第三章剛體的運動ppt課件

1、第三章 剛體的定軸轉動,3-1 剛體的基本運動,一、剛體,在任何情況下物體的形狀和大小都不會變化，因而可以瞬時傳遞力,即：質元間保持不變，稱“不變質點系” 。剛體是個理想化的模型,t,二、剛體的運動形式,剛體上所有質元都沿平行路徑運動,各個時刻的相對位置都彼此固定,1.平動,可用質心或任一點的運動來代表剛體的運動,平動是剛體的基本運動形式之一,2.轉動,轉動也是剛體的基本運動形式之一，可分為定軸轉動和定點轉動,定軸轉動：運動中各質元均做圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線（轉軸）上,定點轉動：運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該定點的某一瞬時軸線轉動,3.一般運動可分解為兩種剛體的基

2、本運動,隨基點O（可任選）的平動,繞通過基點O 的瞬時軸的定點轉動,1.剛體上所有質元都在作半徑不等的圓周運動,三、定軸轉動的剛體特點,2.各圓周軌道均垂直與轉軸，稱：轉動平面；圓心即為轉心,3.各質元作圓周運動的線量各不相同，角量相同,四、角速度矢量,方向：沿瞬時軸，與轉向成右螺旋關系,2.線速度與角速度的關系,1.角速度矢量 的規(guī)定,大小,例題1 一剛體以每分鐘60轉繞z軸做勻速轉動（ 沿z軸正方向）。設某時刻剛體上一點P的位置矢量為 ，則該時刻P點速度,解,3-2 剛體定軸轉動的轉動定律與轉動慣量,一、力矩,1.力對定點O 的力矩,2.力偶矩,其中： 稱力臂,或,例題2 物體在力場 中運

3、動，已知質量m=1kg，t=0時刻質點位于原點，且速度為0。求:t=2s時該質點所受的對原點的力矩,解,以上物理量的單位皆為相應的國際單位,二、轉動定律,對質元i,對剛體（質點系,令,剛體定軸轉動的微分方程,三、轉動慣量,1.剛體對Z軸的轉動慣量,若質量離散分布,若質量連續(xù)分布,轉動慣量僅取決于剛體本身的性質，即:與剛體的形狀、大小、質量分布以及轉軸的位置有關。反映剛體轉動慣性的量度,平行軸定理,C,垂直軸定理：（薄片適用,例題3 求質量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉動慣量（軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心,解,例題4 求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動慣量,解：取如圖坐標,例題6 求質量

4、為m、半徑為R均勻圓盤的轉動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心,解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán)；圓盤的質量面密度為,例題5 質量為m的矩形均勻薄板,長為a寬為b,求它對通過板的幾何中心并與板面垂直的z 軸的轉動慣量,解：薄板位于xOy面內,由垂直軸定理可得,例題7 求:內半徑為R1 外半徑為R2 質量為m的勻質中空圓柱繞其對稱軸的轉動慣量,例題8 求：質量為m半徑為R的勻質薄球殼繞過中心軸的轉動慣量,解:在球面取一圓環(huán)帶，半徑,例題9 求：質量為m半徑為R的勻質球體繞過球心軸的轉動慣量,解:把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合,1.質點m對慣性系中的固定點O 的角動量為,一、角動量（動量矩,3-3 角

5、動量 角動量守恒定律,質點作勻速率圓周運動時，對圓心的角動量的大小為,方向圓平面不變,同一質點的同一運動，其角動量可以隨不同的固定點而改變,方向變化,方向豎直向上，不變,解,以上物理量的單位皆為相應的國際單位,例題10 物體在力場 中運動，已知質量m=1kg，t=0時刻質點位于原點，且速度為0。求:t=2s時該質點對原點的角動量,例題11 如圖所示的坐標系中，t=0時刻將質量為m的質點由a處靜止釋放，讓它自由下落，求任意時刻t，該質點對原點O的力矩及其角動量,解：任意時刻t,2.剛體對固定轉動的角動量,對質元i,對剛體（質點系,二、角動量定理,兩邊對時間求導,1.單個質點的角動量定理,微分形式

