1422-數(shù)學-江蘇省2012～2013學年第二學期期初質(zhì)量檢查高三數(shù)學試題

1、江蘇省 20122013學年第二學期期初質(zhì)量檢查高三數(shù)學試題2013年 2 月 19 日注意事 ： 將本 卷所有 的 答案 寫在答卷上的指定 號的 位置，在其它位置作答一律無效. 一填空 （本大 共14 小 ，每小 5 分， 70 分）1已知 x, yR ， i 虛數(shù) 位，且( x2)iy1i ， xy。2用一 本數(shù)據(jù)8， x ， 10， 11， 9 來估 體的 準差，若 本數(shù)據(jù)的平均數(shù) 10， 體 準差 s.3 下列程序:S1For I from 1 to 5 step 2S S+I End forPrint SEnd 出的 果是4巳知函數(shù)f ( x)cosx(x(0,2 ) 的兩個不同的零

2、點 x1 , x2 ，且方程f (x)m 有兩個不同的 根x3 , x4 .若 四個數(shù)按從小到大構(gòu)成等差數(shù)列， 數(shù)m 的 5. 有 2 個人在一座 7 大樓的底 入 梯，假 每一個人自第二 開始在每一 離開 梯是等可能的，則這 2 個人在不同 離開的概率 6.在整數(shù)集 Z 中，被 5 除所得余數(shù) k 的所有整數(shù) 成一個“ ”， k ，即 k5nk n Z，k 0,1,2,3,4 出如下四個 ：20133 ； 22 ； Z0 1 2 3 4；整數(shù) a,b 屬于同一“ ”的充要條件是“ab0 ”其中，正確 的個數(shù) xy207. 平面區(qū)域 y20內(nèi)一點 P 作 O : x2y21的兩條切 ，切點分

3、A, B ， APB，xy20 當最小 cosuuuruuuruuuruuuruuuur uuur8正三角形 ABC 邊長為 2， BC2BD ， AC3AE ， AD BE9. 如下 所示的數(shù) 叫“萊布尼 和三角形”，他 是由整數(shù)的倒數(shù) 成的，第n 行有 n 個數(shù)且兩端的數(shù)均 1(n 2) ，每個數(shù)是它下一行左右相 兩數(shù)的和，如： 111,111,111 ， 第 n(n 3)n1222363412行第 3 個數(shù)字是y21x12第 10 題10若函數(shù) f ( x)bxc( a,b, cR) ，其 象如上 所示， a b cx2ax 111定 在 R 上的函數(shù) f (x) 足 f ( x)log

4、 2 (1 x),x0的 ， f (2012)f ( x 1) f ( x 2), x 0112已知正數(shù) x， y 足 (1 x)(1 2y) 2， 4xy xy的最小 是 _.13已知數(shù)列an 足 an 1qan2q2 （ q 常數(shù)， | q |1），若 a3 , a4 , a5 , a618,6,2,6,30，則 a114已知函數(shù)f ( x) x3ax 21(0aM 0 ) 存在整數(shù)零點的a 恰有 3 個， M 0 的取 范 是二 . 解答 （解答 寫出文字 明、 明 程或演算步 ）15（本 分 14 分）在ABC 中，角 A, B, C 所 的 分 a, b, c 已知 cos Aaco

5、s Bb 2c（ 1）求角 A 的大小；（ 2）求 sin B sin C 的最大 16（本 分 14 分）在四棱 E - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，AC與BD交于點 O, EC 底面 ABCD ，F(xiàn) 為 BE 的中點 .（ 1）求 ： DE 平面 ACF ；（ 2）求 ： BD AE ；（ 3）若 AB =2CE , 在 段 EO 上是否存在點G ，使 CG 平面 BDE ？若存在，求出EG 的 ，若不存EO在， 明理由1EFCBDOA17（本題滿分14分）如圖 , 有三個生活小區(qū) ( 均可看成點 ) 分別位于 A, B, C 三點處 , AB AC , A 到線段BC 的距離

6、 AO 40 ,ABO2223 ).P , 為方( 本題約定： tan今計劃建一個生活垃圾中轉(zhuǎn)站773便運輸 ,P 準備建在線段AO ( 不含端點 ) 上 .（ 1）設(shè) POx(0x40) , 試將 P 到三個小區(qū)距離的最遠者S 表示為 x的函數(shù) , 并求 S 的最小值；（ 2）設(shè)PBO(02) , 試將 P 到三個小區(qū)的距離之和y 表示為的函數(shù) , 并確定當取何值時 ,7可使 y 最小 ?19（本題滿分 16 分）已知定義在 R上的函數(shù) f ( x) 和數(shù)列 an 滿足下列條件： a1 a0 ，a2a1 ，當 n N *時， an 1f (an ) ，且存在非零常數(shù)k 使 f ( an 1

