高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義-平面幾何名定理新人教A版

1、21 平面幾何名定理四個(gè)重要定理：梅涅勞斯 (menelaus) 定理（梅氏線）abc的三邊 bc、 ca、ab或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)p、 q、 r，則p、 q、 r共線的充要條件是。塞瓦 (ceva) 定理（塞瓦點(diǎn)）abc的三邊 bc、ca、 ab上有點(diǎn) p、q、 r，則 ap、 bq、 cr共點(diǎn)的充要條件是。托勒密 (ptolemy)定理四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。西姆松 (simson) 定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。例題講解1設(shè) ad是 abc的邊 bc上的中線，直線cf交 ad于 f。求

2、證：。2過(guò) abc 的重心 g的直線分別交ab、 ac于 e、 f，交 cb于 d。求證：。3 d、 e、f 分別在 abc的 bc、ca、 ab邊上，ad、be、 cf交成 lmn。求 slmn。4以 abc 各邊為底邊向外作相似的等腰 bce、 caf、 abg。求證： ae、 bf、 cg相交于一點(diǎn)。5已知 abc 中， b=2c。求證：ac2=ab2+abbc。6已知正七邊形a1a2a3a4a5a6a7。求證：。7 abc的 bc邊上的高 ad的延長(zhǎng)線交外接圓于 p，作 peab 于 e，延長(zhǎng) ed交 ac延長(zhǎng)線于f。求證： bcef=bfce+becf。8正六邊形abcdef的對(duì)角線

3、ac、ce分別被內(nèi)分點(diǎn)m、 n分成的比為am：ac=cn：ce=k，且 b、 m、 n共線。求k。（ 23-imo-5 ）9o為 abc內(nèi)一點(diǎn)，分別以 da、db、dc 表示 o到 bc、ca、ab 的距離，以 ra、rb、 rc 表示 o到a、 b、c 的距離。求證：（ 1）ara bdb+cdc ;(2) a racdb+bdc ;(3) r a+rb+rc2(d a+db+dc) 。10 abc中， h、g、o分別為垂心、重心、外心。求證： h、g、o三點(diǎn)共線，且 hg=2go。（歐拉線）11o1 和o2 與 abc的三邊所在直線都相切， e、 f、 g、h 為切點(diǎn)， eg、 fh的延長(zhǎng)

4、線交于p。求證： pabc。12如圖，在四邊形 abcd中，對(duì)角線 ac平分 bad。在 cd上取一點(diǎn) e，be 與 ac相交于 f，延長(zhǎng) df交 bc于 g。求證： gac=eac。例題答案：1. 分析： cef截 abd（梅氏定理）評(píng)注：也可以添加輔助線證明：過(guò)a、 b、 d 之一作 cf的平行線。2. 分析：連結(jié)并延長(zhǎng) ag交 bc于 m，則 m為 bc的中點(diǎn)。deg截 abm（梅氏定理）dgf截 acm（梅氏定理）=1評(píng)注：梅氏定理3. 梅氏定理4. 塞瓦定理5. 分析：過(guò) a 作 bc的平行線交 abc 的外接圓于 d，連結(jié) bd。則 cd=da=ab， ac=bd。由托勒密定理， acbd=adbc+cdab。評(píng)注：托勒密定理6. 評(píng)注：托勒密定理7. 評(píng)注：西姆松定理（西姆松線）8. 評(píng)注：面積法9. 評(píng)注：面積法10. 評(píng)注：同一法11. 證明：連結(jié) bd交 ac于 h。對(duì) bcd用塞瓦定理，可得因?yàn)?ah是 bad的角平分線，由角平分線定理，可得，故。過(guò) c 作 ab 的平行線交 ag的延長(zhǎng)線于 i ，過(guò) c作 ad的平行線交 ae 的延長(zhǎng)線于 j。則，所以，從而 ci=cj。又