0時(shí)，線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)方程,系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，具有以下形式,系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式,設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,其解為：,對(duì)初始時(shí)刻t0=0情形有表達(dá)式,3.3連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：,基本解陣,矩陣方程,的解陣,稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。,其中H為任意非奇異實(shí)常陣,結(jié)論：(1) 基本解陣不唯一

27、(2) 由系統(tǒng)自治方程,的任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。,(3) 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的一個(gè)可能的基本解陣為,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,矩陣方程,的解陣(t-t0),稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,結(jié)論：,1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出,2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 (t-t0) 唯一，與基本解陣的選取無(wú)關(guān)。,3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為,基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性,3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為,對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，矩陣方程：,的解矩陣(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

28、,矩陣方程,的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。,線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不管是規(guī)律形態(tài)還是分析方法都要復(fù)雜得多，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式形式上十分類似于線性時(shí)不變系統(tǒng)。,結(jié)論：基本解陣不唯一 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程,的任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)解為列構(gòu)成,對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣,結(jié)論：狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式,狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì),系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng),結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，,狀態(tài)方程的解,狀態(tài)運(yùn)動(dòng)計(jì)算上的困難,對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，一般難以確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析表達(dá)式，主要用于理論分析中。可用數(shù)值方法求解。 線性系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)

29、表達(dá)式在形式上的統(tǒng)一性。,3.6 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化,基本約定：,1）對(duì)采樣方式的約定 采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間寬度比采樣周期T小得多。 2）對(duì)采樣周期T大小的約定 滿足Shamnon采樣定理給出的條件 3）對(duì)保持方式的約定 零階保持方式,無(wú)論是采用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為，還是采用離散控制裝置控制連續(xù)時(shí)間受控系統(tǒng)，都會(huì)遇到將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為離散時(shí)間系統(tǒng)的問(wèn)題。,基本結(jié)論：,給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為,其中,結(jié)論：,給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為,其中,結(jié)論 ：,時(shí)間離散化屬性：時(shí)間離

30、散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變或時(shí)不變屬性 離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異。,例：,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。,解,3.7 離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析,不管是時(shí)變差分方程，還是時(shí)不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時(shí)刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個(gè)采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。,定義：矩陣方程(k+1)=G(k) (k,m), (m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 矩陣方程(k

31、+1)=G (k) , (0)=I的解陣(k),稱為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。,結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為： ( k,m ) =G(k-1)G(k-2)G(m) 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：,結(jié)論： (k,m)非奇異 G(i),i=m,m+1,k-1均為非奇異 (k)非奇異 G非奇異 對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化系統(tǒng)，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必為非奇異。,結(jié)論：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其解為：,對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其解為,定義：對(duì)離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) x(0)=x0 y(k)=Cx(k

32、)+Du(k),結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，脈沖傳遞函數(shù)矩陣為,第四章 線性系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性,41 能控性和能觀測(cè)性的定義,能控性和能觀測(cè)性是從控制和觀測(cè)角度表征系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)基本特性。,不完全能控但能觀測(cè),不能控不能觀測(cè)電路,狀態(tài)能控性，能達(dá)性定義,對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),如果存在一個(gè)時(shí)刻,以及一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t),使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到x(t1)=0，則稱非零狀態(tài)X0在t0時(shí)刻為能控。,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1J,t1t0,以及一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t),tt0,t1,使系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(t1)=xf0,則稱非零狀態(tài)xf在t0時(shí)刻為能達(dá)。,注意：

33、對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)離散時(shí)間線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)，若系統(tǒng)矩陣G為非奇異，則能控性和能達(dá)性等價(jià)；對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，能控性和能達(dá)性一般為不等價(jià)。,定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),和指定初始時(shí)刻t0J，如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0J都為能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能控/能達(dá)。,定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),和指定初始時(shí)刻t0J，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非空狀態(tài)集合在時(shí)刻t0J為不能控/能達(dá)，稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能控/能達(dá)。,定義：若系統(tǒng)的能控/能達(dá)性與初始時(shí)刻t0的選取無(wú)關(guān)，或系統(tǒng)在任意初 始時(shí)刻t0J均為完全能控/能達(dá)，則稱系統(tǒng)為一致

