【教學(xué)設(shè)計(jì)】《正弦定理》(北師大)-1

1、正弦定理 教材分析本節(jié)的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于定理教學(xué)課做好正弦定理的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。本節(jié)課以及后面的解三角形中涉及計(jì)算器的使用與近似計(jì)算，這是一種基本運(yùn)算能力，學(xué)生基本 上已經(jīng)掌握了。若在解題中出現(xiàn)了錯誤，則應(yīng)及時糾正，若沒出現(xiàn)問題就順其自然，不必花費(fèi)過多的時間。 教學(xué)目標(biāo)【知識與能力目標(biāo)】通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。【過程與方法

2、目標(biāo)】讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā), 共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、 向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】通過對于三角形的邊角關(guān)系的探究，證明正弦定理并用它解決有關(guān)問題?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。 課前準(zhǔn)備電子課件調(diào)整、相應(yīng)的教具帶好、熟悉學(xué)生名單、電子白板要調(diào)試好。 教學(xué)

3、過程一、導(dǎo)入部分如圖，某農(nóng)場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設(shè)立了兩個觀測點(diǎn) A 和 B，某日兩個觀測點(diǎn)的林場人員分別測到C處出現(xiàn)火情。 在 A 處測到火情在北偏西40方向， 而在 B處觀測到火情在北偏西60方向，已知 B 在 A 的正東方向 10 km 處現(xiàn)在要確定火場C 距 A，B 多遠(yuǎn)？將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 即“在 ABC 中，已知 CAB130，CBA 30， AB 10km ，求 AC 與 BC 的長”。這就是一個解三角形的問題。為此我們需要學(xué)習(xí)一些解三角形的必要知識，今天要探究的是解三角形的第一個重要定理正弦定理，由此展開新課的探究學(xué)習(xí)。二、研探新知，建構(gòu)概念在初中， 我們已學(xué)過如何

4、解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1 1-2 ，在 RtABC中，設(shè) BC=a, AC =b, AB =c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有asin A ，bB ，又 sin C 1ccsin,cc則abccsin B sin Csin A從而在直角三角形ABC 中，abcsin Asin Bsin C思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？1直角三角形中： sinA= a ， sinB= b ， sinC=1cc即c=a， c=b，c=cabcsin A=sin Bsin Csin Asin Bsin C2斜三角形中C證明一：（外接圓法）a如圖

5、所示，aaCD 2Rsin Asin DbOB同理b=2R ，c 2Rsin Bsin Cc證明二：（向量法）AD過 A 作單位向量 j 垂直于 AC 由 AC + CB = AB兩邊同乘以單位向量j得 j ?( AC +CB )=j ? AB則 j ? AC + j ? CB = j ? AB| j |?| AC |cos90 +| j |?| CB |cos(90C)=|j |?| AB |cos(90 A) a sin C c sin A ac=sin Csin A同理，若過 C 作 j 垂直于 CB 得：c=bsin Csin Babcsin A=sin Bsin C正弦定理： 在一個

6、三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsin Asin Bsin C正弦定理的應(yīng)用：從理論上正弦定理可解決兩類問題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角。 理解定理 （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù) k 使 ak sin A ， bk sin B ， ck sin C ；（2）abcabcbacsin Asin Bsin C 等價于 sin AsinB ， sin CsinB ， sin Asin C從而正弦定理可解決兩類有關(guān)解三角形的問題：已知兩邊與任一邊，求其他兩邊和

7、一角；已知兩邊與其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求出其他的邊和角。解三角形： 一般地， 把三角形的三個角和它們的對邊a, b, c 叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。三、質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維例1 ：某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩，其一角已破損，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC2.57cm， BD4.38cm， B450 C1200 。為了復(fù)原，請計(jì)算原玉佩兩邊的長（結(jié)果精確到0.01cm）A分析：將 BD ,CE 分別延長相交于一點(diǎn)A ，在ABC 中，已知 BC 的長度和角B 與 C ，可以通過正弦定理求AB, AC 的長解 ： 將 BD , CE 分 別 延

8、長交 于 一點(diǎn)A ， 在DEABC 中 ， BC2.57cm ， B450，C 1200 ， A1800(B C )150BC因?yàn)?BCACBC sin B2.57 sin 45 07.02cm ， AB 8.60cm，所以 ACsin Asin 150sin A sin B答：原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm,8.60cm。點(diǎn)評： (1) 此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角及兩角所夾的邊，也是先利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再利用正弦定理。(2) 解三角形的實(shí)際問題中，數(shù)字計(jì)算往往較煩瑣，可借助計(jì)算器或其他的計(jì)算工具。變式訓(xùn)練1：在 ABC 中， (1) 已知 c3 ，

