同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)教案第二章方陣的行列式

1、線性代數(shù)教學(xué)教案第二章方陣的行列式授課序號(hào)01教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第二章 第一節(jié) 行列式的定義課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)n階行列式的定義、幾類特殊行列式的值教學(xué)難點(diǎn)n階行列式的定義參考教材同濟(jì)版線性代數(shù)武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解n階行列式的定義，熟悉一些特殊行列式的值；會(huì)用對(duì)角線法則計(jì)算2階、3階行列式。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、行列式的定義：排列：從中任意選取個(gè)不同的數(shù)排成一列，稱為排列. 全排列： 將這個(gè)不同的數(shù)排成一列，稱為階全排列，也簡(jiǎn)

2、稱為全排列.標(biāo)準(zhǔn)排列：也是個(gè)數(shù)的全排列，而且元素是按從小到大的自然順序排列的，這樣的排列稱為標(biāo)準(zhǔn)排列. 逆序與逆序數(shù)：在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的排列順序與自然順序相反，即排在左邊的數(shù)比排在它右邊的數(shù)大，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù). 排列的逆序數(shù)記為. 標(biāo)準(zhǔn)排列的逆序數(shù)為.奇排列與偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列，稱為偶排列；逆序數(shù)為奇數(shù)的排列，稱為奇排列.階行列式：由個(gè)元素排成行列的正方形的數(shù)表：，由這個(gè)數(shù)表所決定的數(shù)稱為由個(gè)元素構(gòu)成的階行列式，記為，即：.其中表示對(duì)所有的階全排列求和,數(shù)稱為行列式的元素，其中第一個(gè)下標(biāo)稱為元素的行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)稱為元素的列標(biāo)

3、.方陣的行列式: 記矩陣，則行列式通常也稱為方陣的行列式，記為. 有時(shí)為了表明行列式是由元素構(gòu)成的，也簡(jiǎn)記為、或.二階行列式: .三階行列式: .二、三階行列式也可借助于對(duì)角線法則來記憶： 二、幾類特殊行列式：下三角行列式：.上三角行列式：.對(duì)角行列式：.斜下三角方陣的行列式：斜下三角方陣，則.三、主要例題：例1 設(shè)，求.例2 證明是階行列式的一項(xiàng)，并求這項(xiàng)應(yīng)帶的符號(hào).例3 計(jì)算下三角方陣的行列式（這樣的行列式稱為下三角行列式）.例4 計(jì)算上三角方陣的行列式（這樣的行列式稱為上三角行列式）.例5 設(shè)斜下三角方陣，證明： .授課序號(hào)02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第二章 第二節(jié) 行列式的性質(zhì)課

4、的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)行列式的性質(zhì)、方陣可逆的充要條件教學(xué)難點(diǎn)行列式的性質(zhì)參考教材同濟(jì)版線性代數(shù)武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解n階行列式的性質(zhì)，會(huì)用性質(zhì)計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式；理解利用行列式判斷方陣可逆的充分必要條件。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、行列式的性質(zhì)：轉(zhuǎn)置行列式：將行列式的各行元素?fù)Q為同序號(hào)的列元素，所得到的行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)2 互換行列式的兩行（或兩列），行列式變號(hào).以表示行列式的第行，以表示行列式

5、的第列，交換第、行記為，交換第、列記為.推論1 若行列式中有兩行（或兩列）對(duì)應(yīng)元素相等，則行列式等于零.性質(zhì)3 若行列式的某一行（或列）有公因子 ，則公因子可以提到行列式記號(hào)外面；或者說，用乘行列式的某一行（或某一列），等于用乘以該行列式，即.第行（或列）乘以數(shù)記作（或），第行（或列）提取公因子記作（或）.定理1 設(shè)是階方陣，則等式成立.推論2 若行列式的某一行（或某一列）元素全為零，則行列式的值為零.推論3 若行列式某兩行（或兩列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為零.性質(zhì)4 行列式的拆分定理.性質(zhì)5 行列式某一行（或某一列）的 倍加到另一行（或另一列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變.即.第行（或第

6、列）乘以數(shù)到第行（或第列）上記作（或）.二、方陣可逆的充要條件定理2 階方陣可逆的充分必要條件是.定理3 設(shè)、是兩個(gè)階方陣，則.推論4 設(shè)是階方陣，如果存在階方陣滿足（或者），則階方陣可逆，且.三、主要例題：例1 .例2 例3 計(jì)算行列式.例4 計(jì)算行列式.例5 計(jì)算行列式.例6 設(shè)矩陣 ，若矩陣，證明：.例7 計(jì)算行列式，其中未寫出的元素為.例8 判斷下列矩陣是否可逆：(1) ； (2) .例9 設(shè)矩陣，其中、分別為階、階可逆陣，求.例10 設(shè)階方陣滿足，證明矩陣可逆，并求.授課序號(hào)03教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第二章 第三節(jié) 行列式按行（列）展開課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂

7、提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)行列式按行（列）展開教學(xué)難點(diǎn)行列式按行（列）展開參考教材同濟(jì)版線性代數(shù)武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解余子式、代數(shù)余子式的概念和性質(zhì)；理解行列式按行（列）展開的法則；會(huì)用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開的法則計(jì)算簡(jiǎn)單的n階行列式。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、余子式與代數(shù)余子式：1. 余子式：對(duì)任意的，在階行列式中劃去第行和第列后剩下的階行列式稱為元素的余子式，記為2. 代數(shù)余子式：記，稱為階行列式的元素的代數(shù)余子式.二、行列式按行（列）展開：定理 設(shè)行列式，則有 ，稱為行列

8、式按第行展開，以及，稱為行列式按第列展開.推論 設(shè)是行列式中元素的代數(shù)余子式，則 或.有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：或其中是克羅內(nèi)克（Kronecker）符號(hào).三、主要例題：例1 計(jì)算行列式.例2 計(jì)算行列式.例3 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式， 其中記號(hào)“”表示連乘積.授課序號(hào)04教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題第二章 第四節(jié) 矩陣求逆公式與克萊默法則課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)伴隨矩陣、求逆公式、克萊默法則教學(xué)難點(diǎn)伴隨矩陣的性質(zhì)參考教材同濟(jì)版線性代數(shù)武漢大學(xué)同濟(jì)大學(xué) 微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)安玉偉等高等數(shù)學(xué)定理 方法 問題作業(yè)布置

9、課后習(xí)題微積分標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)大綱要求理解伴隨矩陣的概念和性質(zhì)；熟悉矩陣的求逆公式，會(huì)用伴隨矩陣求逆矩陣；理解克萊默法則。教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容一、伴隨矩陣與求逆公式：伴隨矩陣： 設(shè)是階方陣，是的元素的代數(shù)余子式，則矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣.引理 設(shè)方陣是階方陣的伴隨矩陣，則必有.定理1 如果階方陣可逆，則有求逆公式.二、克萊默法則：定理2（Cramer（克萊默）法則）：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即，則方程組有唯一解：，其中是把系數(shù)行列式的第列元素用的元素代替后得到的行列式.定理3 如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即，則方程組一定有解，且解是唯一的.定理4 如果線性方程組無解或有無窮多解，則它的系數(shù)行列式.定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即，則它只