34、完全能控/能達(dá)。,注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能控/能達(dá)的概率幾乎等于1。,系統(tǒng)能控性，能達(dá)性定義,能觀測(cè)性定義,和指定初始時(shí)刻t0J,如果存在一個(gè)時(shí)刻t1J，t1t0，使系統(tǒng)以x(t0)=x0為初始狀態(tài)的輸出y(t)恒為零，即y(t)0，tt0,t1，則稱非零狀態(tài)x0在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)；,對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),如果狀態(tài)空間中所有非零狀態(tài)在時(shí)刻t0都不為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為完全能觀測(cè)； 如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)非零狀態(tài)或一個(gè)非零狀態(tài)集合在時(shí)刻t0為不能觀測(cè)，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0為不完全能觀測(cè)； 如果系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)刻均為完全能觀測(cè)，即能觀測(cè)性與初始時(shí)刻t0的選取無(wú)關(guān)，則稱系統(tǒng)為

35、一致完全能觀測(cè)。,該系統(tǒng)是不完全能觀測(cè)的,由于,可見系統(tǒng)的狀態(tài)x(t)的能觀測(cè)性與x(t0)的能觀測(cè)性是等價(jià)的。,注：從工程實(shí)際角度考慮，一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)為能觀測(cè)的概率幾乎等于1。,其解為；,42 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性判據(jù),結(jié)論1：,(格拉姆矩陣判據(jù)) 線性時(shí)變系統(tǒng),在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能控的充分必要條件是下列格拉姆矩陣,為非奇異矩陣。,證明：,充分性,為非奇異時(shí)，系統(tǒng)能控,說(shuō)明系統(tǒng)是能控的。必要性證明采用反證法，自閱。,由于時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣求解困難，故能控性格拉姆矩陣判據(jù)的 意義主要在于理論分析中的應(yīng)用。,結(jié)論3：n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),設(shè)A(t),B(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定

36、義,則系統(tǒng)在時(shí)刻t0J完全能控的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1J，t1t0，,使,能控性秩判據(jù),結(jié)論2：,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：,完全能控的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異。 (格拉姆矩陣判據(jù)),主要在于理論分析和推導(dǎo)中的應(yīng)用。,結(jié)論4,（能控性秩判據(jù)）對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為能控性判別矩陣,滿秩，即rankQc=n,結(jié)論5,（能控性PBH秩判據(jù)）n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為： ranksI-A，B=n, sC C為復(fù)數(shù)域,或 rankiI-A，B=n，i為系統(tǒng)特征值,結(jié)論6： （能控性PBH特征向量判據(jù)

37、） n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能控 的充分必要條件為：矩陣A不存在與B所有列正交的非零左特征向量， 即對(duì)矩陣A所有特征值i ，使同時(shí)滿足TA= i T，T B=0 的左特 征向量T =0。,主要在于理論分析中，特別是線性時(shí)不變系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。,結(jié)論7： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是B中不包含零行向量。,結(jié)論8： （約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)）對(duì)n維線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣中，該行元素不全為零。 特征值相同的各約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的B陣各行向量線性無(wú)關(guān)。

38、,注：1. 能控性PBH特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性時(shí)不變 系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。 2. 狀態(tài)向量的線性非奇異變換不改變系統(tǒng)的能控性。,例,圖示電路，判斷系統(tǒng)能控性條件,解,選取狀態(tài)變量x1=iL，x2=uC，得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,即（R1R4=R2R3）時(shí)，系統(tǒng)不能控。否則系統(tǒng)能控。,例,系統(tǒng)能控的充分必要條件是向量組bl11、bl12、bl13線性無(wú)關(guān)以及bl21 不為零向量。,系統(tǒng)能控,當(dāng)kn時(shí)，Qk為能控性判別矩陣。,對(duì)完全能控連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，定義能控性指數(shù)為： 使“rankQk=n”成立的最小正整數(shù)k 。,結(jié)論9：對(duì)完全能控單輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為

39、n， 則系統(tǒng)能控性指數(shù)n。,能控性指數(shù),連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)：,定義：,結(jié)論10：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n， 輸入維數(shù)為p，設(shè)rankB=r，則能控性指數(shù)滿足如下估計(jì)：,設(shè),為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則,結(jié)論11：多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p， 且rankB=r，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為：,結(jié)論12：對(duì)完全能控多輸入連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)， 狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為p，將Q表為：,其中： 12 rn,由于rankB=r，將Q中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)列重新排列：,能控性指數(shù)滿足： max 1，2 ，r ,且稱 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指

