7導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題.

1、四：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題【例1】 將邊長為的正三角形薄鐵皮沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則的最小值是 【關(guān)鍵詞】2010，江蘇，高考，題14【解析】 記剪下的三角形邊長為，則，梯形的周長為；梯形的面積為，故，從而，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取到極小值，也即最小值【答案】【例2】 設(shè)球的半徑為時(shí)間的函數(shù)若球的體積以均勻速度增長，則球的表面積的增長速度與球半徑（ ）A成正比，比例系數(shù)為 B成正比，比例系數(shù)為C成反比，比例系數(shù)為 D成反比，比例系數(shù)為【關(guān)鍵詞】2009，湖北，高考【解析】 由題意可知球的體積為，則，由此可得，而球的表面積為，所以球的表面積的增長速度，即，故選D【

2、答案】D【例3】 某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)測算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為萬元；距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元，假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其它因素記余下工程的費(fèi)用為萬元 試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最??？【關(guān)鍵詞】2009，湖南，高考【解析】 設(shè)需新建個(gè)橋墩，則，即，所以由知，令，得，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；所以在處取得最小值，此時(shí)故需新建9個(gè)橋墩才能使最小【答案】；需新建9個(gè)橋墩才能使最小【例4】 兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選

3、擇一點(diǎn)建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城和城的總影響度為對(duì)城與城的影響度之和，記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 ，當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為 將表示成的函數(shù)； 討論中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說明理由【關(guān)鍵詞】2009，山東，高考【解析】 根據(jù)題意，且建在處的垃圾處理廠對(duì)城的影響度為，

4、對(duì)城的影響度為，因此，總影響度為又因?yàn)槔幚韽S建在弧的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為，所以解得，所以 因?yàn)橛山獾没颍ㄉ崛ィ?，易知，隨的變化情況如下表：0極小值由表可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)，故在上存在點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小該點(diǎn)與城的距離【答案】；存在，該點(diǎn)與城的距離【例5】 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)、及的中點(diǎn)處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界），且與、等距離的一點(diǎn)處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道、設(shè)排污管道的總長度為設(shè)，將表示為的函數(shù)；請(qǐng)根據(jù)中的函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的

5、總長度最短【關(guān)鍵詞】2008，江蘇，高考，題17【解析】 因?yàn)?，所以在的垂直平分線上，取的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)在上因?yàn)?，在中，故法一：因?yàn)?，所以只要求函?shù)的最小值那么，解得，取等號(hào)時(shí)，有最小值，此時(shí)，即污水處理廠的位置在的垂直平分線上距離邊處法二：由得，則當(dāng)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)那么當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)，（下略）設(shè)，將表示為的函數(shù)并且此關(guān)系式確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短 因?yàn)?，所以在中，故若選擇，則得，兩邊平方，化簡得由得，化得，解得 （舍去），或當(dāng)時(shí)，（下略）【答案】；污水處理廠的位置在的垂直平分線上距離邊處【例6】 如圖，有一塊半橢圓

6、形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為 求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域； 求面積的最大值【關(guān)鍵詞】2007，北京，高考，題19【解析】 依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)?記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為【答案】，其定義域?yàn)榈淖畲笾禐椤纠?】 為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6

7、萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：）滿足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和求的值及的表達(dá)式；隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值【關(guān)鍵詞】2010，湖北，高考，題17【解析】 設(shè)隔熱層厚度為，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為，再由，得，因此，而建造費(fèi)用為，最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為，令，即解得，（舍去）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故是的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元【答案】，；隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬元【例8】 統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小

8、時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距千米當(dāng)汽車以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【關(guān)鍵詞】2006，福建，高考【解析】 當(dāng)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，要耗沒（升）當(dāng)速度為千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為升，依題意得，令得當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，取到極小值因?yàn)樵谏现挥幸粋€(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)汽車以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油升當(dāng)汽車以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為升【答案】升；當(dāng)

9、汽車以千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為升【例9】 請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷它下部的形狀是高為m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為m的正六棱錐（如右圖所示）試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？OO1【關(guān)鍵詞】2006，江蘇，高考【解析】 設(shè)為m，則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為：，（單位：m）故底面正六邊形的面積為：（單位：）帳篷的體積為：（單位：）求導(dǎo)得令，解得（不合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，最大答：當(dāng)為m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為【答案】當(dāng)為m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為【例10】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造

10、成本是分，其中是瓶子的半徑，單位是厘米已知每出售ml的飲料，制造商可獲利分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為，瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤最大？瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤最??？【解析】 當(dāng)瓶子的半徑為時(shí)，每瓶飲料的利潤是令 解得（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高；當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低當(dāng)瓶子半徑為時(shí)，利潤最小，這時(shí)，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤是負(fù)值當(dāng)瓶子半徑為時(shí)，利潤最大換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖象上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？由圖象知：當(dāng)時(shí)，即瓶子的半徑為時(shí)，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤才為正值當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為時(shí)，利潤最小【答案】當(dāng)瓶子半徑為時(shí)，利潤最大當(dāng)瓶子半徑為時(shí)，利潤最小有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸的處，乙廠到河岸的垂足與相距，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米元和元，問供水站建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？分析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)