靜電場恒定電場和恒定磁場

1、第二章 靜電場、恒定電場和恒定磁場,2. 電介質 所謂電介質就是不導電的介質，如空氣、純凈水、玻璃、橡膠等，它們的特點是絕大部分電荷處于束縛狀態(tài)，不像導體內有自由移動的電子。,圖2.1電介質的極化,式中電位移矢量為,介質中的高斯定理表示為,在線性的各向同性的電介質中,例2.1在空氣中放入一個帶電量為Q、半徑為a的球體，該球體的相對介電常數為r。求該球體內、外任意一點的電場強度。 解（1） 球內任意一點，設到球心距離為r,做高斯面為以r為半徑的球面，如圖2.2所示。 由電場的對稱性可知，E和D的方向為er,所以,圖2.2,（2） 在球外，高斯面為半徑為r的球面，則高斯面包圍的自由電荷即是Q，即q

2、=Q 所以,例2.2電介質中有一無限長帶電直線，其線電荷密度為l,求空間任意一點的電場強度，電介質的相對介電常數為r。 解:做高斯面S如圖2.3所示，由對稱性可知電場強度E只有er分量Er,而 分量 、ez分量Ez被抵消了，均為零。,圖2.3,在點電荷q的電場中任取一條曲線上的連續(xù)A、B兩點，如圖2.4所示，則靜電場E（r）沿此曲線的線積分為,圖2.4 靜電場的線積分,例2.3在靜電場 中,把帶電量為-2C的電荷從A(2,1,-1)點移到B(8,2,-1)點。求沿下列路徑移動時電場力所做的功，如圖2.5所示。,圖2.5,3. 靜電場環(huán)量定理,（1） 沿l1路徑： （2） 沿l2路徑：ACB。,

3、4. 靜電場的基本方程,人們把靜電場的高斯定理和環(huán)量定理稱為靜電場的基本方程的積分形式,靜電場基本方程的微分形式,解:根據靜電場的基本方程微分形式可知,例2.4已知在自由空間球坐標系中電場分布為,求空間各點的體電荷密度分布。,2.2電位和電位方程,1. 電位,靜電場是無旋的矢量場，因此可以引入一個標量函數，這個標量函數稱為電位函數 有如下關系：,設在空間兩點A、B，則它們的電位差為,兩點之間的電位差通常稱為電壓。 如果選取B點為電位參考點，即 =0，則A點的電位為,例2.5對于例2.1求出球體內、外任意一點的電位。 解:選取無窮遠點為電位參考點 則球體外半徑為r的A點的電位為,在球面坐標系中,

4、對于球體內半徑為r的點A，其電位為,2. 電位方程,泊松方程:,拉普拉斯方程,泊松方程在無界空間內，已知場源電荷分布，可根據場源積分法算出電位。,那么對于連續(xù)帶電體，則可以取一電荷元dq，求出dq產生的電位，然后進行積分,式中，R為場點和源點的距離；為源點的區(qū)域。,對于體分布、面分布、線分布情況的電位分別表示為,體分布：,面分布：,線分布：,(2.25),(2.26),(2.27),例2.6在空氣中，半徑為a的圓平面上均布面電荷密度為s的電荷（s為常數）。求在圓平面中心垂直軸線上任意點處的電位和電場強度。,解:由式(2.26)可知,如圖2.6所示，,對上式求負梯度即得到電場強度E(z)，由對稱

5、性可知E(z)只有ez分量，所以,圖2.6,2.3靜電場的邊界條件,式(2.32)和式(2.33)是分界面上E的切向分量的邊界條件。,下面討論兩種典型的邊界條件 （1） 兩種電介質的邊界 在兩種不同介質的分界面上，沒有自由電荷，即 =0，所以式（2.30）和式(2.32)變?yōu)?D1n=D2n (2.34) E1t=E2t (2.35) 式(2.34)還可寫成電場強度法向分量的形式，即1E1n=2E2n (2.36) 由于兩種電介質12，電場強度的法向分量在介質分界面上是不連續(xù)的。這是因為電場對電介質產生極化作用，而使在兩種不同的分界面上產生極化面電荷。,（2） 電介質和導體的邊界 導體是一種自