40、數(shù)集。,B,A-1B,43 連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù),結(jié)論1：,線性時(shí)變系統(tǒng) 在t0時(shí)刻是狀態(tài)完全能觀測(cè)的充分必要條件是下列格蘭姆矩陣,為非奇異矩陣,結(jié)論2：,連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是，存在時(shí)刻t10，使格拉姆矩陣,為非奇異。,結(jié)論3：,n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)設(shè)A(t),C(t)對(duì)t為n-1階連續(xù)可微，定義,則系統(tǒng)在時(shí)刻t0J完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1J，t1t0，,使,結(jié)論4,對(duì)n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為能觀測(cè)性判別矩陣,滿秩，即rankQ o=n,結(jié)論5,n 維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必

41、要條件為：,或,為系統(tǒng)特征值,C為復(fù)數(shù)域,結(jié)論7：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為對(duì)角陣，且其特征值兩兩相異，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是C陣中不包含零列向量。,結(jié)論8：對(duì)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，若A為約當(dāng)陣，系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是： 特征值互異的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，該列元素不全為零。 特征值相同的約當(dāng)塊第一列對(duì)應(yīng)的C陣中，各列向量線性無(wú)關(guān)。,結(jié)論6：n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為：矩陣A不存在與C所有行正交的非零右特征向量，即對(duì)矩陣A所有特征值，使同時(shí)滿足,的右特征向量,定義：令,完全能觀測(cè)n維連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性指數(shù)定義為 使“ra

42、nkQk=n”成立的最小正整數(shù)。,結(jié)論9：對(duì)完全能觀測(cè)單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，則能觀測(cè)性指數(shù)為 n。,結(jié)論10：對(duì)完全能觀測(cè)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)維數(shù)為n，輸入維數(shù)為q，設(shè)rankC=m，則,設(shè),為矩陣A的最小多項(xiàng)式次數(shù)，則,結(jié)論11：對(duì)多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)rankC=m，則系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件是：,4.4 離散時(shí)間線性系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),時(shí)變系統(tǒng)的能控性和能觀性判據(jù),定義,離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),如果對(duì)初始時(shí)刻hJk 和任意非零初始狀態(tài)X(h)=X0都存在時(shí)刻lJk,lh和對(duì)應(yīng)輸入u(k),使輸入作用下系統(tǒng)狀態(tài)在時(shí)刻lJk達(dá)到原點(diǎn)，即有

43、X(l)=0,則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控；,如果對(duì)初始時(shí)刻h和任意非零狀態(tài)Xl，都存在時(shí)刻lJk,lh和對(duì)應(yīng)輸入u(k)，使輸入作用下由初始狀態(tài)X(h)=0出發(fā)的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻lJk達(dá)到Xl，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)。,結(jié)論1 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,結(jié)論2 若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)所有 kh,l-1 非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hJk完全能控的充分必要條件為，存在時(shí)刻lJk,lh，使格蘭姆矩陣,為非奇異,若系統(tǒng)矩陣G(k)對(duì)一個(gè)或一些kh,l-1奇異。格蘭姆矩非奇異為系統(tǒng)在時(shí)刻h完全能控的一個(gè)充分條件。,若系統(tǒng)矩陣

44、G(k) 對(duì)所有kh,l-1非奇異，則系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。,若離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。,時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性判據(jù),結(jié)論3 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為，存在時(shí)刻l 0，使格蘭姆矩陣,為非奇異。,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為存在時(shí)刻l 0，使格蘭姆矩陣 為非奇異。,若系統(tǒng)矩陣G奇異，則上述格蘭姆矩陣非奇異為系統(tǒng)完全能控的充分條件。,結(jié)論4 n維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),系統(tǒng)完全能達(dá)的充分必要條件為矩陣,滿秩,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則系統(tǒng)完全能控的充分必要條件為 rankQkc=n。,若

