微分方程的積分因子求解法

1、.常微分方程的積分因子求解法內(nèi)容摘要：本文給出了幾類特殊形式的積分因子的求解方法，并推廣到較一般的形式。關(guān)鍵詞： 全微分方程，積分因子。一、 基本知識定義1.1 對于形如 （1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是，的一個(gè)可微函數(shù)的全微分，即= ，則稱（1.1）為全微分方程. 易知，上述全微分方程的通解為 =, （為任意常數(shù)）.定理1.1 （全微分方程的判別法）設(shè)，在，平面上的單連通區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則（1.1）是全微分方程的充要條件為 （1.2）證明見參考文獻(xiàn)1.定義1.2 對于微分方程（1.1），如果存在可微函數(shù)，使得方程 （1.3）是全微分方程，則稱為微分方程（1.1）的積分因子

2、. 定理1.2 可微函數(shù)為微分方程（1.1）的積分因子的充要條件為-= （1.4）證明：由定理1.1得，為微分方程（1.1）的積分因子的充要條件為 ， 展開即得：-=.上式整理即得（1.4）. 證畢 注1.1 若，則（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只須求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故關(guān)鍵在于求積分因子。為了求解積分因子，必須求解方程（1.4）。一般來說，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，當(dāng)具有某種特殊形式時(shí)還是較易求解的。二、特殊形式的積分因子的求法情況1 當(dāng)具有形式時(shí)，方程（1.4）化為=，即 =于是得到：定理2.1 微分方程（1.1）具有

3、形如的積分因子的充要條件為只是的連續(xù)函數(shù), 不含. 此時(shí)易得, .類似地定理2.2 微分方程（1.1）具有形如的積分因子的充要條件為只是的連續(xù)函數(shù), 不含. 并且, .例2.1 求的通解. 解: 因 =, 故 . 方程兩邊同乘以得 ,即, 故通解為=,即，（為任意常數(shù)）.情況2 如果(1.1)具有形如的積分因子, 令, 則 =. 由(1.4)得=,于是得到:定理2.3 微分方程（1.1）具有形如的積分因子的充要條件為 只是的連續(xù)函數(shù), 此時(shí)積分因子為, (為任意非零常數(shù)).例2.2 求 的積分因子.解: 因 =故方程具有形如的積分因子, 取得， =.情況3 如果(1.1)具有形如的積分因子,

4、令, 則=. 由(1.4)得=,于是得到:定理2.4 微分方程（1.1）具有形如的積分因子的充要條件為只是 的連續(xù)函數(shù), 此時(shí)積分因子為, (為任意非零常數(shù)).例2.3 求的積分因子.解: 因 =， 故方程具有形如的積分因子, 取得 =.情況 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如的積分因子, 令, 則. 由(1.4)得=,于是得到定理2.5 微分方程（1.1）具有形如的積分因子的充要條件為只是的連續(xù)函數(shù), 此時(shí)積分因子為 , (為任意非零常數(shù)).類似地, 我們有定理2.6 微分方程（1.1）具有形如的積分因子的充要條件為只是的連續(xù)函數(shù), 此時(shí)積分因子為 , (為任意非零常數(shù)).例2.4 求

5、 的積分因子.解: 由 ， =, 易知, 欲使上式僅是的函數(shù), 只須等于常數(shù)即可. 為此, 令 , , 得 , . 此時(shí) =-1. 取得. 三、一般理論定理 3.1 如果是微分方程(1.1)的積分因子, (1.1)乘以后得到(1.3). 設(shè)(1.3)的左端為, 則仍是(1.1)的積分因子. 其中, 是任何可微函數(shù).定理 3.2 在(1.1)中, 若和在長方形區(qū)域上連續(xù),且在上處處不為零. 對于(1.1)的任何兩個(gè)在上處處連續(xù)且恒不為零的積分因子, (從而, 在上不變號), 設(shè) .則在內(nèi)任一點(diǎn), 可定出一鄰域, 在此鄰域內(nèi), 只是的函數(shù).上述兩定理的證明可參見參考文獻(xiàn)3.注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 設(shè)是(1.1)的積分因子, (1.3)的左端為, 則(1.1)的積分因子通式為. 其中, 是任何可微函數(shù).例3.1 求 的積分因子及通解.解: 重新組合: ,對于前一個(gè)括號內(nèi)可求得一個(gè)積分因子, 乘之得 . 故前一個(gè)括號內(nèi)可取積分因子通式為.同樣可得后一個(gè)括號內(nèi)的積分因子