7、) f (an ) k(an 1 an ) 恒成立(1) 若數(shù)列 an 是等差數(shù)列，求 k 的值；(2)求證：數(shù)列 an 為等比數(shù)列的充要條件是f (x)kx ( k 1) (3)已知 f ( x)kx(k 1) ， a 2，且 bnln an （ nN * ），數(shù)列 b的前 n 項是 Sn ，對于給定常數(shù)m ，n若 S(m 1) n 是一個與 n 無關(guān)的常數(shù)，求k 的值。Smn2218（本題滿分 16 分）如圖 , A, B 是橢圓 C : x2y2 1(a b 0) 的左、右頂點 , 橢圓 C 的離心率為 1 ,20. （本題滿分16 分）若函數(shù)f ( x) 在 (0,) 上恒有 xf ,

8、 ( x)f (x) 成立（其中f , ( x) 為 f (x) 的導函數(shù)），ab2右準線 l 的方程為 x 4 .則稱這類函數(shù)為A 類函數(shù)（ 1）求橢圓方程；(1)若函數(shù) g (x)x21，試判斷g( x) 是否為 A 類函數(shù) ;（ 2）設(shè) M 是橢圓 C 上異于 A, B 的一點 , 直線 AM 交 l 于點 P , 以 MP 為直徑的圓記為e K ， e K 與直線1a(2)若函數(shù) h(x)axMB 交于點 Q , 試證明 : 直線 PQ過 x軸上的定點 , 并求該定點的坐標 .3 ln xx是 A 類函數(shù)，求函數(shù) h(x) 的單調(diào)區(qū)間 ;(3)若函數(shù) f (x) 是 A 類函數(shù)，當 x

9、10, x20 時，證明 f (x1)f (x2 ) f ( x1x2 ) .2江 省 20122013 學年第二學期期初 量 參考答案1 42.23. 104.356.37.92225 .89.610n (n 1) (n 2)10. 411.112.12 13.2或 12614. 2663，)91615.EFGBCOD又 F 為 BE 的中點，A16. 解：（ I ） 接 OF .由 ABCD 是正方形可知 , 點 O 為 BD 中點 .所以 OF DE .2 分又 OF 趟平面 ACF , DE 平面 ACF ,所以 DE 平面 ACF .4 分(II) 明：由 EC 底面 ABCD，BD

10、 ? 底面 ABCD，所以 EC BD ,由 ABCD 是正方形可知 , AC BD ,又 AC 翹EC =C, AC,EC平面 ACE，所以 BD 平面 ACE, .8 分又 AE 平面 ACE，所以 BD AE.9 分(III) 在 段 EO 上存在點 G ，使 CG 平面 BDE . 理由如下：如 ，取 EO 中點 G ， 接 CG .在四棱 E - ABCD 中， AB = 2CE,CO =2 AB = CE ，2所以 CG EO . .11分由（ II ）可知， BD 平面 ACE,而 BD 平面 BDE ,所以， 平面 ACE 平面 BDE, 且平面 ACE ? 平面 BDEEO，

11、因 CG EO, CG ? 平面 ACE，所以 CG 平面 BDE . 13分故在 段 EO 上存在點 G ，使 CG 平面 BDE .由 G 為 EO 中點，得 EG =1.14 分EO23y 2 20 340 203 tan40 203 2 sin11分coscos因 y2sin1, 令 y0 , 即 sin1,20 3cos2, 從而2 時 ,26當 0時 ,y 0 ; 當6y 0 .67（ 2） : 設(shè) M ( x0 , y0 )( y00) , 直 AM 的方程 yy0( x 2) , 6 分x02 點 P 的坐 P(4,6y0 ) ,x02又直 MB 的斜率 K MBy0, 而 M

12、BPR , 所以 K PRx02 , 8 分x02y0從而直 PR 的方程 y6 y0x024)10 分x02y0( x令 y0, 得點 R 的橫坐 xR6 y0241 2 分x024又點 M在 上 , 所以 x02y021 , 即 y023(4x02 ) , 故 xR4 631 ,43442所以直 PQ 與 x 的交點 R 定點 , 且 定點的坐 ( 1 ,0) 16分219. （ 1）由已知 anf ( an1 ) ， f (an ) f (an1)k(anan 1) (n2,3,4,) ，得an1anf (an )f (an 1 )k (anan 1 )( n2,3,4, )由數(shù)列 an