45、系統(tǒng)矩陣G奇異，rankQkc=n 為系統(tǒng)完全能控的一個(gè)充分條件。,結(jié)論5 對(duì)于單輸入離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)完全能控時(shí)，可構(gòu)造如下一組輸入控制,則系統(tǒng)必可在n步內(nèi)由任意非零初態(tài)X(0)，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間原點(diǎn)，通常稱這組控制為最小拍控制。,若系統(tǒng)矩陣G非奇異，則離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)能控性和能達(dá)性等價(jià)。,若離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，則系統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。,例,設(shè)單輸入線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,試判斷系統(tǒng)的能控性，若初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T，確定使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性。,解,系統(tǒng)是能控的,令

46、,若令,無(wú)解。即不存在控制序列u（0），u（1）能夠使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(0)=2,1,0T轉(zhuǎn)移到x(2)=0。,時(shí)變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù),結(jié)論6 離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻hJk完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻lJk,l h,使格蘭姆矩陣,為非奇異,時(shí)不變系統(tǒng)的能觀測(cè)性判據(jù),結(jié)論7 離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為，存在一個(gè)離散時(shí)刻l0,使格蘭姆矩陣,為非奇異,結(jié)論8 n 維離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)的充分必要條件為,滿秩,結(jié)論9 若單輸出離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則利用n步輸出值就可構(gòu)造出相應(yīng)的初始狀態(tài),4.5 對(duì)偶性,對(duì)于線性系統(tǒng)，能控性和能觀測(cè)性之

47、間在概念和判據(jù)形式上存在對(duì)偶關(guān)系，實(shí)質(zhì)上反映了系統(tǒng)控制問(wèn)題和系統(tǒng)估計(jì)問(wèn)題的對(duì)偶。,定義：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),其對(duì)偶系統(tǒng)定義為如下形式的一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng),對(duì)偶系統(tǒng),其中，狀態(tài)Xn維行向量，協(xié)狀態(tài)n維行向量 輸入up維列向量，輸入q 維行向量 輸出yq維列向量，輸出p 維行向量,顯然，是一個(gè)p維輸入q維輸出的n階系統(tǒng)，其對(duì)偶系統(tǒng)d是一個(gè)q維輸入p維輸出的n階系統(tǒng)。,d 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣的轉(zhuǎn)秩 d 輸入矩陣輸出矩陣的轉(zhuǎn)秩 d 輸出矩陣輸入矩陣的轉(zhuǎn)秩,對(duì)偶系統(tǒng)之間具有如下屬性：,1.線性屬性和時(shí)變屬性,2.系數(shù)矩陣的對(duì)偶性,3.狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的對(duì)偶性,互為轉(zhuǎn)秩逆！,互為對(duì)偶的兩系統(tǒng)，輸入端與

48、輸出端互換，信號(hào)傳遞方向相反，信號(hào)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)互換，對(duì)應(yīng)矩陣轉(zhuǎn)置。,原構(gòu)系統(tǒng)與其對(duì)偶系統(tǒng)具有相同屬性。,4.方塊圖對(duì)偶屬性,結(jié)論: 設(shè)為原構(gòu)線性系統(tǒng), d為對(duì)偶線性系統(tǒng),則有,完全能控 d 完全能觀測(cè),完全能觀測(cè) d 完全能控,線性時(shí)不變系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)矩陣,互為對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置，特征方程式相同，特征值相同。,對(duì)偶性原理,完全能控 d 完全能觀測(cè),根據(jù)這一原理，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控（狀態(tài)完全能觀測(cè)）的特性，可以轉(zhuǎn)化為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測(cè)（狀態(tài)完全能控）的特性來(lái)研究。 對(duì)偶原理的意義，不僅在于提供了一條途徑，使可由一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)導(dǎo)出另一種結(jié)構(gòu)特性判據(jù)，而且還在于提供了一

49、種可能性，使可建立了系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題和最佳估計(jì)問(wèn)題基本結(jié)論間的對(duì)于關(guān)系。,4.6離散化線性系統(tǒng)保持能控性和能觀測(cè)性的條件,設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),對(duì)應(yīng)的時(shí)間離散化系統(tǒng),其中G =eAT H=,A的特征值,結(jié)論1： 如果連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）不能控（不能觀測(cè)），則對(duì)任意采樣周期T離散化后的系統(tǒng)（G、H、C）也是不能控（不能觀測(cè)）的。,本定理也可敘述為： 如果離散化后的系統(tǒng)是能控（能觀測(cè)）的，則離散化前的連續(xù)系統(tǒng)一定是能控（能觀測(cè)）的。,將線性連續(xù)系統(tǒng)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行分析和控制，是現(xiàn)今系統(tǒng)與控制理論中常為采用的一種模式。,結(jié)論2 ：設(shè)連續(xù)系統(tǒng)（A、B、C）能控（能觀測(cè)），則離散化后的系統(tǒng)也能