6、身帶有大量自由電荷的物質，在導體內部電場強度處處為零。 設第一種媒質為電介質，第二種媒質為導體，則D2n=0，E2t=0，所以電介質與導體的邊界條件為,以上兩式說明，在導體表面的電介質中，電場強度沒有切向分量，只有法向分量，即電場垂直于導體表面，且導體表面上由于靜電感應的自由面電荷密度等于導體表面上電介質中電位移矢量的大小。,例2.8兩塊導電平板平行放置，其間填充厚度分別為d1、d2的兩層電介質，相對介電常數分別為 和 ，如圖2.10所示。兩導電板間的電壓為U，忽略邊緣效應，求它們之間電場強度及電荷分布。 解 : 忽略邊緣效應，近似認為導體板數靠近電介質1或電介質2一側的表面的電荷是均勻分布的

7、。這樣在兩種介質中的電場都是均勻的。,圖2.10,圖2.11,在電介質1和電介質2的分界面上無自由電荷，即s=0，但存在著極化電荷，極化面電荷密度為,2.9在兩種各向同性的電介質分界面兩側，電場強度在電介質1中與法線的夾角為 ，在電介質2中與法線的夾角為 ，如圖2.11所示，試推導 、 與 、 之間的關系。,解:由邊界條件可知，界面上沒有自由電荷，所以有,2.4導體系統(tǒng)的電容和靜電場的能量,1. 電容的概念,電容可定義為,(2.39),電容的單位是法拉(F)，實際使用時經常用到微法（F）或皮法(pF),兩個導體在線性介質中，帶有等量的異性電荷q和-q，兩個導體間的電位差（也就是電壓）為U，則這

8、兩個導體組成的導體系統(tǒng)的電容為 C=q/U (2.40) 也與兩個導體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質有關。 兩個導體組成的導體系統(tǒng)常稱為電容器，通過設計兩個導體的幾何形狀、大小、它們之間的距離和周圍的電介質，即可以不用電容器。,例2.10同心金屬球與球殼系統(tǒng)如圖2.12所示，內導體球半徑為a，外導體球殼的內外半徑分別為b和c，導體球與導體球殼帶有等量異號電荷，它們之間充滿相對介電常數為 的電介質，球外為空氣。求該導體系統(tǒng)的電容。 解:根據高斯定理不難求出空間各點的電場強度，設導體球和導體球殼的帶電量分別是q和-q，則導體和導體球殼之間的電場強度的大小為,(2.41),例2.11

9、在例2.10中，導體球帶電荷q1，導體球殼帶電荷q2，設無限遠為電位參考點，求導體系統(tǒng)的部分電容。,對于兩個以上導體組成的多導體系統(tǒng)，由于其中每一個導體上的電位要受到其余多個導體電荷的影響，情況非常復雜。,2. 多導體系統(tǒng)的部分電容,3. 靜電場的能量,帶電體系具有能量 （1） 有一個體電荷密度為的連續(xù)帶電體，電位函數為。帶電系統(tǒng)的靜電場能為,（2） 對于多導體系統(tǒng),例2.12半徑分別為a和b的同軸線，外加電壓為U，內圓柱體電荷量為正，外圓柱面單位長度上的電荷量與內圓柱體等值異號。如圖2.16(a)所示，兩電極間在1的角度內填充介電常數為的電介質，其余部分為空氣，求同軸線單位長度上儲存的電場能

10、量。,圖2.16,2.5恒 定 電 場 在導體中電荷在電場作用下運動而形成電流，如果電流密度不隨時間發(fā)生變化，那么就形成了恒定電場. 對于恒定電場有,根據高斯散度定理，它的微分形式為,歐姆定律的微分形式為,(2.54),(2.55),(2.56),在均勻導電媒質中， ，于是有,(2.57),式(2.54)和式(2.63)稱為恒定電場的基本方程，式（2.57）和式(2.64)稱為恒定電場基本方程的微分形式。,（2.65）,焦耳定律,由恒定電場的基本方程的積分形式可以得出恒定電場的邊界條件（證明方法與靜電場的邊界條件相同）：,其矢量形式分別為,例2.15平行板電容器中填充兩層介質，介電常數和電導率