13、 是等差數(shù)列，得an 1 ananan 1 (n 2,3,4,)所以， anan 1k( an an1 ) ， ( n2,3,4,) ，得 k1 4 分（ 2）充分性 明：若f ( x)kx (k1) ， 由已知 a1a0 ，an 1f (an ) 得 an 1 kan ，所以， an 是等比數(shù)列6 分必要性 明：若 an 是等比數(shù)列， 公比 q ， 有 anaq n 1 ， nN *由 f (an 1 )f (an ) k(an 1an ) 及 an 1f (an ) 得 an 2 an 1k(an 1an )又 a2 a1 0 ，所以數(shù)列 an1an 是以 a2a1 首 ，公比 k 的等比

14、數(shù)列，所以 an 1an f (a)a kn 1 ，當 n2 ， an f (a)a( k0k1k2Lk n2 ) a 8 分若 k 1 ， an f ( a)a( n1)a ，（ n2 ）對 n 1 也成立數(shù)列 an 是公差 f (a) a0 的等差數(shù)列，不可能是等比數(shù)列，所以k 1 ， k 1， an f (a) a 1 kn 1a ，（ n2 ）1k4對 n 1 也成立所以 an1 kn 1f (a) aaf (a) akn 1 f (a) aa1k1 k，1 k由數(shù)列 an 是等比數(shù)列知，f (a)aa 0，即 f (a)ka ，1k即 f (a)ka 任意非零 數(shù)都成立 上可得：數(shù)列

15、 an 等比數(shù)列的充要條件是f ( x)kx (k1) 10分（ 3）由（）知，數(shù)列 an 是首 2 ，公比 k 的等比數(shù)列，即 an2k n 1，bn 1 bnln k 是一個常數(shù)，n 是等差數(shù)列， 公差 d，故數(shù)列 b依 意 Snnb111ndn(2b1d ) ，n(n 1)d22S( m 1) n1 (m1)n d (m1)n(2b1d )(m 1)d (m1)n(2b d)211，Smnm dmn(2b1d )mndmn(2b1d)2當且 當 2b1dd (m 1) 2b1dS( m 1)n0 或dm2b1 ，是一個與 n 無關(guān)的常數(shù)，dSmn當 x (0,e 3 ) ， p (x)

16、0， p(x) 是減函數(shù)；當 x(e 3,) ， p ( x)0 ， p( x) 是增函數(shù)，所以 p( x)minp(e 3 )e 3，所以 2(a1) e 3 ， a11 e 3 4 分當 a0 ，由1x，得 x1，所以增區(qū) 2h (x)0(0,1)，減區(qū) (1,) ；x21a)( x 1)a( x當 a0 ，由 h (x)a0 ，得 0x1，x2所以增區(qū) (0,1) ，減區(qū) (1,) ；當 0a1 ，得 x1，或 x1a ，所以增區(qū) (0,1) ，(1 a ,) ，減區(qū) (1a ,1) ；2aaa當 a1 ， h ( x) 0 ，所以，函數(shù)增區(qū) (0,) ；211a( x 1a )( x1

17、)1 aa13a0 ，得 x2e ，由 h ( x)x2，或 x 1 ，2a所以增區(qū) (1,) ， (0, 1aa ) ，減區(qū) (1a ,1) 10 分a 明：函數(shù) f ( x) 是 (0,) 上的每一點 都有 數(shù)，且xf (x) f ( x) 在 (0,) 上恒成立， d(m1)2b1ddm2b1d不成立，F(xiàn) ( x)f ( x)xf ( x) f (x)0 在 (0,) 恒成立， F (x)x2x所以 2b1 d0 ，即 2ln 2 ln k ，k4 16 分20因 g ( x)2 x ，所以 xg (x)g ( x)2x2( x21) x210 在(0,) 上恒成立，即 xg ( x)g(x) 在 (0,) 上恒成立，所以g (x)x21是 A 型函數(shù)2 分 h ( x)a 11x2a (x0)，由 xh (x)h( x)，得 ax 11 aax 3ln x1 a ，xxx因 x 0 ，所以可化 2( a1)2x x ln x ，令 p( x)2x xln x ， p ( x) 3ln x ，令 p ( x)