50、控（能觀測(cè)）的必要條件是：,不是A的特征值。其中l(wèi)為非零整數(shù),結(jié)論3: 對(duì)時(shí)間離散化系統(tǒng)，使采樣周期T的值，對(duì)滿足Reij=0 的一切特征值，成立,則時(shí)間離散化系統(tǒng)能控的充分必要條件是eATB為行線性無(wú)關(guān),結(jié)論4: 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其時(shí)間離散化系統(tǒng)保持完全能控/完全能觀測(cè)的一個(gè)充分條件為，采樣周期T滿足如下條件：對(duì)A的任意兩個(gè)特征值1、 2，不存在非零整數(shù)l ，使,成立,對(duì)于單輸入單輸出系統(tǒng)，本定理是充分必要的。,4.7能控性、能觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系,結(jié)論1: 單輸入單輸出系統(tǒng)（A、b、c）是能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：傳遞函數(shù)G（s）的分母|sI-A|與分子之間不發(fā)生因子相消。,

51、例,設(shè)單輸入、單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù),由于存在零、極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可能是既能控又能觀測(cè)的。,結(jié)論2: 多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能控的充分必要條件是：狀態(tài)向量與輸入向量之間的傳遞矩陣,的各行在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)。,結(jié)論3：多輸入多輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)能觀測(cè)的充分必要條件是：輸出向量與初始狀態(tài)向量X(0)之間的傳遞矩陣,的各列在復(fù)數(shù)域上線性無(wú)關(guān)。,48能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形：SISO情形,由于狀態(tài)變量選擇的非唯一性，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述也不是唯一的。 在實(shí)際應(yīng)用中，常常根據(jù)所研究問(wèn)題的需要，將狀態(tài)空間描述化成相應(yīng)的幾種規(guī)范形式：如約當(dāng)規(guī)范型，對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的計(jì)算，能控性和能觀性分析是十分方便的。能控

52、規(guī)范型對(duì)于狀態(tài)反饋來(lái)說(shuō)比較方便，而能觀測(cè)規(guī)范型則對(duì)于狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)及系統(tǒng)辯識(shí)比較方便。 無(wú)論選用哪種規(guī)范形，其實(shí)質(zhì)都是對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述進(jìn)行非奇異線性變換，其關(guān)鍵在于尋找相應(yīng)的變換矩陣。,本節(jié)以線性時(shí)不變SISO系統(tǒng)為對(duì)象，討論能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形的基本形式和變換矩陣的構(gòu)造方法。,線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為,能控性能觀測(cè)性在線性非奇異變換下的屬性,引入坐標(biāo)變換,，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,結(jié)論1：連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性在線性非奇異變換下保持不變。能控性指數(shù)，能觀測(cè)性指數(shù)也保持不變。,能控規(guī)范形,結(jié)論2：對(duì)完全能控n維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),則通過(guò)變換矩

53、陣,或,可將系統(tǒng)變換成能控規(guī)范形，即,導(dǎo)出：,注：1.能控規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于系統(tǒng)綜合與仿真研究很方便。 2.完全能控的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同的能控規(guī)范形。 3.一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、b陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能控。 4.單輸入系統(tǒng)具有唯一的能控規(guī)范形。,無(wú)特殊形式,結(jié)論3：對(duì)完全能觀測(cè)的n 維單輸入單輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，其能觀測(cè)規(guī)范形可基于線性非奇異變換,導(dǎo)出,其中,注：1.能觀測(cè)規(guī)范形以明顯形式直接和特征多項(xiàng)式系數(shù)0，1， ，n-1 聯(lián)系起來(lái)，對(duì)于綜合系統(tǒng)的觀測(cè)器很方便。 2.完全能觀測(cè)的任意兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)必具有相同