9、A45， B60，求 b；(2) 已知 b 12， A30， B120，求 a.( 結(jié)果保留兩個有效數(shù)字 )解： (1) C180 ( A B) 180 (45 60) 75，bcsin Bsin C(2) absin A，sin B點(diǎn)評：此題為正弦定理的直接應(yīng)用，意在使學(xué)生熟悉正弦定理的內(nèi)容，可以讓數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生在黑板上解答，以增強(qiáng)其自信心。例 2：臺風(fēng)中心位于某市正東方向 300 km 處，正以 40km/ h 的速度向西北方向移動，距離臺風(fēng)中心 250km 范圍內(nèi)將會受其影響。如果臺風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時起要遭受臺風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長時間（結(jié)果精確到0.1h ）？分析：臺風(fēng)沿

10、著BD 運(yùn)動時，由于 | AB |300km250km ，所以開始臺風(fēng)影響不了城市 A ，由點(diǎn) A 到臺風(fēng)移動路徑BD 的最小距離| AE | | AB | sin 4503002211.5km 250km2所以臺風(fēng)在運(yùn)動過程中肯定要影響城市A ，這就要在北DBD 上求影響 A 的始點(diǎn) C1 和終點(diǎn) C2 ，然后根據(jù)臺風(fēng)C的速度計(jì)算臺風(fēng)從C1 到 C2 持續(xù)的時間。E解：設(shè)臺風(fēng)中心從點(diǎn)B 向西北方向沿射線BD 移動，C該市位于點(diǎn) B 的正西方向300km處的點(diǎn) A ，假設(shè)經(jīng)AB過 th ， 臺 風(fēng) 中 心 到 達(dá) 點(diǎn) C ， 則 在 A B C中 ，AB 300km, AC250km, BC4

11、0tkm, B450由正弦定理得ACABBCAB sin B300 sin 45032sin B知 sin CAC2500.8485sin C sin A5利用計(jì)算器得角 C1121.95 0 , C258.05 0當(dāng) C1 121.950 時， A1800( B C1 ) 1800( 450121.95 0 )13.050所以 BC1AC1 sin A250sin 13.05 079.83(km) ， t1BC179.832.0hsin Bsin 4504040同理：當(dāng) C 258.050 時， BC2344.4km, t28.6h ， t2t1 8.62.06.6(h)答：約 2h后將要遭

12、受臺風(fēng)影響，持續(xù)約6.6h 。思考： 通過這個問題的解決我們發(fā)現(xiàn)，如果已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時會出現(xiàn)兩解的情況， 還會出現(xiàn)其他情況嗎？為什么有兩個解？你還能用其他方法解決這個問題嗎？已知 a, b 和 A,用正弦定理求B 時的各種情況：若 A 為銳角時：ab sin A無解absinA一解 (直角 )bsinAab 二解 (一銳 , 一鈍 )ab一解 (銳角 )已知邊 a,b 和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1 HB2aHBaCH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinAabb僅有一個解無解僅有一個解有兩個解ab無解若 A 為直角或鈍角時：ab一解CaCbabAA

13、BBa b 無解 a b 一解變式訓(xùn)練2：根據(jù)下列已知條件，判定有沒有解，若有解，判斷解的個數(shù)：（1） a5， b4，A 120，求 B（ 2） a5， b4，A 90，求 B（3） a5， b10360 ，求 B （ 4） a4， b10360 ，求 B3， A3， A解：（ 1） A120 , B 只能為銳角 , 因此僅有一解。（2） A90 , B 只能為銳角 , 因此僅有一解。（3） sin B 1, 即 B90 , 僅有一解。（4）由（ 3）改編， a4 b sin 60 ，由圖知，本題無解 )例 3.在ABC 中， AB( x, y) ， AC (u, v)求證：ABC 的面積 S

14、1 | xv yu |2證明： S1 | AB | | AC | sin A12| AB |2 | AC |2 sin 2 A21| AB |2| AC |2 (1cos2A)21| AB |2| AC |2(| AB | AC | cos A) 221(| AB | AC |) 2( ABAC )22因?yàn)椋?AB( x, y) AC(u, v)所以 S1(x 2y 2 )(u 2v 2 ) (xu yv) 221( xv yu)21 | xvyu |22四、課堂小結(jié)：（1）正弦定理：abcsin Asin B2Rsin C（ 2）正弦定理的證明（ 3）正弦定理的應(yīng)用范圍已知三角形的兩角和任一

15、邊，求三角形的其他邊和角已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求三角形的其他邊和角（ 4）解三角形時根的個數(shù)數(shù)問題五、作業(yè)布置：1、已知在ABC 中， c10, A450 , C30 0 , 求 a,b和 B 。解：c10, A450 ,C300 B1800( AC )1050自然數(shù)由ac得 ac sin A10sin 45 0102由bc得sin Csin Csin 30 0sin Bsin Asin Cbc sin B10 sin 105020sin 750206425 652sin Csin 3002、在ABC 中， b3, B600 ,c1, 求 a和 A,Cbcsin Ccsin B 1sin 6001解：,b32sin Bsin Cbc, B60 0 ,CB,C 為銳角， C 30 0 , B90 0 ab