11、分別為 、 和 、 ，如圖2.18所示。在外加電壓U時，求： （1） 導線中通過的電流； （2） 在交界面上積聚的自由面電荷密度。,解（1） 近似認為平行板電容器由理想導體構成，極板面積S很大，可忽略邊緣效應，故電容器極板的電荷均勻分布，在充電結束后不隨時間發(fā)生變化，極板間形成恒定電場。設導線中的電流為I，也就是在介質中S面上流過的電流為I，有,可見，在介質1和介質2的交界面上存在著自由電荷。這一點與理想介質不同，對于介質1和介質2都是理想介質，無漏電流，所以交界面的自由面電荷密度為零。,2.6恒定磁場的基本方程,磁通連續(xù)性方程 恒定電流產生磁場稱為恒定磁場，它是不隨時間發(fā)生變化的。在恒定磁場

12、中任意取一個曲面S，由矢量通量的定義可知，在S面上的磁通量 為,2. 安培環(huán)路定理,3. 磁介質 把磁介質放入磁場中，這個磁介質被磁場所磁化，,引入磁場強度H：,磁介質的情況較為復雜，對于弱磁介質是各向同性的磁介質有,例2.16有一無限長同軸導體圓柱和圓筒，如圖2.20所示，其中通過的恒定電流自內導體流入，外導體流出。已知內導體的半徑為a，外導體的內外半徑分別為b和c，電流密度在內導體和外導體均勻分布，導體間介質為空氣r=1，導體內的r也近似為1。求空間任意一點的磁感應強度。,圖2.20,2.7矢 量 磁 位,式中，A稱為矢量磁位，它的引入是為了分析求解某些問題更為方便，計算更為簡單。 式（2

13、.88）是電流為線分布的情況。如果電流是面分布的，面電流密度為JS，電流是體分布的，體電流密度為J，則矢量磁體相應的關系式為,例2.17一段長為2L的直導線，流過的電流為I，把它放置在空氣中，求空氣中P點的矢量磁位A和磁感應強度B。 解:建立坐標系，如圖2.21所示，直導線與z軸重合，坐標原點在直導線中點。 那么電流元Idl在P點產生的矢量磁位為,圖 2.21,式中，C為常矢量，它的出現不會影響磁感應強度B的計算 對式(2.93)還可以直接對偏微分方程求解，但首先需要對式(2.93)在坐標系中展開得到三個分量的泊松方程。例如，在直角坐標系中,2.8恒定磁場的邊界條件 恒定磁場的邊界條件是不同的

14、磁介質分界面處，磁感應強度B和磁場強度H的變化規(guī)律。 首先考慮磁感應強度B，根據磁通連續(xù)性方程可以得出 B1n=B2n (2.105) 用矢量形式表示為 en(B1-B2)=0 (2.106) 式中，en是分界面法向的單位矢量。在分界面上磁感應強度B的法向分量是連續(xù)的。,式中，en為界面法向方向的單位矢量。 Js是Js在en(H1-H2)方向的分矢量。 還可以得出在介質分界面上，矢量磁位A是連續(xù)的。,下面考慮磁場強度H，根據安培環(huán)路定理得,2.9載流回路的電感和恒定磁場能量,1. 自感,回路磁鏈與回路電流的比值稱為自感系數，簡稱自感。其表達式為 L=/I (2.125) 在國際單位制中，自感系

15、數L的單位是亨利（H）。 自感的大小由回路的大小、幾何形狀、線圈的匝數以及介質的磁導率有關，而與線圈中流過的電流無關。,例2.20 兩個無限長平行的導線，半徑為a，流過的電流為I，如圖2.25所示，求在l長度上的外電感。,圖2.25例2.20用圖,例2.21一個半徑為a的無限長直導線，在導線均勻流過的電流為I，求這個導線在單位長度上的內電感，如圖2.26所示（設導體內部的磁導率近似為0）。 解:截面上的磁通并沒有與全部電流I交鏈，而只是與一部分電流交鏈，交鏈的總磁鏈為,圖2.26,2. 互感,有兩個回路l1和l2，如圖2.27所示。,如果第一個回路電流I1產生的磁場與第二個回路相交鏈的磁鏈為12，則把12與I1的比值定義為互感系數M12，即 M12=12/I1 (2.128) 同樣，第二個回路電流I2產生的磁場對第一個回路相交鏈的磁鏈21與I1的比值定義為互感系數M21，即 M21=21/I2 (2.129) 互感系數簡稱為互感，單位也是亨利（H），互感決定于回路的形狀、大小、匝數和介質的磁導率，還與兩個回路的相互位置有關。但是回路固定時，是與電流無關的常數。 互感具有互易性質，即 M12=M21=M (2.130),圖2.27,3. 恒定磁場的能量,電流回路系統(tǒng)的能量是建立電流的過