6、,或,其中： 稱沖量矩,力矩對時間的積累作用,積分形式,例題12 錐擺的角動量,對O點,合力矩不為零，角動量變化,對O點,合力矩為零，角動量大小、方向都不變,2.剛體定軸轉動的角動量定理,對質點i,整個剛體,由于,剛體的角動量定理,微分形式,積分形式,應用轉動定律的基本方法和步驟,4.求解聯(lián)立方程,1.分析物體受力，確定外力矩,2.列出轉動定律和牛頓定律方程,3.列出線量和角量之間的關系式,例題13 一根輕繩跨過一個半徑為r，質量為M的定滑輪，繩的兩端分別系有質量為m1和m2的物體 ，如圖所示。假設繩不能伸長，并忽略軸的摩擦，繩與滑輪也無相對滑動。求：定滑輪轉動的角加速度和繩的張力,解：分別對

7、物體和滑輪進行受力分析，如圖,對m2,對定滑輪,對m1,且有,可得,例題14 圖示物體質量分別為mA 和mB ，圓柱形滑輪質量為mc ，半徑為R，不計桌面和輪軸摩擦力。求：兩物體的加速度和繩的張力； 物體B從靜止落下距離y時，其速率為多少,解：分別對物體和滑輪進行受力分析，如圖,物體A,物體B,對定滑輪C,又,可得,例題15 如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下滑，不計摩擦，求小球滑到任意點B（與A夾角為 ）時對環(huán)心的角動量和角速度,解：小球受力如圖，對環(huán)心O,由質點的角動量定理,其中 和 的方向相同,兩邊乘,積分,可得,三、角動量守恒定律,角動量守恒定律是物理學的基本定律之一，它不

8、僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，而且在高速低速范圍均適用,角動量守恒,1.單個質點的角動量守恒定律,例題16 （行星運動的開普勒第二定律）在太陽系中任一行星對太陽的位矢在相等的時間間隔內掃過的面積相等，即掠面速度不變,解：天體受萬有引力作用，對力心角動量守恒,即,2.剛體的角動量守恒定律,守恒定律中涉及的外力矩、轉動慣量和角動量都是對同一轉軸而言的,例題17 體重相等的甲乙兩人，各抓住跨過滑輪的繩的兩端，如圖所示。當他們從同一高度向上爬時，相對于繩子甲的速率是乙的兩倍，問誰先到達頂點?假定繩和滑輪的質量及各種摩擦都忽略,解：對滑輪轉軸而言，兩人組成的系統(tǒng)角動量守恒,速度應為對同一慣性系（地

9、面或定滑輪）而言，故兩人同時到達頂點,例題18 一長為l的輕質桿端部固結一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰桿中部并與桿粘合。求：碰撞后桿的角速度,碰撞時重力和軸的作用力都通過O，對O力矩為零，故角動量守恒。則,解：選m1（含桿）+ m2為系統(tǒng),解得,3-4 轉動動能定理,一、剛體定軸轉動的動能,把剛體看作無限多質元構成的質點系,二、力矩的功,設剛體定軸轉動中，剛體質元i在切向力 的作用下，繞軸轉過,即,對整個剛體,三、剛體定軸轉動的動能定理,剛體定軸轉動的動能定理,合外力矩對繞定軸轉動的剛體做的功等于該剛體轉動動能的增量,例題19 如圖所示，小球m沿半徑為R的圓環(huán)軌道由A靜止下滑，不計摩

10、擦，求小球滑到任意點B（與A夾角為 ）時對環(huán)心的角速度,解：小球受力如圖，對環(huán)心O,由質點的動能定理,可得,例題20 雜技演員M、N質量均為m;均勻的細蹺板長為l，質量為m,支撐于中點O,若演員M從高h自由下落與板作完全非彈性碰撞，求演員N可上升的最大高度,解：演員M、N和蹺板為系統(tǒng)，轉軸通過O點，演員M與蹺板碰撞過程中系統(tǒng)角動量守恒,碰撞前,碰撞過程角動量守恒,演員N達到高度,例題21 一長為l，質量為M的棒可繞點O自由轉動，質量m,速度為v的子彈水平射入距離O點為a處，使棒最大偏轉為 ，求子彈的速度大小,解：取子彈、棒作為系統(tǒng)，在子彈射入棒的過程中系統(tǒng)的角動量守恒,子彈射入后，棒與子彈一起運動到最大偏角 ，該過程系統(tǒng)機械能守恒,例題22 原長為l0、彈性系數(shù)為k的彈簧，一端固定在一光滑水平面上的O點，另一端系一質量為m的小球。開始時，彈簧被拉長x，并給予小球一與彈簧垂直的初速度v0，如圖所示。求彈簧