概率與統(tǒng)計(jì)：第7講 分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變

1、1,概率與統(tǒng)計(jì)第7講 分布函數(shù)與連續(xù)型隨機(jī)變量,2,用分布函數(shù)描述隨機(jī)變量不如分布律直觀， 對(duì)非離散型隨機(jī)變量，是否有更直觀的描述方法？,?,a,b,3,2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量一、概率密度,1. 定義(p34) 對(duì)于隨機(jī)變量X，若存在非負(fù)函數(shù)f(x)，(-x+)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有,則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù). 常記為X f(x) , (-x+). 注: 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).,4,概率密度的幾何意義為,5,2. 密度函數(shù)的性質(zhì) (p32) (1) 非負(fù)性 f(x)0，(-x)； (2)歸一性,性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要

2、性質(zhì)；,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,求常數(shù)a.,6,(3) 若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則 注: f(x)和F(x)可以互相求解.,EX,設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 求f(x),7,（4） 對(duì)任意實(shí)數(shù)b，若X f(x)，則PX=b0。 于是,注解： 1 在隨機(jī)變量取值某一點(diǎn)的概率密度與概率的區(qū)別. (概率密度類似物體的密度) 2 若X f(x), g(x)與 f(x)僅僅在幾個(gè)個(gè)別的點(diǎn)不等，其它區(qū)域相等，則X g(x). 3 不可能事件的概率為0, 但概率為0的事件不一定是不可能事件.,8,例3.已知隨機(jī)變量X的概率密度為 1)求X的分布函數(shù)F(x), 2)求PX(0.5,1.5),9,10,隨

3、機(jī)變量的分布函數(shù),單調(diào)不減性,歸一性,右連續(xù)性,連續(xù)型隨機(jī)變量 的概率密度,F(x)f(x),非負(fù)性,PaXb,11,EX1,某公路橋每天第一輛汽車過橋時(shí)刻為T， 設(shè)0，t時(shí)段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度.,解,當(dāng)t 0時(shí)，,當(dāng)t 0時(shí)，,在t時(shí)刻之前有汽車過橋,于是,12,EX2,設(shè)X的概率密度為,求常數(shù)A.,13,向0,1區(qū)間隨機(jī)拋一質(zhì)點(diǎn)，以X表示質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo).假定質(zhì)點(diǎn)落在0,1區(qū)間的任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的概率密度函數(shù) 解： F(x)=PXx,當(dāng)x0時(shí),F(x)=0;當(dāng)x1時(shí),F(x)=1,當(dāng)0 x1時(shí),特別,F(1)=P0 x1=k=1,EX3,

4、14,概率與統(tǒng)計(jì)第八講 幾種常用的連續(xù)型分布,主講教師：趙慧秀,15,1. 均勻分布(p36) 若Xf(x),則稱X在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b),對(duì)任意實(shí)數(shù)c, d (acdb)，都有,二 幾種常用的連續(xù)型分布,16,例4.長途汽車起點(diǎn)站于每時(shí)的10分、25分、55分發(fā)車,設(shè)乘客不知發(fā)車時(shí)間，于每小時(shí)的任意時(shí)刻隨機(jī)地到達(dá)車站，求乘客候車時(shí)間超過10分鐘的概率.,15,45,解：設(shè)A乘客候車時(shí)間超過10分鐘 X乘客于某時(shí)X分鐘到達(dá)，則XU(0,60),17,2. 指數(shù)分布(P37) 若 X,則稱X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布。,18,例1 .電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為0.