54、的能觀測(cè)規(guī)范形。 3.一個(gè)單輸出系統(tǒng)，如果其A、c陣具有如上形式，則系統(tǒng)一定能觀測(cè)。 4.單輸出系統(tǒng)具有唯一的能觀測(cè)規(guī)范形。,無(wú)特殊形式,例：已知線性時(shí)不變能控系統(tǒng)的狀態(tài)方程，試化為能控規(guī)范型。,解：,49 能控規(guī)范形和能觀測(cè)規(guī)范形MIMO情形,多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀測(cè)規(guī)范型，相比于單輸入單輸出情形，無(wú)論規(guī)范形式還是構(gòu)造方法都要復(fù)雜一些。 1.規(guī)范形式的不唯一性 2.構(gòu)造變換矩陣的復(fù)雜性 本節(jié)僅討論應(yīng)用較廣的龍伯格規(guī)范形。,搜索線性無(wú)關(guān)的行或列的方法,多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性判別矩陣和能觀測(cè)性判別矩陣,從Qc或Qo中找出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列或行，通常

55、需經(jīng)過(guò)一個(gè)搜索過(guò)程。,nnp,nqn,考察n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),能控性判別矩陣為,若系統(tǒng)完全能控，rankQc=n，即Qc的np列中只有n個(gè)線性無(wú)關(guān)。,nnp,1.搜索Qc中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量的“列向搜索方案”,用格柵圖的方法在Qc中搜索n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量。,格柵圖,b1 b2 b3 b4,A0 A1 A2 A3 A4 A5,B,AB,A2B,A3B,A4B,A5B,n6,1 2 3,搜索到1 2 3n停止。,1 3， 2 2， 31 ，l3,Qc中的6個(gè)線性無(wú)關(guān)的列: b1, Ab1, A2b1; b2, Ab2; b3,b1 b2 b3 b4,A0 A1 A2 A3

56、 A4 A5,1 2 3,1 3， 2 1 ， 3 2,2.搜索Qc中的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量的“行向搜索方案”,rankB=rp,n6，p4，r3,搜索到1 2 3 n 停止。, 1, 2, 3 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。,Qc中的6個(gè)線性無(wú)關(guān)的列: b1, Ab1, A2b1; b2; b3, Ab3,B,AB,A2B,A3B,A4B,A5B,龍伯格能控規(guī)范形,龍伯格能控規(guī)范形在系統(tǒng)極點(diǎn)配置綜合問(wèn)題中有著廣泛的用途。,考察完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),能控性判別矩陣為,rankB=rp,采用“行向搜索方案”，在Qc中找出n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，并組成非奇異矩陣：,其中 1，2

57、，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rn,構(gòu)造變換矩陣S, 1，2 ，r 為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，且 12 rn,對(duì)于完全能控的n維多輸入多輸出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),rankB=rp,基于線性非奇異變換 ，可導(dǎo)出系統(tǒng)的龍伯格能控規(guī)范形,無(wú)特殊形式,r 列,P - r 列,例：已知完全能控的連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng),試將其變換為龍伯格能控規(guī)范形,解：1.寫出能控性判別矩陣Qc,采用“行向搜索方案”，在Qc中找出3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量,b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1 A2b2,b1 b2,A0 A1 A2,1 2,12，2 1,rankB=r=p=2,Qc中3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量為b1 ，b2

58、，Ab1,由Qc中找出的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量組成非奇異矩陣：,12，2 1,龍伯格能控規(guī)范形為：,4.10 連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,系統(tǒng)按能控性分解,設(shè)不完全能控n維多輸入多數(shù)出連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為,在Qc中采用“行向搜索方案”或“列向搜索方案”搜索出k個(gè)線性無(wú)關(guān)列q1, q2，qk ；其次，在除Qc外的n維狀態(tài)空間中，任意選取n - k個(gè)線性無(wú)關(guān)列qk+1, qk+2，qn ，構(gòu)成非奇異變換P-1,結(jié)構(gòu)分解的實(shí)質(zhì)是以明顯的形式，將不完全能控或/和不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)分解為不同的四部分，其目的既可以深入了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征，又可以深入揭示狀態(tài)空間描述與輸入輸出描述間的關(guān)系。,能控性判別矩陣的秩,引入非奇異線性變換,其中,可使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)按能控性的結(jié)構(gòu)分解：,狀態(tài)向量的非奇