5、5的指數(shù)分布 (1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？,解,19,20,正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上 研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。,3. 正態(tài)分布 (p38),A,B,A，B間真實(shí)距離為，測量值為X。X的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？,21,其中 為實(shí)數(shù)， 0 ，則稱X服從參數(shù)為 ,的正態(tài)分布,記為N(, 2)，可記為XN(, 2).,若隨機(jī)變量,22,(1) 單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱；(p39) f()maxf(x) .,正態(tài)分布有兩個(gè)特性：,23,(2)

6、 的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦，隨機(jī)變量取值越分散 越小，曲線越陡峻，隨機(jī)變量取值越集中 正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布,24,4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(p39) 參數(shù)0，21的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作XN(0, 1)。,25,分布函數(shù)表示為,其密度函數(shù)表示為,26,一般的概率統(tǒng)計(jì)教科書均附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表供讀者查閱(x)的值。 (P268附表1),注：(1) (-x)1 (x)；,27,(2) 若XN(, 2)，則,于是,28,EX,1 設(shè)隨機(jī)變量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?,2.設(shè) XN(,2),求P-3X+3 (P40) (2*0.9987-1=0.9

7、974),EX2的結(jié)果稱為3 原則”.在工程應(yīng)用中，通常認(rèn)為P|X- |3 1，忽略|X- |3的值. 如在質(zhì)量控制中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào).表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常.(實(shí)際推斷原理-小概率事件原理),29,例3 某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓)服從N(110,122).在該地區(qū)任選一位18歲女青年,測量她的血壓,(1)求PXx0.05,30,注:XN(110,122).,31,Ex: 在電源電壓不超過200v,200240v,和超過240v三種情況下，某電子元件損壞的概率分別為0.1, 0.001,和0.2，假設(shè)電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,2

8、52),求該電子元件損壞的概率.,解：設(shè) A該電子元件損壞.,設(shè),Hi,i=1,2,3,分別為電源電壓“不超過200v”, “200240v”, 和“240v以上”. 由全概率公式,=0.10.2119+0.0010.5763+0.20.2119=0.064,故該電子元件損壞的概率約為0.064.,32,幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量,均勻分布,正態(tài) 分布,指數(shù)分布,無記憶性,PcXd,兩個(gè)參數(shù)的意義,33,EX 一種電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正態(tài)分布(100,152),某儀器上裝有3個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的.求：使用的最初90小時(shí)內(nèi)無一元件損壞的概率.,解:設(shè)Y為使用的最初90

9、小時(shí)內(nèi)損壞的元件數(shù),故,則YB(3,p),其中,34,EX 設(shè)顧客在某銀行等待服務(wù)時(shí)間X(以分記)服從參數(shù)為1/5的指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù),若等待時(shí)間超過10分鐘,他就離開,他一個(gè)月要到此銀行5次,以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),寫出Y的分布律.,解: 其中p= PX 10 可得,概率與統(tǒng)計(jì)第九講 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,開課系：理學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與金融數(shù)學(xué)系 e-mail: 主頁 ,在許多實(shí)際問題中，我們常對(duì)某些隨機(jī)變量的函數(shù)（也是隨機(jī)變量）感興趣。例如在一些試驗(yàn)中，所關(guān)心的量往往不能通過直接觀測(原始數(shù)據(jù))得到，而需要對(duì)這個(gè)量(原始數(shù)據(jù))加工一下,而它恰是某個(gè)能直接觀測到的隨機(jī)

10、變量的已知函數(shù)，如：我們可以直接測量圓形工件截面的直徑D，而所關(guān)心的卻是工件的截面面積,S的分布是什么?,一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律(p43),2.5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,設(shè)X一個(gè)離散型隨機(jī)變量，分布律為 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元單值實(shí)函數(shù)，則Yg(X)也是一個(gè)隨機(jī)變量，且也為離散型。求Y的分布律.,例1:已知,X,Pk,-1 0 1,求：Y=X2的分布律,Y,Pk,1 0,或 Yg(X)PYg(xk) ， k1, 2, ,一般地,X,Pk,Y=g(X),Ex: XB(n,p), 求Y=2X+1的分布律,二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù),1、一般方法 若XfX(x

11、), Y=g(X)為隨機(jī)變量X 的函數(shù)，假設(shè)Y也為連續(xù)型的，則可先求Y的分布函數(shù).,然后再求Y的密度函數(shù),此法也叫“ 分布函數(shù)法”,例1.設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。,當(dāng)y0時(shí)，,當(dāng)y 1時(shí)，,解,當(dāng)0y 1時(shí)，,例2.已知隨機(jī)變量X的概率密度為,求：Y=1-X2的概率密度。,解：,當(dāng)y-3時(shí)，,當(dāng)y 1時(shí)，,當(dāng)-3y 0時(shí)，,當(dāng)0y 1時(shí)，,例3.設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)是x的嚴(yán)格單減函數(shù),且其反函數(shù)x=h(y)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函數(shù)為,FY(y)=PYy=Pg(X)y =PXh(y)=1-FX(h(y), fY(y

12、)=-(FX(h(y)=fX(h(y) ( h(y),2、公式法(p45)一般地 若XfX(x), y=g(x)嚴(yán)格單調(diào), 且其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則,注：1 只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以 上公式推求Y的密度函數(shù)。 2 注意y=g(x)只需在X的取值范圍內(nèi)單調(diào)即可。,其中h(y)為yg(x)的反函數(shù).,例4設(shè)XU(0,1),求Y=aX+b的概率密度.(a0),解: Y=aX+b關(guān)于X嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,故,而,故,注:均勻分布經(jīng)線性變換后仍為均勻分布,EX,設(shè) (1) 求 的概率密度;,(2) 求Z=Y2的概率密度.,Ex 設(shè)隨機(jī)變量X服從0，2均勻分布，求Y=sin(X)的概

13、率密度。,階段小結(jié).,概率與統(tǒng)計(jì)第十講 二維隨機(jī)變量,主講教師：趙慧秀 主頁 ,3.1 二維隨機(jī)變量一、 多維隨機(jī)變量,1.定義 將n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，.,Xn構(gòu)成一個(gè)n維向量 (X1,X2,.,Xn)稱為 n維隨機(jī)變量。,一維隨機(jī)變量XR1上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) 二維隨機(jī)變量(X,Y)R2上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)Rn上的隨機(jī)點(diǎn)坐標(biāo) 多維隨機(jī)變量的研究方法也與一維類似， 用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計(jì)規(guī)律,(p52)設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量，(x, y)R2, 則稱 F(x,y)=PXx, Yy 為(X, Y)的分布函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合分布函數(shù)。,二. 聯(lián)合

14、分布函數(shù),注：分布函數(shù)F( )表示隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域 中的概率。如圖陰影部分：,(p53) 對(duì)于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),則 Px1X x2， y1Yy2 =,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),EX,G,已知隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F (x,y),求(X,Y)落在如圖區(qū)域G內(nèi)的概率.,答:,分布函數(shù)F(x, y)具有如下性質(zhì)：(p53),且,(1)歸一性 對(duì)任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)單調(diào)不減 對(duì)任意y R, 當(dāng)x1x2時(shí)， F(x1, y) F(x2 , y)； 對(duì)任

15、意x R, 當(dāng)y1y2時(shí)， F(x, y1) F(x , y2).,(3)右連續(xù) 對(duì)任意xR, yR,(4)矩形不等式 對(duì)于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一滿足上述四個(gè)性質(zhì)的二元函數(shù)F(x, y)都可以作為某個(gè)二維隨機(jī)變量 (X, Y)的分布函數(shù)。,例1.已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為,1)求常數(shù)A,B,C. 2)求P02,Y3),解:,三.聯(lián)合分布律,(P54)若二維隨機(jī)變量(X, Y)只能取至多可列對(duì)值(xi, yj), (i, j1, 2, )，則稱(X, Y)為二維離散型隨機(jī)變量。 若二維離散型隨機(jī)變量(X, Y) 取 (xi, yj)的概率為pij,則稱 PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )，為二維離散型隨機(jī)變量(X, Y)的分布律，或隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律.可記為 (X, Y) PXxi, Y yj pij ，(i, j1, 2, )，,X Y y1 y2